雙曲線性質總結及經典例題

雙曲線知識點總結1.雙曲線的第一定義：⑴①雙曲線標準方程：.一般方程：.⑵①i.焦點在x軸上：

頂點：

焦點：

準線方程

漸近線方程：或ii.焦點在軸上：頂點：.

焦點：.準線方程：.

漸近線方程：或②軸為對稱軸，實軸長為2a,虛軸長為2b，焦距2c.

③離心率.

④準線距（兩準線的距離）.

⑤參數(shù)關系.

⑥焦點半徑公式：對于雙曲線方程（分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）

例題分析定義類1，已知，一曲線上的動點到距離之差為6，則雙曲線的方程為點撥：一要注意是否滿足，二要注意是一支還是兩支，的軌跡是雙曲線的右支.其方程為2雙曲線的漸近線為，則離心率為點撥：當焦點在x軸上時，，；當焦點在y軸上時，，4設P為雙曲線上的一點F1、F2是該雙曲線的兩個焦點，若|PF1|：|PF2|=3：2，則△PF1F2的面積為 （） A． B．12 C． D．24解析：①又②由①、②解得直角三角形，故選B。1已知雙曲線C與雙曲線－=1有公共焦點，且過點（3，2）.求雙曲線C的方程．【解題思路】運用方程思想，列關于的方程組[解析]解法一：設雙曲線方程為－=1.由題意易求c=2.又雙曲線過點（3，2），∴－=1.又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.故所求雙曲線的方程為－=1.解法二：設雙曲線方程為－＝1，將點（3，2）代入得k=4，所以雙曲線方程為－＝1.2.已知雙曲線的漸近線方程是，焦點在坐標軸上且焦距是10，則此雙曲線的方程為；[解析]設雙曲線方程為，當時，化為，，當時，化為，，綜上，雙曲線方程為或3.以拋物線的焦點為右焦點,且兩條漸近線是的雙曲線方程為___________________.[解析]拋物線的焦點為，設雙曲線方程為，，雙曲線方程為【例1】若橢圓與雙曲線有相同的焦點F1，F(xiàn)2，P是兩條曲線的一個交點，則|PF1|·|PF2|的值是（）A.B.C.D.【解析】橢圓的長半軸為雙曲線的實半軸為，故選A.【評注】嚴格區(qū)分橢圓與雙曲線的第一定義，是破解本題的關鍵.【例2】已知雙曲線與點M（5，3），F(xiàn)為右焦點，若雙曲線上有一點P，使最小，則P點的坐標為【分析】待求式中的是什么？是雙曲線離心率的倒數(shù).由此可知，解本題須用雙曲線的第二定義.【解析】雙曲線的右焦點F（6，0），離心率右準線為.作于N，交雙曲線右支于P，連FP，則.此時為最小.在中，令，得取.所求P點的坐標為.【例3】過點（1，3）且漸近線為的雙曲線方程是【解析】設所求雙曲線為點（1，3）代入：.代入（1）：即為所求.【評注】在雙曲線中，令即為其漸近線.根據(jù)這一點，可以簡潔地設待求雙曲線為，而無須考慮其實、虛軸的位置.【例7】直線過雙曲線的右焦點，斜率k=2.若與雙曲線的兩個交點分別在左右兩支上，則雙曲線的離心率e的范圍是（）A.e>B.1<e<C.1<e<D.e>【解析】如圖設直線的傾斜角為α，雙曲線漸近線的傾斜角為β.顯然。當β＞α時直線與雙曲線的兩個交點分別在左右兩支上.由.∵雙曲線中，故取e>.選D.【例8】設為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為（）A． B． C. D．【解析】雙曲線的實、虛半軸和半焦距分別是：.設；于是，故知△PF1F2是直角三角形，∠F1PF2=90°.∴.選B.【例9】雙曲線的一弦中點為（2，1），則此弦所在的直線方程為（）A.B.C.D.【解析】設弦的兩端分別為.則有：.∵弦中點為（2，1），∴.故直線的斜率.則所求直線方程為：，故選C.【例10】在雙曲線上，是否存在被點M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由.如果不問情由地利用“設而不求”的手段，會有如下解法：【錯解】假定存在符合條件的弦AB，其兩端分別為：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：.∵M（1，1）為弦AB的中點，∴故存在符合條件的直線AB，其方程為：.這個結論對不對呢？我們只須注意如下兩點就夠了：其一：將點M（1，1）代入方程，發(fā)現(xiàn)左式=1-＜1，故點M（1，1）在雙曲線的外部；其二：所求直線AB的斜率，而雙曲線的漸近線為.這里，說明所求直線不可能與雙曲線相交，當然所得結論也是荒唐的.問題出在解題過程中忽視了直線與雙曲線有公共點的條件.【正解】在上述解法的基礎上應當加以驗證.由這里，故方程（2）無實根，也就是所求直線不合條件.此外，上述解法還疏忽了一點：只有當時才可能求出k=2.若.說明這時直線與雙曲線只有一個公共點，仍不符合題設條件.結論；不存在符合題設條件的直線.課堂展示：如果雙曲線＝1上一點P到雙曲線右焦點的距離是2,那么點P到y(tǒng)軸的距離是（）(A) (B) (C) (D)已知雙曲線C∶＞0,b＞0),以C的右焦點為圓心且與C的漸近線相切的圓的半徑是（A）a (B)b (C) (D)以雙曲線的右焦點為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是（）A． B．C． D．以雙曲線的右焦點為圓心，且與其右準線相切的圓的方程是（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．若雙曲線（a＞0,b＞0）上橫坐標為的點到右焦點的距離大于它到左準線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是()A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D.(5,+) 若雙曲線的兩個焦點到一條準線的距離之比為3：2那么則雙曲線的離心率是（）（A）3（B）5（C）（D）過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為．若，則雙曲線的離心率是()A．B．C．D．已知雙曲線的左、右焦點分別是、，其一條漸近線方程為，點在雙曲線上.則＝（）A.-12B.-2C.0D.41．雙曲線上的一點P到左焦點的距離為9，則P到右準線的距離是＿＿＿2．雙曲線兩準線把兩焦點連線段三等分，求e.雙曲線的＞，＞漸近線與一條準線圍成的三角形的面積是.4．若雙曲線，在右支上有一點，且到左焦點與到右焦點的距離之比為4：3，求點的橫坐標。1．已知雙曲線=1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，右準線與一條漸近線交于A，△OAF面