人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)版八年級(jí)下冊(cè)第十九章四邊形1平行四邊形-“江南聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

關(guān)于平行四邊形判定典型例題【例1】已知：如圖，E，F(xiàn)分別為ABCD的邊CD，AB上一點(diǎn)，，BE，CF分別交CF，AE于H，G.求證：.證明：∵，∴四邊形AECF是平行四邊形.∴∵，∴∵，∴四邊形BFDE是平行四邊形.∴.∵，∴四邊形GFHE是平行四邊形.∴.說(shuō)明：本題考查平行四邊形的判定定理，解題關(guān)鍵是設(shè)法證四邊形GFHE是平行四邊形.【例2】如圖，已知：四邊形ABCD中，，，E，F(xiàn)為垂足，且，.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證法1∵，，∴∴∵，∴在和中，∵，∴，∴∵，∴∴四邊形ABCD是平行四邊形.證法2設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O.∵，∴∴在和中，，，，∴.∴.在和中，∵，∴∴，即∵，∴四邊形ABCD是平行四邊形.說(shuō)明由垂直得到平行是關(guān)鍵【例3】一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形是平行的四邊形嗎？為什么？錯(cuò)解是平行四邊形.正解不一定是平行四邊形.如圖，，，則在四邊形ABDE中有，，但四邊形ABDE顯然不是平行四邊形.說(shuō)明錯(cuò)解中沒(méi)有根據(jù)平行四邊形定義或判斷定理判斷.【例4】已知：如圖，四邊形ABCD中，，以AD，AC為邊作ACED，延長(zhǎng)DC交EB于F.求證：.證明：過(guò)B作，交DC的延長(zhǎng)線于G，連結(jié)EG.∵，∴四邊形ABGD是平行四邊形.∴.∵，∴.∴四邊形BGEC是平行四邊形.∴.說(shuō)明：本題綜合考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是作出正確的輔助線.【例5】已知一個(gè)六邊形的六個(gè)內(nèi)角都是，其連續(xù)四邊的長(zhǎng)依次是1，9，9，5厘米，那么這個(gè)六邊形的周長(zhǎng)是______厘米.解答：如圖，延長(zhǎng)FA，CB相交于G，延長(zhǎng)CD，F(xiàn)E相交于H.由題設(shè)條件，易知和都是等邊三角形.∴∴GCHF為平行四邊形.∴.∴∴六邊形的周長(zhǎng)為：（cm）說(shuō)明：本題考查平行四邊形及等邊三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是作輔助線，將“不規(guī)則”的六邊形變成“規(guī)則”的平行四邊形，本題還可以將其變成等邊三角形，其作輔助線的方法可以是延長(zhǎng)FA，CB交于G，延長(zhǎng)BC，ED交于K，延長(zhǎng)DE，AF交于Q，則為等邊三角形.【例6】如圖，已知：在四邊形ABCD中，，于E，于F，且.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.分析：要證明四邊形ABCD是平行四邊形，已給出的條件有，所以只需再證或就可以了，那么通過(guò)三角形全等證明更容易一些.證明：∵（已知），∴即∵（已知），∴和是直角三角形.在和中，∴∴（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）又∵（已知），∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.說(shuō)明：要證明一個(gè)四邊形是平行四邊形，首先要聯(lián)想到判定四邊形是平行四邊形的幾種判定方法，然后結(jié)合給出條件和圖形的特點(diǎn)，選擇一種可行的判定方法.【例7】．如圖，已知：在ABCD中，點(diǎn)E、F在AC上，且，點(diǎn)G、H分別在AB、CD上，且，AC與GH相交于點(diǎn)O.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.分析：要證四邊形EGFH是平行四邊形，就要證明或EF與GH互相平分，那么通過(guò)證明，可證明，，∴，∴.從而可證四邊形EGFH是平行四邊形，我們也可以通過(guò)證明，從而證得，，再由，證得，從而證明四邊形EGFH是平行四邊形.證明：∵（已知），∴.即.∵（平行四邊形的性質(zhì)）∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.在與中，∴.∴（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.又∵∴∴四邊形EGFH是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）說(shuō)明平行四邊形的判定方法較多，要根據(jù)給出條件判斷使用哪個(gè)判定方法，再根據(jù)不同的判定方法，創(chuàng)造條件去證明.【例8】如圖，已知：四邊形ABCD和四邊形AEFD都是平行四邊形.求證：（1）四邊形BCFE是平行四邊形.（2）.分析：（1）要證明四有BCFE是平行四邊形，可以從邊、角等方面考慮，在本題中，因已有兩個(gè)平行四邊形，從邊下手比較好.因此，我們不妨從邊開始尋找條件，那么由ADFE得，由ABCD可得，，因此有，從而可證明四邊形BCFE是平行四邊形.（2）由圖中的三個(gè)平行四邊形可知，，則根據(jù)“邊邊邊”可證明.證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴且（平行四邊形的對(duì)邊平行且相等）∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴，且（平行四邊形的對(duì)邊平行且相等）∴.∴四邊形BCFE是平行四邊形（有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∵四邊形BCFE是平行四邊形，∴.∵四邊形AEFD是平行四邊形，∴∴（SSS）【例9】已知：如圖，在梯形ABCD中，，過(guò)B作，過(guò)D作交BE于E.求證：.分析：計(jì)算面積，我們可以通過(guò)面積的計(jì)算公式，但同時(shí)，對(duì)于一些特殊的圖形可采取特殊的方法，如，同底同高的兩個(gè)三角形面積相等，同底等高的三角形和平行四邊形的面積比為.那么由給出條件中的幾對(duì)平行線，可考慮構(gòu)造幾個(gè)平行四邊形.延長(zhǎng)DC交BE于F，延長(zhǎng)AC交BE于M，則圖中就有兩個(gè)平行四邊形，即AMED和ABFD.而且這個(gè)平行四邊形的底都為AD，且高都是AD，BE平行線之間的距離，即它們的高也相等，所以它們的面積相等.繼續(xù)觀察圖形可發(fā)現(xiàn)的面積恰好是ABFD面積的一半，的面積恰好是AMED的一半.因此可證明這兩個(gè)三角形的面積相等.證明：延長(zhǎng)DC交BE于F，延長(zhǎng)AC交BE于M.則四邊形ABFD和四邊形AMED皆為平行四邊形，且（同底等高）又∵（等底等高），（同底等高），∴.【例10】如圖，已知：O為等邊三角形ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)，且交AB于D，交AC于F，，交BC于E.求證：分析：要證明，要把BC分成三段，或把三條線段移到BC上去.那么因?yàn)闂l件中給出了3對(duì)平行線段，所以適當(dāng)延長(zhǎng)其中的某些線段就可以得到一些平行四邊形.我們延長(zhǎng)DO交AC于H，延長(zhǎng)FO交BC于G.則四邊形BGOD與四邊形ECHO是平行四邊形，因此，有，，所以只要能夠證明，就可以了.因?yàn)槭翘厥獾娜切巍冗吶切?，它的每個(gè)內(nèi)角都等于，又因?yàn)?，，∴，所以是等邊三角?同理，也是等邊三角形，所以可證得，.證明：延長(zhǎng)FO，交BC于G，延長(zhǎng)DO，交AC于H.∵，∴四邊形ODBG是平行四邊形.∴（平行四邊形的對(duì)邊相等）同理可證：四邊形ECHO也是平行四邊形，∴∵是等邊三角形，∴∵，∴（兩直線平行，同位角相等），∴也是等邊三角形，∴.同理可證：也是等邊三角形，∴∴【例11】如圖，田村有一口呈四邊形的池塘，在它的四個(gè)角A、B、C、D處均種有一顆大核桃樹.田村準(zhǔn)備開挖池塘建養(yǎng)魚池，想使池塘面積擴(kuò)大一倍，又想保持核桃樹不動(dòng)，并要求擴(kuò)建后的池塘成平行四邊形形狀，請(qǐng)問(wèn)田村能否實(shí)現(xiàn)這一設(shè)想？若能，請(qǐng)你設(shè)計(jì)并畫出圖形；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由（畫圖要保留痕跡，不寫畫法）分析：這是一道考查學(xué)生動(dòng)手作圖的能力設(shè)計(jì)題.題中要求擴(kuò)建后的池塘：面積擴(kuò)大一倍，形狀成平行四邊形，且核桃樹不動(dòng).這樣的圖形設(shè)計(jì)方案，只能連結(jié)AC與BD交于O點(diǎn)，將原池塘分割成四塊，分別以AB、BC、CD、DA為對(duì)角線，向外作AOBE、BOCF、CODG、DOAH.連結(jié)EF、FG、GH、HE，就可得到EFGH.如圖，依據(jù)中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，其設(shè)計(jì)合乎題設(shè)要求.【例12】如圖1，中，于，于．求證：四邊形是平行四邊形．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)，可得△≌△，從而，得四邊形是平行四邊形．圖1【解】因?yàn)橹?，，所以．圖1又因?yàn)?，，所以，．所以△≌△．于是．從而四邊形是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．【說(shuō)明】此處用的是一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四形的判定定理，也可讓兩組對(duì)邊分別相等，只要證△≌△，△≌△即可；還可證對(duì)角線互相平分，只要連結(jié)交于點(diǎn)，證即可．【例13】已知：如圖，在中，，、分別為、的中點(diǎn)，．求證：．【分析】這是一道需要計(jì)算的證明題，顯然，則，欲證，只需證，在△中，，，可知，，，問(wèn)題得證．【解】連結(jié)，在中，，，，所以．所以四邊形是平行四邊形．所以．又因?yàn)?，，所以，且．因?yàn)?，所以．所以．于是．從而．【說(shuō)明】選擇平行四邊形判定方法時(shí)，一定要結(jié)合條件而定，這樣才能做到有的放矢．【例14】下列條件，能判斷四邊形是平行四邊形的是（）A．一組對(duì)角相等，一組對(duì)邊相等B