整式的概念重難點(diǎn)專(zhuān)練（解析版）-2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)訓(xùn)練（滬教版）

專(zhuān)題01整式的概念重難點(diǎn)專(zhuān)練（解析版）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.（2019?上海民辦行知二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)月考）在代數(shù)式①Vy；②"一次,+?；

b

31

③一，④一X+1中，下列判斷正確的是（）

n2

A.①③是單項(xiàng)式B.②是二次三項(xiàng)式C.②④是多項(xiàng)式D.①④是整式

【答案】D

【分析】

根據(jù)單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式的概念解題即可.

【詳解】

根據(jù)題意得：①是整式，是單項(xiàng)式；②不是整式；③是分式；④是整式，是多項(xiàng)式；

選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了多項(xiàng)式、單項(xiàng)式以及整式的概念，解題時(shí)牢記概念是關(guān)鍵.

2.（2020?上海七年級(jí)月考）按下面的程序計(jì)算，如果輸入x的值是30,那么輸出的結(jié)

果為（）

A.470B.471C.118D.119

【答案】A

【分析】

先計(jì)算4x30—2=118<149,再計(jì)算4x118—2=470149,所以輸出結(jié)果為470.

【詳解】

4x30-2=118<149,

4x118-2=470>l49,

所以輸出結(jié)果為470.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查代數(shù)式的求值，本題關(guān)鍵在于將代數(shù)式的值與149比較大小進(jìn)而確定輸出

的結(jié)果.

3.（2020?上海市梅隴中學(xué)七年級(jí)期中）下列說(shuō)法正確的是（).

A.%：y與XT—都是多項(xiàng)式衛(wèi)二的系數(shù)與次數(shù)分別是-5與4

3y5

c.g與4是同類(lèi)項(xiàng)D.苫1是單項(xiàng)式

【答案】C

【分析】

根據(jù)整式的多項(xiàng)式、單項(xiàng)式的定義，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，即可得到答案.

【詳解】

是字母除以數(shù)字，不是數(shù)字或字母的乘積

y

,不是單項(xiàng)式

y

1

.?.X+—不是多項(xiàng)式，即A錯(cuò)誤：

y

?.?一父工的系數(shù)與次數(shù)分別是-:與4

55

???B錯(cuò)誤；

?.?言是多項(xiàng)式

??.D錯(cuò)誤;

；與4是同類(lèi)項(xiàng)

，C正確；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了整式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式多項(xiàng)式和單項(xiàng)式的定義，從而完成

求解.

4.（2021?上海九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若代數(shù)式X-2y=3,則代數(shù)式2（x-2y）2+4y-2x+\

的值為（）

A.13B.7C.19D.25

【答案】A

【分析】

把x-2y=3變形為x=3+2y,代入2(x—2y>+4y—2x+l,即可求解.

【詳解】

解：因?yàn)閤-2y=3,

所以x=3+2y,

2(x-2y)2+4y-2x+l

=2(3+2y—24+今一2(3+2y)+l

=2x32+4y-6-4y+1

=18-6+1

=13.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查求代數(shù)式的值，把1-2y=3變形，代入代數(shù)式化筒是解題關(guān)鍵.

5.(2021?上海九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))記S“=4+%+-+%,令/=、+"+…+S",則

n

稱(chēng)7”為4,4…，4這列數(shù)的“凱森和”?已知…，%(?的‘‘凱森和''為2004,那么13,

4，4…,%oo的''凱森和''為()

A.2013B.2015C.2017D.2019

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意可知loo="+5七)0=2004，即可求出

S,+S2+---+S500=2004x500.再列出新的凱森和的式子，代入計(jì)算即可.

【詳解】

根據(jù)題意可知T5W)=S1+S2藍(lán),+S5Go=2004

/.S]+S?+…+S5QQ=2004x500.

???13,%,〃2，…，〃5。0的“凱森和”為：

_13+(13+SI)+(13+S2)+...+(13+S5OO)

1501—777；

13x501+(S]+1+,—卜S500)

501

13x501+2004x500

501

=2013.

故答案為：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，掌握“凱森和''的概念，再找出其規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.

35917

6.(2021?上海九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))有一列數(shù)：…它有一定的規(guī)律性.若把

24816

第一個(gè)數(shù)記為ai，第二個(gè)數(shù)記為a”…….第n個(gè)數(shù)記為a?,則q+4+%…+々020

的值是()

111

A-2020B.2021-尹C.2020-尹D-2021-打

【答案】B

【分析】

2"+11

分析數(shù)據(jù)可得加==1+—；從而得到4+生+。3+“2020的表達(dá)式為

22

1+3+1+最+1+/+???+1+,根據(jù)等比數(shù)列的特征即可求和.

【詳解】

2"+11

解：觀察可知?.,an=--------=1+—,

TT

設(shè)4+/+。3+----卜〃2020二b,則

?1

b=1+2+++2^

=202°+(；+!+!+…

???2b=404°+(l+g+/+/+…+^9

’2b-b=404()+(1+H+*…+-[202()+(g+/+/+…+^5")]

；?b=2020+(1-^7)=2021-9r,

即％+。2+/+…+°2020=2021—22020，

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題是一道找規(guī)律的題目，這類(lèi)題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出

哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.本題找到an的表達(dá)式是解題關(guān)鍵.

二、填空題

7.（2019?上海市長(zhǎng)寧中學(xué)七年級(jí)月考）若，"+"=2’計(jì)算6-2機(jī)-2"=.

【答案】2

【分析】

原式后兩項(xiàng)提取-2變形后，把已知等式代入計(jì)算即可求出值.

【詳解】

解：".'m+n—2,

，原式=6-2（，”+〃）=6-4=2,

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

此題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

8.（2019?上海民辦行知二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)月考）-5a以2》上3c是次單項(xiàng)

4

式，它的系數(shù)是.

【答案】6；——.

4

【分析】

根據(jù)單項(xiàng)式系數(shù)、次數(shù)的定義來(lái)求解.單項(xiàng)式中數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，所有字母

的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).

【詳解】

代數(shù)式一刻”的次數(shù)為：2+3+1=6；系數(shù)為：一

44

故答案為：6；.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了單項(xiàng)式系數(shù)、次數(shù)的定義.確定單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)時(shí)，把一個(gè)單項(xiàng)式分解

成數(shù)字因數(shù)和字母因式的積，是找準(zhǔn)單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的關(guān)鍵.

9.（2019?上海民辦行知二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)月考）多項(xiàng)式3%2y一2孫2+dy3—2按字

母x的升塞排列為.

【答案】-2-2x/+3x2y+x3/.

【分析】

先分清多項(xiàng)式的各項(xiàng)，然后按多項(xiàng)式升幕排列的定義排列.

【詳解】

把多項(xiàng)式3f〉一2孫2+1了一2按字母*開(kāi)幕排歹ij為：一2-2盯2+3/y+x3y3

故答案為：-2-2xy2+3x2y+x3y3.

【點(diǎn)睛】

考查了多項(xiàng)式，我們把一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)按照某個(gè)字母的指數(shù)從大到小或從小到大的順

序排列，稱(chēng)為按這個(gè)字母的降事或升基排列.要注意，在排列多項(xiàng)式各項(xiàng)時(shí)，要保持其

原有的符號(hào).

1（）.（2020?上海七年級(jí)期末）如圖是一組密碼的一部分，為了保密，許多情況下采用不

同的密碼.請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，找到破譯的“鑰匙”.目前，據(jù)此“鑰匙”已破譯出“動(dòng)腦

思考”的真實(shí)意思是“裝好收獲”.請(qǐng)破譯“正在做題”真實(shí)意思是.

圖下函乘歡好學(xué)秘

a數(shù)期語(yǔ)讀勝拓帶

琮分獲閱腦題觀不

做末化上油明技路

嚴(yán)考術(shù)我裝海T收

郭優(yōu)無(wú)理愛(ài)國(guó)前

端雨正動(dòng)亞大思邁

聰坐察雅在標(biāo)才步

【答案】我愛(ài)數(shù)學(xué)

【分析】

根據(jù)題意找出破譯的“鑰匙”，以此來(lái)破譯“正在做題”真實(shí)意思即可.

【詳解】

???“動(dòng)腦思考”的真實(shí)意思是“裝好收獲”

...每個(gè)格子對(duì)應(yīng)的是該格子往右1個(gè)單位長(zhǎng)度，往上2個(gè)單位長(zhǎng)度所對(duì)應(yīng)的格子

「正在做題”真實(shí)意思是“我愛(ài)數(shù)學(xué)”

故答案為：我愛(ài)數(shù)學(xué).

【點(diǎn)睛】

本題考查了圖形類(lèi)的規(guī)律問(wèn)題，掌握破譯的“鑰匙”是解題的關(guān)鍵.

11.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）一組數(shù)：2,I,3,X,7,V,23,…，

滿(mǎn)足“從第三個(gè)數(shù)起，前兩個(gè)數(shù)依次為〃、b,緊隨其后的數(shù)就是2。-6”，例如這組

數(shù)中的第三個(gè)數(shù)“3”是由“2*2-1”得到的，那么這組數(shù)中》表示的數(shù)為.

【答案】一9.

【分析】

根據(jù)題中給出的運(yùn)算法則按照順序求解即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意，得：x=2?13=-l,y=2?（l）-7=-9.

故答案為一9.

【點(diǎn)睛】

本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，理解題意、弄清題目給出的運(yùn)算法則是正確解題的關(guān)鍵.

12.（2020?上海市進(jìn)才中學(xué)北校七年級(jí)月考）已知x2-x=3,那么5/—5x+9=

【答案】24

【分析】

5x2-5x+9=5（x2-x）+9,將￡一》=3代入求解即可.

【詳解】

解：5X2-5X+9=5（X2-X）+9=24,

故答案為:24.

【點(diǎn)睛】

本題考查代數(shù)式求值，掌握整體思想是解題的關(guān)鍵.

13.（2020?上海南洋中學(xué)七年級(jí)期中）一組數(shù)據(jù)4,7,10,13……中第6個(gè)數(shù)據(jù)為

【答案】19

【分析】

觀察所給一列數(shù)，得到規(guī)律3n+l,從而可得第6個(gè)數(shù)據(jù).

【詳解】

解：第1個(gè)數(shù)據(jù)4=3xl+l,

第2個(gè)數(shù)據(jù)7=3x2+1,

第3個(gè)數(shù)據(jù)10=3x3+1

第4個(gè)數(shù)據(jù)13=3x4+1

第n個(gè)數(shù)據(jù)為：3n+l；

所以，第6個(gè)數(shù)據(jù)為：3x6+1=19,

故答案為：19.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了找規(guī)律---數(shù)字變化類(lèi)，找出規(guī)律3n+l是解答此題的關(guān)鍵.

14.（2020?上海市建平中學(xué)西校七年級(jí)期中）整數(shù)九=時(shí)，多項(xiàng)式

-3/第+犬是三次三項(xiàng)代數(shù)式.

【答案】2或1

【分析】

根據(jù)2F"-3/第+%為三次三項(xiàng)式可得1+〃=3或4一時(shí)=3,算出后再帶入多項(xiàng)式

判斷是否滿(mǎn)足三次三項(xiàng)式即可.

【詳解】

2x'+n一3_?例為三次三項(xiàng)式，

，1+〃=3或4—=3,

解得n=2或雇=±1,

（1）當(dāng)〃=2時(shí)，原多項(xiàng)式是2V—3f+x滿(mǎn)足題意；

（2）當(dāng)〃=1時(shí)，原多項(xiàng)式是2f—3丁+無(wú)滿(mǎn)足題意；

（3）當(dāng)〃=-1時(shí)，原多項(xiàng)式是2x°—3/+x，當(dāng)x=0時(shí)，無(wú)意義，不滿(mǎn)足題意；

綜上，整數(shù)n的值為2或1,

故答案為：2或1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式的概念是解題關(guān)鍵.

15.（2020?上海南洋中學(xué)七年級(jí)期中）多項(xiàng)式-生工。中一次項(xiàng)是.

3

【答案】|

【分析】

直接利用多項(xiàng)式中各部分名稱(chēng)分析得出答案.

【詳解】

...5。~一。+15a~ci1

解：多項(xiàng)式-----------=-----+-----,

故多項(xiàng)式-"一一"+1中的一次項(xiàng)是:￡.

33

故答案為：一.

3

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了多項(xiàng)式，正確把握多項(xiàng)式的相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

16.（2020?上海市建平中學(xué)西校七年級(jí)期中）如圖為手的示意圖，在各個(gè)手指間標(biāo)記字

母A，B,C,D.請(qǐng)你按圖中箭頭所指方向（即A—BTCTOTCTBTA.

B-C-…的方式）從A開(kāi)始數(shù)連續(xù)的正整數(shù)1，2,3,…，當(dāng)字母C第（2〃-1）次

出現(xiàn)時(shí)（〃為正整數(shù)），恰好數(shù)到的數(shù)是（用含〃的代數(shù)式表示）.

【答案】6〃—3

【分析】

根據(jù)題意可以發(fā)現(xiàn)六個(gè)為一個(gè)循環(huán)，每個(gè)循環(huán)中字母。出現(xiàn)兩次，從而可以解答本題.

【詳解】

解：按照—C一…的方式進(jìn)行，每6個(gè)字母

ABCDCB一循環(huán),每一循環(huán)里字母。出現(xiàn)2次，當(dāng)循環(huán)〃次時(shí)，字母。第2〃次出現(xiàn)

時(shí)（〃為正整數(shù)），此時(shí)數(shù)到最后一個(gè)數(shù)為6〃，

當(dāng)字母C第（2〃-1）次出現(xiàn)時(shí)（〃為正整數(shù)），再數(shù)3個(gè)數(shù)為6〃一3.

故答案為：6n-3.

【點(diǎn)睛】

本題考查代數(shù)式、數(shù)的規(guī)律，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

17.（2021?上海九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）將關(guān)于》的一元二次方程%2+〃%+4=（）變形為

無(wú)2=-px-q,就可將/表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，我們

稱(chēng)這樣的方法為“降次法”.已知x2—x—i=。，可用，，降次法，，求得.丫4一3%-1的值是

【答案】I

【分析】

4

根據(jù)題意，將X2-x-l=0化為x2=x+l,再逐步代入代數(shù)式x-3x-l進(jìn)行求值即可.

【詳解】

Vx2-x-l=O,

:.x2=x+1，

/.x4-3x-1

=(x+1)2-3x-l

=x2+2x+l-3x-l

=x2-x-l+l

=0+1

=1.

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題考查利用降次法進(jìn)行代數(shù)式求值，審清題意，按照提示逐步進(jìn)行代入，是解題關(guān)鍵.

18.(2019?上海市閔行區(qū)七寶第三中學(xué)七年級(jí)月考)觀察下面的一列單項(xiàng)式：工,-2犬,

4九3,-8/,…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第n個(gè)單項(xiàng)式為.

【答案】(一1)向2"%"

【解析】

觀察系數(shù)為：1,-2,4,-8都是-2的乘方，x的指數(shù)依次增加I.

戶(hù)(―2)°尤,-2/=(-2)'x2,4X3=(-2)2X3,-8X4=(-2)3X4,故第〃個(gè)單項(xiàng)式

為：(-2)n-'xn.

點(diǎn)睛：關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)系數(shù)的變化規(guī)律，一定要善于從變中尋找不變，再觀察變的規(guī)律.

19.(2019?上海市閔行區(qū)明星學(xué)校七年級(jí)月考)有規(guī)律地排列著這樣一些單項(xiàng)式：-xV,

X2/,T3y6,共8,一口5嚴(yán),為6嚴(yán)…,則第"個(gè)單項(xiàng)式(e］整數(shù))可表示為

【答案】(-防"產(chǎn)

【解析】

試題分析：符號(hào)的規(guī)律：”為奇數(shù)時(shí)，單項(xiàng)式系數(shù)為-1,〃為偶數(shù)時(shí)，單項(xiàng)式系數(shù)為1；

指數(shù)的規(guī)律：第〃個(gè)對(duì)應(yīng)的x的指數(shù)是小y的指數(shù)是x的指數(shù)的2倍.

2

解：第n個(gè)單項(xiàng)可表示為(-x)"y".

故答案為（一九）"/.

點(diǎn)睛：本題是一道考查找規(guī)律的問(wèn)題,通過(guò)觀察得出系數(shù)、字母及字母指數(shù)的變化規(guī)律

是解題的關(guān)鍵.

20.（2019?上海市風(fēng)華中學(xué)七年級(jí)期中）若a?+a-1=0,則代數(shù)式a，+3a的值為_(kāi)____.

【答案】2

【解析】

4Z2+t/-l=0）

?2121

,,ci+a=l，CI—X—d'

??/+3。=（/+3〃=（l—+3。=l—2〃+a~+3。=a~+tz+l=l+l=2.

21.（2018?上海七年級(jí)期末）下列圖形由大小相等的等邊三角形組成：圖1為一個(gè)白三

角形；圖2在圖1外部，畫(huà)了3個(gè)黑三角形；圖3在圖2外部，畫(huà)了6個(gè)白三角形；圖

4在圖3外部，畫(huà)了9個(gè)黑三角形；圖5在圖4外部，畫(huà)了12個(gè)白三角形；……；以

此類(lèi)推，那么圖〃（〃為大于1的整數(shù)）在前一個(gè)圖外部，畫(huà)了一個(gè)三角形（用含有〃

的代數(shù)式表示）

△▼鎏至--

（RI1）（圖3）（圖4）（?$>……

【答案】3（n-l）.

【解析】

【分析】

結(jié)合圖形，通過(guò)5幅圖中，后一幅圖比前一幅增加的三角形數(shù)量與序數(shù)之間的關(guān)系總結(jié)

規(guī)律即可解答.

【詳解】

解：觀察圖形可知，

第2幅圖比第1幅圖增加的三角形數(shù)量：3=3x1,

第3幅圖比第2幅圖增加的三角形數(shù)量：6=3x2,

第4幅圖比第3幅圖增加的三角形數(shù)量：9=3x3,

第5幅圖比第4幅圖增加的三角形數(shù)量：12=3x4,

如此可得規(guī)律為，圖〃（〃為大于1的整數(shù)）比前一個(gè)圖多了3（n-l）個(gè)三角形，

故答案為3（n-l）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了規(guī)律的探索，通過(guò)示例圖形，根據(jù)問(wèn)題進(jìn)行規(guī)律的總結(jié)是解題關(guān)鍵.

22.（2019?上海市黃浦大同初級(jí)中學(xué)七年級(jí)月考）若關(guān)于單項(xiàng)式（機(jī)-3）/-紗的系

數(shù)是-4,次數(shù)是5,則〃?=,〃=.

【答案】-14

【分析】

直接利用單項(xiàng)式的次數(shù)與系數(shù)確定方法分析得出答案.

【詳解】

解：?.?（相一3”"-2。3是關(guān)于ah的單項(xiàng)式,系數(shù)是y,次數(shù)是5,

.'.m—3=—4."—2+3=5.

解得：/〃=—1.〃=4,

故答案為-1.4.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了單項(xiàng)式，正確把握單項(xiàng)式的次數(shù)與系數(shù)確定方法是解題關(guān)鍵.

23.（2019?上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)）已知-—=，則;粵+的值

\+a1+bb-a\+b1+a

【答案】3

【分析】

111

設(shè)l+a=x,l+h=y,則=據(jù)此將原方程變形為------=■——，然后

xyy-x

進(jìn)一步求出工的值，然后代入計(jì)算即可.

X

【詳解】

設(shè)l+a=x,l+》=y,則b-a=y-x,

111

???原方程變形為-----=——，

xyy-x

?■，

xyy-x

=孫，

/.y2-2xy+丁二孫，

即y24-x2=3xy,

.1+a\+bxy2+y2、

..____+____——_j-——_x______—3

\+b1+ayxxy

所以答案為3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了代數(shù)式的求值，熟練運(yùn)用換元法并且找出各未知數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

a+bc+bJ，c心一

24.（2019?上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)）已知尸=acx-----,y=-----,求一+一的

22Xy

值_______.

【答案】2

【分析】

a+bc+b121_2

由x=，y=一^旬二=,據(jù)此將原式變形為■進(jìn)

2a+byc+ba+bc+b

行化簡(jiǎn)變形即可得出答案.

【詳解】

a+bc+b

Vx=-----,y=——，

22

.1=21=2

‘xa+byc+b

ac2a2c2ab+2ac+2c1(0+〃)

xya+hc+b(a+b)(b+c)

b2=ac'

2ab+2b2+2c^a+b^2》（a+》）+2c（a+》）2（b+c）

（a+h）伍+c）（a+b）（》+c'）b+c

所以答案為2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了代數(shù)式的變形，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.

25.（2019?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校西校七年級(jí)期中）古希臘Pythagoras學(xué)派把自然數(shù)與小石

子堆放的形狀比擬，借此把自然數(shù)分類(lèi)，圖中的五角形數(shù)別表示分別表示數(shù)1、5、12、

22、…，那么第n個(gè)五角形數(shù)是（n為正整數(shù)）

O、

?，k八t;

'U；1?-&i.............

AJ\f\f

?￥--4??*???g----4?

第一個(gè)圖第二個(gè)圖第三個(gè)圖第四個(gè)圖

[答案]-----'-

2

【分析】

先數(shù)出前幾個(gè)圖實(shí)心點(diǎn)的個(gè)數(shù)，根據(jù)求出的實(shí)心點(diǎn)的個(gè)數(shù)總結(jié)規(guī)律，即可得出答案.

【詳解】

由圖像可知，第一個(gè)圖有1個(gè)實(shí)心點(diǎn)

第2個(gè)圖有l(wèi)+lx3+l=5個(gè)實(shí)心點(diǎn)

第3個(gè)圖有1+1x3+1+2x3+1=12個(gè)實(shí)心點(diǎn)

第4個(gè)圖有1+1x3+1+2x3+1+3x3+1=22個(gè)實(shí)心點(diǎn)

以此類(lèi)推，第n個(gè)圖有：l+lx3+H-2x3+H-3x3+l+...+3(n-l)+l=3[l+2+3+...+(n-l)]+n

3〃(〃一1)人,

=」——L+〃=」-----L個(gè)實(shí)心點(diǎn)

22

故答案為

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查整式探索和表達(dá)規(guī)律，根據(jù)前面幾個(gè)圖總結(jié)出通用規(guī)律是解決本題的關(guān)

鍵.

26.(2019?上海交大附中九年級(jí))已知。、b、。、“是互不相等的正整數(shù)，且

一+---H—也是整數(shù)，則〃的最大值為_(kāi)____.

abcn

【答案】42

【分析】

根據(jù)“，b,c,〃是互不相等的正整數(shù)，目.一■1■—-1-----也是整數(shù)，故要使得〃盡量大,

abcn

則mb,c的值應(yīng)盡量小，對(duì)小b,c從小到大賦值計(jì)算，可得答案.

【詳解】

a,b,c,〃是互不相等的正整數(shù)，且,+?+,+—也是整數(shù)，

abcn

要使得〃盡量大，則a，b,c的值應(yīng)盡量小

?11111113

a—2,6=3,c=4,則nl一H--1--=—4F—=—

a6c23412

故此種情況不符合題意：

?11111131

若a=2,b—3,c—5,貝!],則ni一H---F—=—H---F—=一

abc23530

故此種情況不符合題意；

11111,11

若a=l,b—2,c=3,則nl--1--F—=—H1-1=一

abc236

此時(shí)”=6,故此種情況不符合題意；

e11111141

若a=2,b—3,c—1,則nl一H--F—=—H1--=—

a6c23742

此時(shí)“=42,則1+1+,+'也是整數(shù)，符合題意

abcn

故n的最大值為：42.

【點(diǎn)睛】

本題考查代數(shù)式求值，明確分?jǐn)?shù)的分母越小分?jǐn)?shù)越大，從而最后剩下的湊整分?jǐn)?shù)的分母

越大，采用賦值與分類(lèi)討論是解答本題的關(guān)鍵.

27.（2019?上海市黃浦大同初級(jí)中學(xué)七年級(jí)月考）如圖都是由同樣大小的黑棋子按一定

規(guī)律擺出的圖案，第①個(gè)圖案有4個(gè)黑棋子篇②個(gè)圖案有9個(gè)黑棋子，第③個(gè)圖案有

14個(gè)黑棋子,…，依此規(guī)律，第〃個(gè)圖案有1499個(gè)黑棋子，則?=.

33

圖4

【答案】300

【分析】

仔細(xì)觀察每一個(gè)圖形中黑棋子的個(gè)數(shù)與圖形序列號(hào)的關(guān)系，找到規(guī)律,利用規(guī)律求解即可.

【詳解】

解：觀察圖1有5x1-1=4個(gè)黑棋子；

圖2有5x2—1=9個(gè)黑棋子；

圖3有5x3—1=14個(gè)黑棋子：

圖4有5x4-1=19個(gè)黑棋子：…

圖〃有5〃—1個(gè)黑棋子，

當(dāng)5〃-1=1499.

解得：n—300,

故答案：300

【點(diǎn)睛】

本題考查了圖形的變化類(lèi)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是能夠仔細(xì)觀察并發(fā)現(xiàn)圖形的變化規(guī)律，難度

不大.

28.(2018?上海浦東新區(qū)?七年級(jí)期中)如圖，一個(gè)9x9的方格圖，由粗線(xiàn)隔為9個(gè)橫

豎各有3個(gè)格的“小九宮”格，其中，有一些方格填有1至9的數(shù)字，小鳴在第九行的空

格中各填入了一個(gè)不大于9的正整數(shù)，使每行、每列和每個(gè)“小九宮”格內(nèi)的數(shù)字都不重

復(fù)，然后小鳴將第九行的數(shù)字從左向右寫(xiě)成一個(gè)9位數(shù)，這個(gè)9位數(shù)是.

【答案】495186273

【分析】

用(7,3)表示位于第7行、第3列的方格，由圖形可知，要將3、5、6、7、9填入(9,2)

(9,3)(9,6)(9,8)(9,9)中；其中第3、6、8、9列中都含有9,故(9,2)應(yīng)填9：

第3、6、、9列中都含有7,故(9,8)應(yīng)填7；此題分析規(guī)律，試著通過(guò)推理就可得到

待求的數(shù).

【詳解】

用(7,3)表示位于第7行、第3列的方格，由圖形可知，要將3、5、6、7,9填入(9,2)

(9,3)(9,6)(9,8)(9,9)中；

其中第3、6、8、9列中都含有9,故(9,2)應(yīng)填9；

第3、6、、9列中都含有7,故(9,8)應(yīng)填7；

第3、6列中都含有3,故(9,3)應(yīng)填5,(9,6)應(yīng)填6；

所以這個(gè)9位數(shù)應(yīng)是495186273

故答案為：495186273

【點(diǎn)睛】

本題考杳數(shù)陣圖，數(shù)陣圖是把一些數(shù)按定的規(guī)則，填在特定形狀的圖形中，觀察圖形，

找出規(guī)律是解題關(guān)鍵.

三、解答題

29.(2019?上海市長(zhǎng)寧中學(xué)七年級(jí)月考)如圖兩個(gè)半圓的直徑分別在正方形的一組對(duì)邊

上,用代數(shù)式表示圖中陰影部分的面積.并計(jì)算當(dāng)x=4時(shí)，陰影部分的面積(x取3.14).

【答案】/-兀()2,陰影部分面積是3.44.

2

【分析】

根據(jù)正方形面積減去圓的面積求出陰影部分面積即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意得：

當(dāng)x=4,兀=3.14時(shí)，

x

x2-it(—)2=16-12.56=3.44,

2

則陰影部分面積是3.44.

【點(diǎn)睛】

此題考查了代數(shù)式求值，以及列代數(shù)式，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.

30.(2019?上海民辦行知二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)月考)如圖，正方形與正方形

BEFG,且A,B,E在一直線(xiàn)上，已知=BE=b(a>b),

(1)用的。、。代數(shù)式表示陰影部分面積;

(2)當(dāng)a=4力=3時(shí)，求陰影部分面積.

【答案】（1）—cr+—b~—ab；（2）—

2222

【分析】

（1）根據(jù)兩個(gè)正方形的面積和減去兩個(gè)三角形面積和即可求出陰影部分的面積：

（2）根據(jù)（1）中的代數(shù)式，把a(bǔ),b的值代入計(jì)算出陰影部分的面積即可.

【詳解】

（1）AB=a,BE=b

S陰影=+

=a2+b2-—a2--ab--b2

222

=-a2+—b2-—ab

222

1,1,1

（2）把a(bǔ)=4,b=3代入一。+一"一一a人得：

222

=-x42+—x32--x4x3

陰瓶222

169J2

"T+2-T

"T

13

故陰影部分的面積為

【點(diǎn)睛】

此題考查了列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正方形的面積公式和三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)

算.

31.（2021?上海九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（閱讀理解）

把圖①放置在2x2的方格紙中，使它恰好蓋住其中三個(gè)小正方形（圖①可以任意旋轉(zhuǎn)），

共有4種不同的放置方法，如圖②所示：

（嘗試操作）

把圖①放置在圖③3x2的方格紙中，使它恰好蓋住其中三個(gè)小正方形，共有

種不同的放置方法，請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉袑⒉煌姆胖梅椒ū硎境鰜?lái).

（歸納發(fā)現(xiàn)）

觀察以上結(jié)果，探究圖①在不同規(guī)格方格紙中的放置方法，將下表補(bǔ)充完整.

方格的規(guī)格2x23x2ax2ax3axb

放置方法的種數(shù)4

【答案】【嘗試操作】8,畫(huà)圖見(jiàn)解析；【歸納發(fā)現(xiàn)】8,4a—4,8a-8,4(a-l)(b-l)

【分析】

嘗試操作：畫(huà)出圖形解答即可；

歸納發(fā)現(xiàn)：找出每種方格紙中含有2x2方格的個(gè)數(shù)即可求解.

【詳解】

嘗試操作：

解：如圖所示，共有8種不同的放置方法，

Siii

t田±j用m田m田m

故答案為：8；

歸納發(fā)現(xiàn)：

解：根據(jù)【嘗試操作】可知ax2的方格紙中，共可以找到(a-1)個(gè)位置不同的2x2方格，

根據(jù)【閱讀理解】可知，每個(gè)2x2方格中有4種放置方法，所以在ax2的方格紙中，共

可以找到(a-l)x4=4a-4種不同的放置方法；

同理：

在ax3的方格中，可以找到2(a-l)=2a-2個(gè)位置不同的2x2方格，所以在在ax3的方格

紙中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有(2a-2)x4=8a-8種不同的放置方法；

在axb的方格紙中，共可以找到(a-1)(卜1)個(gè)位置不同的2x2方格，所以在axb的方格紙

中，使它恰好蓋住其中的三個(gè)小正方形，共有4(a-l)(b-l)種不同的放置方法；

故答案為:8,4a~4,8a—8,4(a—l)(b—1).

【點(diǎn)睛】

此題考杳了平面圖形的有規(guī)律變化，要求學(xué)生通過(guò)觀察圖形，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的

規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

32.(2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí))若a,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，m

的絕對(duì)值是1,求(。+份加-2009〃?的值.

【答案】2009或-2009

【分析】

由題意得，a+b=O,cd=l,m=±l,再分兩種情況代入計(jì)算即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意，則a+b=O,cd=l,同=1,

a+b—O,cd=1,/〃=±1,

...當(dāng)加=1時(shí)，

原式=0x1-2(X)9xl=—2009；

當(dāng)，"=—1時(shí)，

原式=0x1-2009x(-1)=2009；

【點(diǎn)睛】

本題考查了互為相反數(shù)、互為倒數(shù)、絕對(duì)值的意義和性質(zhì)，準(zhǔn)確掌握相反數(shù)、倒數(shù)、絕

對(duì)值的意義和性質(zhì)是解決問(wèn)題的前提，整體代入計(jì)算是關(guān)鍵.

33.(2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí))圖中正方形的邊長(zhǎng)為2cm,求下圖中陰影

部分的面積.

【答案】0.86平方厘米

【分析】

空白部分的面積圍起來(lái)剛好是一個(gè)半徑為1厘米的圓形；利用陰影的面積等于正方形的

面積減去空白的面積，從而完成求解.

【詳解】

陰影的面積=正方形面積-四個(gè)四分之一圓面枳

1,

即：陰影的面積=正方形面積—4x—萬(wàn)r=2x2-3.14x1x1=4-3.14=0.86

4

，陰影部分的面積為0.86平方厘米.

【點(diǎn)睛】

本題考察了圓形面枳計(jì)算、代數(shù)式的知識(shí);解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用圓形面積計(jì)算、

代數(shù)式算的性質(zhì)求解實(shí)際問(wèn)題.

34.(2020?上海市七寶實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中)先觀察下列各式的規(guī)律：

32-22=(3+2)(3-2)=3+2

4?—3?=(4+3)(4-3)=4+3

52-42=(5+4)(5-4)=5+4

(1)由上述一系列算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請(qǐng)用含"代數(shù)式表達(dá)這個(gè)規(guī)律

⑵應(yīng)用上述規(guī)律計(jì)算：F_2?+3?一4?+5?-……-242+252

【答案】(1)(〃+1尸—A?=(〃+1+〃)(〃+1—〃)=2〃+1：(2)325

【分析】

(1)根據(jù)兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方差等于這兩數(shù)的和，用字母表示即可；

(2)把式子分組，運(yùn)用(1)的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

解：(l)(n+1)?-〃2=(/+1+〃)(〃+1-n)=2n+1

(2)12-22+32-42+52-……-242+252

=252-242+232-22+……+52-42+32-22+12

=25+24+23+22+……+5+4+3+2+1

=325

【點(diǎn)睛】

本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)，仔細(xì)觀察式子找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

35.(2020?上海文來(lái)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中)如圖，正方形ABC。與正方形BEFG,且A、

B、E在一直線(xiàn)上，已知=BE=b；

求(1)用含“、6的代數(shù)式表示陰影部分的面積；

(2)當(dāng)a=5厘米，b=3厘米時(shí)，求陰影部分的面積.

10101IQ

【答案】(1)-a'+-b'--ab-(2)行平方厘米.

2222

【分析】

(1)先找出陰影部分的面積它等于兩個(gè)正方形的面積減去兩個(gè)三角形的面積，再根據(jù)

面積公式即可得出答案；

(2)根據(jù)(1)所得出的答案，再把a(bǔ)=5厘米，b=3厘米代入即可求出陰影部分面積.

【詳解】

解：（1）根據(jù)陰影部分面積的面積等于大正方形的面積加上小正方形的面積減去AAOC

的面積和AAEF的面積

,/AB=a，BE=b，

S=a?a+b?b—ci-ci—（a+b）?b

22

S=—a2+—b2--ab

222

（2）把。=5厘米，8=3厘米代入上式可得

1,1,1

S=-X52+-X32——x5x3

222

=-25-1-9---15

222

19

=—（平方厘米）

2

【點(diǎn)睛】

此題考查了列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正方形的面積公式和三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)

算，是一道基礎(chǔ)題.

36.（2020?上海文來(lái)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）為治理污水，甲、乙兩區(qū)都需要各自鋪設(shè)一

段污水排放管道，甲、乙兩區(qū)八月份都各鋪了X米，在九月份和十月份中.甲區(qū)的工作

量平均每月增長(zhǎng)。%,乙區(qū)則平均每月減少4%.

（1）求九月份甲、乙兩區(qū)各鋪設(shè)了多少米的排污管？（分別用含字母。，x的代數(shù)式

表7K）;

（2）如果x=200,且。=10,那么十月份甲區(qū)比乙區(qū)多鋪多少米排污管？

【答案】（1）x（l+。％）米；x（l-a%）米；（2）80米.

【分析】

（1）根據(jù)題意可以用相應(yīng)的代數(shù)式分別表示出九月份甲、乙兩區(qū)各鋪設(shè)了多少米的排污管;

（2）將x=200,a=10代入（1）中求出的代數(shù)式后即可求出十月份甲區(qū)比乙區(qū)多鋪多少米排

污管.

【詳解】

解：（1）由題意可得：甲區(qū)九月份鋪設(shè)排污管尤（1+。％）米；

乙區(qū)九月份鋪設(shè)排污管X。一。％）米，

故答案為：X（l+。％）米，x（l-。％）米.

（2）由題意可得：甲區(qū)十月份鋪設(shè)排污管x（l+4%）2米;

乙區(qū)十月份鋪設(shè)排污管x(l—。％)2米,

將x=200，。=10代入：

甲區(qū)十月份鋪設(shè)排污管為：200(1+0.1)2=2(X)?1.F242米，

乙區(qū)十月份鋪設(shè)排污管為：200(1-0.1)2=200?0.92162米，

故卜月份甲區(qū)比乙區(qū)多鋪242-162=80米排污管,

故答案為：80米.

【點(diǎn)睛】

本題考查列代數(shù)式、代數(shù)式求值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的代數(shù)式.

37.(2020?上海南洋中學(xué)七年級(jí)期中)研究下列算式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

4x1x2+1=32,

4x2x3+1=52,

4x3x4+1=72,

4x4x5+1=92

填空：

4x()x6+l=ll2,

4x6x()+1=132,

4x8x9+l=(3

請(qǐng)你將上述找出的規(guī)律用含有字母N(〃為正整數(shù))的等式表示出來(lái)

【答案】5,7,17：4〃("+1)+1=(2〃+1『(其中n為整數(shù))

【分析】

研究給定算式左邊每一項(xiàng)可得出：第一個(gè)因數(shù)為4,第二個(gè)因數(shù)從1開(kāi)始每次增加1,

第三個(gè)因數(shù)從2開(kāi)始每次增加1,最后的加數(shù)為1：再研究給定算式的右邊可發(fā)現(xiàn)右邊

為二、三兩個(gè)因數(shù)和的平方，結(jié)合該規(guī)律，將第二個(gè)因數(shù)換成n即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：由給定算式發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)因數(shù)為4,第二個(gè)因數(shù)從I開(kāi)始每次增加1,第三個(gè)因數(shù)

從2開(kāi)始每次增加1,最后的加數(shù)為1,等式右邊為二、三兩個(gè)因數(shù)和的平方.

因?yàn)?1=5+6,所以4x()X6+1=112=(5+6)2,故答案為：5；

因?yàn)?3=6+7,所以4x6x()+1=132=(6+7)2,故答案為：7；

因?yàn)?+9=17,所以4X8X9+1=(8+9/=172,故答案為：17.

故答案分別為:5,7,17.

由已知可得：4?n?(n+1)+1=(n+n+1)2=(2n+l)2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)字的變化，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律.本題屬于中檔題，解決該

類(lèi)型題目時(shí)，仔細(xì)觀察并尋找不同點(diǎn)及相同點(diǎn)即可找出規(guī)律.

38.(2017?上海七年級(jí)期中)如圖，用長(zhǎng)度相等的若干根小木棒搭成梯形，根據(jù)

圖示填寫(xiě)下列表格.

二層

一三

層數(shù)一層二層三層四層???N層

所含三角…

3=2?-18=32-115=42一］

形的個(gè)數(shù)

所需小木

3(1+2)-23。+2+3)-23(1+2+3+4)-2

棒數(shù)的根???

數(shù)=7=16=28

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

解：；一層時(shí)，所含小三角形個(gè)數(shù)為3=22—1，所需小木棒的根數(shù)為3(1+2)-2=7,

二層時(shí)，所含小三角形個(gè)數(shù)為8=32-1,所需小木棒的根數(shù)為16=3x(1+2+3)-2,

三層時(shí)，所含小三角形個(gè)數(shù)為15=42-1,所需小木棒的根數(shù)為28=3X(1+2+3+4)-2,

四層時(shí)，所含小三角形個(gè)數(shù)為246=52-1,所需小木棒的根數(shù)為43=3x(l+2+3+4+5)-2,

二〃層時(shí)，所含小三角形個(gè)數(shù)為(〃+1產(chǎn)-1,所需小木棒的根數(shù)為3x(1+2+...+〃+〃+1)-2=

(〃+2)(〃+1)3,9

3x------------—n+—n+l,

222

完成表格如F：

24=52-1,(w+1)2-1

3(1+2+---+(w+l))-2

30+2+3+4+5)-2=43

3，9,

22

點(diǎn)睛：本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)簡(jiǎn)單圖形中所含小三角形個(gè)數(shù)和所需小木棒

的根數(shù)，總結(jié)出一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

39.(2018?上海期中)(1)把左右兩邊計(jì)算結(jié)果相等的式子用線(xiàn)連接起來(lái):

(2)觀察上面計(jì)算結(jié)果相等的各式之間的關(guān)系，可歸納得出:

(3)利用上述規(guī)律計(jì)算下式的值:

【解析】

分析：按照題目中所給的數(shù)據(jù)可以知道，a2-b2=(a+h)(a-b),所以可以反復(fù)使用本公

式計(jì)算.

詳解：

(3)原式=

1+

=-X—X—X—X—X—XX--------X---------

223344.........100100

1101101

—x-----=------

2100200

點(diǎn)睛：觀察已知數(shù)據(jù)，可以得到平方差公式的/一/=(〃+?(”小)，的一種特殊形式,

40.(2019?上海南洋中學(xué))下列各圖形中的“?”的個(gè)數(shù)和“”的個(gè)數(shù)是按照一定規(guī)律擺

放的:

A

?=1

（1）觀察圖形，填寫(xiě)下表:

第n個(gè)圖形12345???n

的個(gè)數(shù)369

的個(gè)數(shù)13???

6...........—-------------------

（2）當(dāng)"=_____時(shí)，"A”的個(gè)數(shù)是“?”的個(gè)數(shù)的2倍

n（n+1）

【答案】（1）12、15、3n、10、15、;；（2）11

【分析】

（1）由圖形知，“?”的個(gè)數(shù)是序數(shù)的3倍，的個(gè)數(shù)是從I開(kāi)始到序數(shù)為止連續(xù)整數(shù)

的和，據(jù)此可得：

（2）根據(jù)（1）中所得結(jié)果列出關(guān)于〃的方程，解之可得答案.

【詳解】

（I）完成表格如下：

第〃個(gè)圖形12345???n

的個(gè)數(shù)3691215???3n

???

的個(gè)數(shù)1361015?(?+!)

2

+1)

（2）根據(jù)題意知1----^=2x3〃，解得：〃=0(舍)或〃=”.

2

故答案為：11.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出數(shù)字的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解

決問(wèn)題.

41.（2019?上海七年級(jí)期中）現(xiàn)有若干根長(zhǎng)度相同的火柴棒，用。根火柴棒，