重新認識圓周率π 論文

重新認識圓周率π摘要：對圓周率的認識和研究已經(jīng)持續(xù)了幾千年了，都認為它是一個恒定不變π

的數(shù)學常數(shù)，但是通過在球面、錐面等曲面上作圓，我們認識到圓周率π會隨著所在曲面的彎曲程度及圓的半徑發(fā)生一定的變化，這從根本上改變了我們對圓周率的認識，也可能將對與此相關的各方面基礎理論研究產(chǎn)π

生深刻地影響。關鍵詞：圓周率短程線曲面自切自交向心力 一、引言

大家都知道，圓周率是數(shù)學和物理學中經(jīng)常使用且至關重要的一個數(shù)學常數(shù)（約為3.1415926），被定義為圓的周長與直徑之比，或定義為圓的面積與半徑平方之比（也可嚴格定義為滿足sinx=0的最小正實數(shù)），它是精確計算圓的周長和面積、球的表面積和體積等幾何圖形的重要參數(shù)，也早已被廣泛應用于物理學及其它工程技術領域的理論推演和數(shù)據(jù)分析中，其重要性自然不言而喻。為重新認識圓周率，依據(jù)定義，就需要從圓的定義開始?！昂螢閳A，圓者一中同長也”，指的是平面上到定點距離為定值的所有點的集合。平面作圓，其周長與直徑之比無需多言，問題是在球面、柱面等曲面上作圓，其周長與直徑之比將會如何呢？在非歐空間及對應的物理空間里作圓，其周長與直徑之比又將會出現(xiàn)什么樣的情形呢？本文將試圖就這些問題作以膚淺的討論。先介紹一下短程線的概念，所謂短程線是指曲面上相鄰兩點之間最短的路徑，也稱測地線，即連接曲面相鄰兩點的所有曲線段中，弧長最小的曲線段為該兩點的短程線（測地線），若其中有直線段，則其一定是短程線。二、球面作圓

如圖1，設球O的半徑為R，以A點為圓心，以r（球面的短程線）為半徑，在球O的表面作圓，很顯然有rAE），連接DE交z軸于P點。=AD=AE（r≠AD或 令rDPEP，在yoz平面上，∠AODr×360r0===2πR=Rrr0=R×sin∠AOD=RsinR=2πRsinr球面⊙A周長即為平面⊙P的周長，2r0πR于是有：rr結論1：球面⊙A其周長與直徑之比為：2πRsinRsinRπA=2r=π×r R很顯然，當R為無窮大時，球O可以理解為一個平面，而r取有限值時，我們就有：πA=π=3.1415926…。πA取值 r

特別地，當取R1 1 1 1 2 3 56π、4π、3π、2π、3π、4π、6π時，對應的3 3分別為：3、22、23、2、23、22、3由此可見，在球面上作圓，其周長與直徑之比不再永遠是π=3.1415926…，而是一個可以變化的量，它與這個曲面的彎曲程度和所作的圓的半徑有一定的聯(lián)系。三、柱面作圓以圓柱體表面為例，如圖2，在坐標系O-xyz中，圓柱面的橫截面半徑為R，柱面沿z軸可以任意伸長，以柱面上任意一點A為圓心，沿柱面以r為半徑作圓，記為柱面⊙A。為方便討論，在柱面上取A點關于柱面的對稱點B所在的測線（圖2中過B的虛線）為準線，將柱面展開，如圖2.1，則有：AB =πR1、當r<πR時，πA=π，相當于一個半徑為r（r<πR）的圓平貼在柱面以A點為中心的位置，打開柱面，對該圓不構成任何影響，如圖2.1。2、當r=πR時，與1同理，πA=π，，所不同的是柱面⊙A從兩側各自繞過柱面半圈后在B點相切，稱之為“自切”，如圖3和圖3.13、當r>πR時，如圖4，將會在柱面的A點上下看到兩個對稱的閉合曲線，按前面所述的方法打開柱面，將會在A點上下看到兩段對稱的圓弧MM'及NN'（其實M和M'、N和N'、B和B'它們在柱面上是各自對應重合的，此時稱柱面A在柱面上“自交”于M、N點）,如圖4.1。如圖4.1則有:πR

,πR，的長：lsinθ=rθ=arcsinrMM'=πR則有：柱面⊙A的周長為πR2r×arcsinr2l=4r×arcsinr于是有：πR結論2：當r> 時，其周長與直徑比：4r×arcsinrπRπRπA=2r=2arcsinr。顯然當r→πR(r>πR)時，則有×1

2π=π。πA=2arcsinπR

r=2×arcsin1=2而且，當r>πR時，柱面⊙A的圓周率πA<。π四、錐面作圓以圓錐體面為例，設RtΔAOB頂角∠OAB為（0<θ<1

2π），繞z軸旋轉一周并向下無線伸長得到一個錐面，如圖5，在此錐面上作圓，可分以下幾種情況：1、以錐面頂點A為圓心，以R為半徑（R=AB為例），沿錐面作圓，記為錐面⊙A，如圖5，設rOB，于是sinθ=r，rRsin，=R=則有⊙O的周長為:2πr=2πRsinθ，而⊙O的周長也即錐面⊙A的周長，于是有：結論3：錐面⊙A的周長與直徑之比：πA2πRsinθ。=2R=πsinθ又：0<θ<1

2π故有：π<π（=3.1415926…）特別地，當θ=1

2π時，此錐面還原成平面，此時有：πA 1

=πsin2π=π另外：為方便后續(xù)討論，我們以AD所在直線為準線，也將該錐面展開，如圖6.1，令∠DAD'=α，由上可知DD'=2πRsinθ，α

2π=DD'

，2πRα=2πsinθ。2、設E為錐面上任意一點（頂點除外），以E為圓心，以r為半徑在錐面上作圓，即錐面⊙E，令a=AE，仍按前面所述的方法（即在錐面上取E點關于錐面的對稱點D所在的測線AD為準線）展開錐面，過E作EP⊥AD交AD于P。1

2α=πsinθ，EP=由于∠DAD'=α=2πsinθ，則∠EAD'=a×sin（πsinθ）。于是有：①、當r<a×sin（πsinθ）時，相當于一個有限的圓平貼在錐面以點E為中心的位置，如圖6，展開錐面后仍為圓，不構成任何影響， 即πE =π=3.1415926…。 這種情形與柱面作圓的第一種情形相識，如圖6.1

②、當r =a×sin（πsinθ）時，所作的圓繞過錐面后在E點對面的一側相切（有一個交點P），這種情形稱之為“自切”于P，展開錐面后仍為圓，不構成任何影響，即πE =π=3.1415926…，這種情形與柱面的第二種情形相似，如圖7及圖7.1。③、當a>r>a×sin（πsinθ）時，所作的圓在錐面E點的上下各呈現(xiàn)一個閉合曲線，如圖8，按前面所述的方法展開錐面后，在E點上下各呈現(xiàn)一段圓弧，如圖8.1。由于∠DAD'=α=2πsinθ，故∠EAD=1

2α=πsinθ， sin∠EAD利用正弦定理：sin∠AMEEM=AEa×sin（πsinθ）

，r sin（πsinθ）即：r=sin∠AME

a ，sin∠AME=cos∠QEM=sin∠AME=a×sin（πsinθ）

，r故 a×sin（πsinθ）：∠QEM=arccos r ，MQ=r×arccosa×sin（πsinθ）ra×sin（πsinθ） 于是：MM'NN'=2πr?4r×arccos r 即：錐面⊙E的周長a×sin（πsinθ）

r =MM'NN'=2πr?4r×arccos其周長與直徑之比：πE= a×sin（πsinθ）2πr?4r×arccos r

， 2r于是有：結論4：當a>r>a×sin（πsinθ）時，錐面⊙E的周長與直徑之比：πE a×sin（πsinθ）=π?2×arccos r特別地，當r=a×sin（πsinθ）時，πE a×sin（πsinθ）=π?2×arccos r=π?2×arccos1=π即為②中所描述的情形。所以，當a>r>a×sin（πsinθ）時，所作的圓繞過錐面后，在E點的對面，上下各有一個交點，形成兩個閉合曲線，這種情形稱之為“自交”，如圖8及圖8.1，與柱面作圓中的第三者情形相似。④、當r>a時，所作的圓只在錐面E點下面呈現(xiàn)一個閉合曲線，如圖9及圖9.1，與③同理，可推導出，其周長與直徑之比依然為：πE a×sin（πsinθ）=π?2×arccos r結論5：當r>a時，錐面⊙E的周長與直徑之比：πE a×sin（πsinθ）=π?2×arccos r a×sin（πsinθ）很顯然，由于2×arccos r>0，故有：π<π（=3.1415926…）。通過對在球面、柱面、錐面等幾種特殊曲面上作圓的結果分析來看，倘若無誤，則圓周率可能并非一成不變，其變化大小應當與曲面的彎曲程度和所作的圓的半徑有關。更一般的，在任意曲面上作圓的情況也應當如此，只是分析起來非常復雜，水平所限，本人很難說明清楚，在此僅想拋磚引玉！五、應用實例及其它想法

若以上思想成立，則圓周率的細微變化，不僅在數(shù)學領域?qū)a(chǎn)生一定影響，而且在物理等其它領域可能也會產(chǎn)生更加深遠的影響。例如：

如圖10，假定圖中的大球、小球和黑球分別代表太陽、地球、月球三個天體，排除所有外界及其它因素影響，地球繞太陽及月球繞地球的運動也假定為理想的圓周運動，基本滿足球面作圓的相關要r求，則有：sinRπA=π×rR取R=1.496×1011m，r=3.844×108m，于是有：=π×3.844×108πAsin1.496×1011=π×0.999998913.844×1081.496×1011月球繞地球運動的向心力：F=m月×v2

r，v=2rπA

T，所以F=m月× 22rπA（ T） 2

2rπA=m月r×（ T）r=m月r×4π2×0.99999782T2若以上結論成立，雖然π只有非常細微的差別，但影響肯定重大。不僅如此，這個細小變化，可能將會對彎曲時空理論的一些結論、大質(zhì)量天體運動如水星進動理論的修正、靜電場理論如庫侖定律等都產(chǎn)生一定的影響，同時π可能與真空中的光速c、介電常數(shù)ω0及磁導率μ0存在某種內(nèi)在聯(lián)系。注：圖片10引用于360圖片并適當修飾

/view?q=%E5%BC%AF%E6%9