圓錐曲線基本題型總結(jié)

提綱：一、 定義的應(yīng)用：1、定義法求標準方程：2、涉及到曲線上的點到焦點距離的問題3、 焦點三角形問題：二、 圓錐曲線的標準方程：1、 對方程的理解2、求圓錐曲線方程（已經(jīng)性質(zhì)求方程）3、各種圓錐曲線系的應(yīng)用：三、 圓錐曲線的性質(zhì)：1、已知方程求性質(zhì)：2、求離心率的取值或取值范圍3、涉及性質(zhì)的問題：四、 直線與圓錐曲線的關(guān)系：1、位置關(guān)系的判定：2、弦長公式的應(yīng)用：3、 弦的中點問題：4、韋達定理的應(yīng)用：一、定義的應(yīng)用：定義法求標準方程：(1)由題目條件判斷是什么形狀，再由該形狀的特征求方程：(注意細節(jié)的處理)1?設(shè)F2為定點，下￡21=6，動點M滿足IMFJ+IMFqI",則動點M的軌跡是()橢圓 B.直線C.圓 D.線段 【注：2a>|FiF2|是橢圓，2a=|FiF2|是線段】2?設(shè)B—4,0),C4,0)，且△ABC的周長等于18，則動點A的軌跡方程為 )y2+9=1y壬0)X2+9=1y壬0)y2+16_1y壬0)X2+9=1y壬0)【注：檢驗去點】3?已知A0,—5)、B0,5),|PA|—|PB|=2a，當a=3或5時，P點的軌跡為)雙曲線或一條直線雙曲線或兩條直線雙曲線一支或一條直線雙曲線一支或一條射線 【注：2a<|FiF2I是雙曲線，2a=|FiF?|是射線，注意一支與兩支的判斷】已知兩定點匚一3,0),F23,0)，在滿足下列條件的平面內(nèi)動點P的軌跡中，是雙曲線的是)a.||pf|—|pf2||=5||PF」—|PF2||=612||PF|—|PF2||=7||PF|—|PF2||=0 【注：2a<|FF21是雙曲線】1212平面內(nèi)有兩個定點F—5,0)和F25,0)，動點P滿足IPFJ—IPFJ^G，則動點P的軌跡方程是 )V2 V2-9=1xW-4) 一16=1xW-3)V2 V2-9=1x$4) -16=1x$3) 【注：雙曲線的一支】6?如圖，P為圓B：x+2)2+v2=36上一動點，點A坐標為2,0),線段AP的垂直平分線交直線BP于點Q,求點Q的軌跡方程.7?已知點A(0,寸3)和圓x2+(y+邁)2=16,點M在圓0』運動，點P在半徑0』上，且|PM|=|PA|,求動點P的軌跡方程.(2)涉及圓的相切問題中的圓錐曲線：8?已知圓A：x+3)2+v2=100,圓A內(nèi)一定點B3,0),圓P過B且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程.TOC\o"1-5"\h\z已知動圓M過定點B-4,0)，且和定圓x-4)2+v2=16相切，則動圓圓心M的軌跡方程為 )V2 V2-^2=1 x>0) -^2=1 x<0)V2 X2-12=1 -2=1 【注：由題目判斷是雙曲線的一支還是兩支】9.若動圓P過點N-2,0)，且與另一圓M： x-2)2+v2=8相外切，求動圓P的圓心的軌跡方程.【注：雙曲線的一支，注意與上題區(qū)分】10如圖，已知定圓F1：x2+V2+10x+24=0,定圓F2：x2+V2-10x+9=0,動圓M與定圓F1、F2都外切，求動圓圓心M的軌跡方程.11?若動圓與圓x—2）2+y2=1相外切，又與直線x+1=0相切，則動圓圓心的軌跡是 ）A.橢圓 B.雙曲線 C.雙曲線的一支 D.拋物線已知動圓M經(jīng)過點A3,0），且與直線I：x=—3相切，求動圓圓心M的軌跡方程.【注：同上題做比較，說法不一樣，本質(zhì)相同】已知點A3,2），點M到Fg,oj的距離比它到y(tǒng)軸的距離大2.（M的橫坐標非負）1） 求點M的軌跡方程； 【注：體現(xiàn)拋物線定義的靈活應(yīng)用】2） 是否存在M,使|MA|+|MF|取得最小值若存在，求此時點M的坐標；若不存在，請說明理由.【注：拋物線定義的應(yīng)用，涉及拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化成到準線的距離】（3）其他問題中的圓錐曲線：已知A,B兩地相距2000m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚4s,且聲速為340m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程. 【注：雙曲線的一支】2.如圖所示，在正方體ABCD—AB1C1D1中，P是側(cè)面BBRC內(nèi)一動點，若P到直線BC與到直線CR的距離相等,則動點P的軌跡所在的曲線是（）A.直線 B.圓C.雙曲線 D.拋物線注：體現(xiàn)拋物線定義的靈活應(yīng)用】涉及到曲線上的點到焦點距離的問題：x2y2設(shè)橢圓m-+"-^7=1（m>1）上一點P到其左焦點的距離為3,到右焦點的距離為1,則橢圓的離心率為（）m2m2－1x-y-17?橢圓76+專=1的左右焦點為仃，F(xiàn)-,一直線過仃交橢圓于A、B兩點，則△ABF-的周長為（）A.3- B.16 C.8 D.418.已知雙曲線的方程為?一芝=1，點A,B在雙曲線的右支上，線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點F-,|AB|=m,匚為另一焦點，則△ABF的周長為（）A.-a+-m B.4a+-m C.a+m D.-a+4m19?若雙曲線x-—4y-=4的左、右焦點分別是F、F,過F的直線交右支于A、B兩點，若|AB|=5，則△AFB的1--1周長為 .x-y--0.設(shè)仃汁?是橢圓花+f-=1的兩個焦點，P是橢圓上一點，且P到兩個焦點的距離之差為2,則厶PF1F-是（）

A.鈍角三角形BA.鈍角三角形B.銳角三角形C.斜三角形D.直角三角形21.橢圓訐號=1的焦點為F2,點P在橢圓上.若|PF」=4,則匹|= ,ZF1PF2的大小為 .【注：橢圓上的點到焦點的距離，最小是a-c，最大是a+c】X2V222?已知P是雙曲線64—話=1上一點，F(xiàn)1,F2是雙曲線的兩個焦點，若|PF」=17，則|PF2|的值為 .【注：注意結(jié)果的取舍，雙曲線上的點到焦點的距離最小為c-a】X2V223?已知雙曲線的方程是花一彳=1,點P在雙曲線上，且到其中一個焦點匚的距離為10，點N是P?的中點，求|ON|的大小0為坐標原點）. 【注：0是兩焦點的中點，注意中位線的體現(xiàn)】uuuruuuu uuuuuuu設(shè)F2分別是雙曲線5—玄=1的左、右焦點.若點P在雙曲線上，且PF]?PF2=0,則|PF]+pF2|等于（ ）A.3 B6 C.1 D.2已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點，則點P到點0,2）的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值是）【注：拋物線定義的應(yīng)用，將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化成到準線的距離】已知拋物線y2=4x上的點P到拋物線的準線的距離為q,到直線3x—4y+9=0的距離為q,則q+q的最小值是（） C.2【注：拋物線定義的應(yīng)用，將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化成到焦點的距離】27?設(shè)點A為拋物線y2=4x上一點，點B（1,0），且|AB|=1,則A的橫坐標的值為（）A.—2 B.0 C.—2或0 D.—2或2【注：拋物線的焦半徑，即定義的應(yīng)用】焦點三角形問題:

橢圓的焦點三角形周長C -1PF|+|PF|+2C=2a+2capfif2 1 2橢圓的焦點三角形面積：推導過程：PF12+PF22-2PfIIPFIcoso=4c2⑴推導過程：Tpfl+PfL2a（2） 212⑵2-（i）得 2PFIIpfl（i+cos0）=4a2-4c2 PfIIpf\=^2bl-1 2 1 2 1+cos0S=X|PFIIPFLin0=丄叫sin0=b2tan0apfm22i2 21+cos0 2雙曲線的焦點三角形面積：Sa雙曲線的焦點三角形面積：SaPF1F2b2X2y2 n28?設(shè)P為橢圓100+64=1上一點，匚、F2是其焦點，若ZF1PF2^3，求△FfF2的面積.【注：小題中可以直接套用公式。S二b2tanl5?！縳2y229?已知雙曲^9_16=1的左、右焦點分別是匚、仃，若雙曲線上一點P使得ZFiPF2=60°，求△嚇打的面積.【注：小題中可以直接套用公式?！?0.已知雙曲線的焦點在x軸上，離心率為2,F1,F2為左、右焦點，P為雙曲線上一點，且ZFiPF2=60°,SAPF^=12-J勺，求雙曲線的標準方程.x2y231?已知點P(3,4)是橢圓a-+b-=1(a>b>0)上的一點，F(xiàn)、匚為橢圓的兩焦點，若PF丄PF,試求:a2b2 1 2 1 2橢圓的方程；^PFF的面積.12二、圓錐曲線的標準方程：對方程的理解x2 y232.方程|0|二1+命=1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－3,－1)B．(－3,－2)C.（1,十A．(－3,－1)B．(－3,－2)C.（1,十8）D．（－3,1）33?若k>1,則關(guān)于x,y的方程33?若k>1,則關(guān)于x,y的方程1—k)x2+y2=k2—1所表示的曲線是A.焦點在x軸上的橢圓B.焦點在y軸上的橢圓C.焦點在y軸上的雙曲線 D.焦點在x軸上的雙曲線X2 V2對于曲線C：4Zk+k—7=1，給出下面四個命題：曲線C不可能表示橢圓；當1<k<4時，曲線C表示橢圓；若曲線C表示雙曲線，則k<1或k>4；若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則1<k<5.【注：先化為標準方程形式】已知橢圓X2sina—y2cosa=1(0Wa<2n)的焦點在y軸上，則a的取值范圍是()X2 y236?雙曲線匸—m—薩1的一個焦點到中心的距離為3，求”的值.【注：要根據(jù)焦點位置分情況討論】求曲線方程(已經(jīng)性質(zhì)求方程)X2y2以玄一話=—1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為()y2十茜1y2十皆1y2+^=1根據(jù)下列條件，求橢圓的標準方程.兩個焦點的坐標分別是(—4,0),(4,0),橢圓上任意一點P到兩焦點的距離之和等于10;兩個焦點的坐標分別是(0,—2),(0,2)，并且橢圓經(jīng)過點［一|, 【注：定義的應(yīng)用】39?已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為*，且過點P(—5,4)，則橢圓的方程為 40?中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18,且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是（）y2+y2+72=1y2+45=1y2+36=1X2y2 141?設(shè)橢圓m；+n；=1（m>0,n>0）的右焦點與拋物線y2=8x的焦點相同，離心率為夕則此橢圓的方程為（）y2+^y2+^=1y2十滬1y2+64=1y2+48=142.已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為匚（一⑴，0）,且右頂點為D（2,0）.點A點A的坐標是（1）求該橢圓的標準方程;⑵若P是橢圓上的動點，求線段PA的中點M的軌跡方程.【注：相關(guān)點法求曲線方程】43.雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距白的/2倍，且一個頂點的坐標為（0,2），則雙曲線的標準方程為（X2—汙X2—訂y2“4=1X2—汙X2—訂y2“4=144.已知雙曲線?一總=1@>0,b>0）的一條漸近線方程是y=\'3x,它的一個焦點在拋物線y2=24x的準線上,雙曲線的方程為（）y2108=1y2-9=145.求與雙曲線-盞一芳=1有公共焦點，且過點3百，2）的雙曲線方程.46?雙曲線C與橢圓彳+才=1有相同的焦點，直線y=\；?x為C的一條漸近線.求雙曲線C的方程.47.根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程:1）經(jīng)過點一3,—1）；2）焦點為直線3x—4y—12=0與坐標軸的交點.48?拋物線y2=2pxp>0）上一點M的縱坐標為一4邁，這點到準線的距離為6,則拋物線方程為 【注：定義的應(yīng)用，焦半徑】三、圓錐曲線的性質(zhì):已知方程求性質(zhì)：49.橢圓2x2+3y49.橢圓2x2+3y2=1的焦點坐標是（）B.（0,±1） C.（±1,0） 【注:50?橢圓25x2+9y2=225的長軸長、短軸長、離心率依次是（4-》5A-B.10,6,4C.5,3,5 D.焦點位置】）310,6,551?設(shè)a壬0,aGR,則拋物線y=ax2的焦點坐標為（）【注：先化為拋物線的標準方程，此處最容易出錯】2.求離心率的取值或取值范圍X2y2直線x+2y—2=0經(jīng)過橢圓—十「=1 （a>b>0）的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的離心率等于 a2b2以等腰直角△ABC的兩個頂點為焦點，并且經(jīng)過另一頂點的橢圓的離心率為 .若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是（）

【注：尋找a,b,c的等量關(guān)系，遇b換成a、c,整理成關(guān)于a、c的方程】TOC\o"1-5"\h\z橢圓的兩個焦點為匚、F2,短軸的一個端點為A,且三角形F’AF2是頂角為120°的等腰三角形，則此橢圓的離心率為 ■X2V2 (b)設(shè)橢圓二+右=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F、打，線段FF2被點匕，0)分成3:1的兩段，則此橢圓的離a2b2 12^12 \2丿心率為 .57?中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(4,-2)，則它的離心率為()X2V258?雙曲線￡—±=1的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是 )X2V2已知雙曲線石一±=1(a>0,b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60。的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是()A.(1,2] B.(1,2)C.[2，+^) D.(2，+^)四、直線與圓錐曲線的關(guān)系:位置關(guān)系的判定：已知拋物線的方程為V2=4x，直線I過定點P—2,1)，斜率為為何值時，直線I與拋物線y2=4x:只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點【注：雙曲線和拋物線中，都有相交只有一個交點的情況，這是二次項系數(shù)為0的時候，因此相離、相切、相交有兩個交點，需要用么判斷時，必須要加上二次項系數(shù)不為0的條件】已知拋物線V=4x2上一點到直線v=4x—5的距離最短，則該點坐標為A.1,2)B.A.1,2)B.0,0)D.1,4)弦長公式的應(yīng)用:X2已知斜率為1的直線I過橢圓N+y2=1的右焦點F交橢圓于A、B兩點，求弦AB的長.63?直線y=kx—2交拋物線y2=8x于A、B兩點，若線段AB中點的橫坐標等于2,求弦AB的長.64.已知頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線被直線y=2x+1截得的弦長為叮15求拋物線的方程.65?已知橢圓C：|+y;=1 a>b>0）的離心率為乎，短軸一個端點到右焦點的距離為“J3.1） 求橢圓C的方程；2） 設(shè)直線I與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點0到直線I的距離為亍，求△AOB面積的最大值.566?已知過拋物線y2=2px（p>0）的焦點的直線交拋物線于A、B兩點，且〔ABU^P，求AB所在的直線方程.2、弦的中點問題：X2y2TOC\o"1-5"\h\z67?橢圓E：^^4=1內(nèi)有一點P（2,1），則經(jīng)過P并且