2022-2023學(xué)年廣東執(zhí)信中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線是圓的對(duì)稱軸，則實(shí)數(shù)()A． B． C．1 D．22．定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）A．2 B．4 C．6 D．83．某學(xué)校高三模擬考試中數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，考生共有1000人，估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5分到86分之間的人數(shù)約為（）人．參考數(shù)據(jù)：，）A．261 B．341 C．477 D．6834．從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng)，則男女生都有的選法種數(shù)是（）A．18 B．24 C．30 D．365．已知，則的值()A．都大于1 B．都小于1C．至多有一個(gè)不小于1 D．至少有一個(gè)不小于16．過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程為（）A． B．C． D．7．已知A，B是半徑為的⊙O上的兩個(gè)點(diǎn)，·＝1，⊙O所在平面上有一點(diǎn)C滿足｜＋｜＝1，則｜｜的最大值為（）A．＋1 B．＋1 C．2＋1 D．+18．設(shè)函數(shù)，，給定下列命題：①若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則；②若方程恰好只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則；③若，總有恒成立，則；④若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù).則正確命題的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．9．設(shè)，“”，“”，則是的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，=x+2y+3z，則x+y+z=（）A．1 B． C． D．11．可以整除（其中）的是（）A．9 B．10 C．11 D．1212．由命題“周長(zhǎng)為定值的長(zhǎng)方形中，正方形的面積取得最大”可猜想：在表面積為定值的長(zhǎng)方體中（）A．正方體的體積取得最大B．正方體的體積取得最小C．正方體的各棱長(zhǎng)之和取得最大D．正方體的各棱長(zhǎng)之和取得最小二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間四邊形中，若分別是的中點(diǎn)，是上點(diǎn)，且，記，則_____.14．位老師和位同學(xué)站成一排合影，要求老師相鄰且不在兩端的排法有______種.（用數(shù)字作答）15．《聊齋志異》中有這樣一首詩(shī)：“挑水砍柴不堪苦，請(qǐng)歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無(wú)所阻，額上墳起終不悟.”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：，，，則按照以上規(guī)律，若具有“穿墻術(shù)”，則______.16．曲線在（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線方程為_(kāi)_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）已知，若使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知冪函數(shù)f（x）=（m∈N*），經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，），試確定m的值，并求滿足條件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的實(shí)數(shù)a的取值范圍．19．（12分）已知函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值為.（1）求的解析式；（2）若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）與函數(shù)在處的切線互相平行．（1）求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）求證：函數(shù)的圖象總在函數(shù)圖象的上方．21．（12分）某地為了調(diào)查市民對(duì)“一帶一路”倡議的了解程度，隨機(jī)選取了100名年齡在20歲至60歲的市民進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并通過(guò)問(wèn)卷的分?jǐn)?shù)把市民劃分為了解“一帶一路”倡議與不了解“一帶一路”倡議兩類.得到下表：年齡20,3030,4040,5050,60調(diào)查人數(shù)/名30302515了解“一帶一路”倡議/名1228155（I）完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為以40歲為分界點(diǎn)對(duì)“一帶一路”倡議的了解有差異（結(jié)果精確到0.001）；年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)合計(jì)了解不了解合計(jì)（Ⅱ）以頻率估計(jì)概率，若在該地選出4名市民（年齡在20歲至60歲），記4名市民中了解“一帶一路”倡議的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列，數(shù)學(xué)期望和方差.附：P0.1500.1000.0500.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.635K2=n22．（10分）一個(gè)袋子裝有大小形狀完全相同的9個(gè)球，其中5個(gè)紅球編號(hào)分別為1,2,3,4,5；4個(gè)白球編號(hào)分別為1,2,3,4，從袋中任意取出3個(gè)球．（I）求取出的3個(gè)球編號(hào)都不相同的概率；（II）記為取出的3個(gè)球中編號(hào)的最小值，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由于直線是圓的對(duì)稱軸，可知此直線過(guò)圓心，將圓心坐標(biāo)代入直線方程中可求出的值【詳解】解：圓的圓心為，因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以直線過(guò)圓心，所以，解得，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查直線與圓的位置關(guān)系，利用了圓的對(duì)稱性求解，屬于基礎(chǔ)題2、B【解析】

根據(jù)f（x）的周期和對(duì)稱性得出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象和對(duì)稱軸得出交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】∵f（x+1）＝﹣f（x），∴f（x+1）＝﹣f（x+1）＝f（x），∴f（x）的周期為1．∴f（1﹣x）＝f（x﹣1）＝f（x+1），故f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．又g（x）＝（）|x﹣1|（﹣1＜x＜3）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可知兩函數(shù)圖象在（﹣1，3）上共有4個(gè)交點(diǎn)，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象變換，考查了函數(shù)對(duì)稱性、周期性的判斷及應(yīng)用，考查了函數(shù)與方程的思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．3、B【解析】分析：正態(tài)總體的取值關(guān)于對(duì)稱，位于之間的概率是0.6826，根據(jù)概率求出位于這個(gè)范圍中的個(gè)數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性除以2得到要求的結(jié)果．詳解：正態(tài)總體的取值關(guān)于對(duì)稱，位于之間的概率是，則估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5分到86分之間的人數(shù)約為人.故選B.點(diǎn)睛：題考查正態(tài)曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是考試的成績(jī)關(guān)對(duì)稱，利用對(duì)稱寫出要用的一段分?jǐn)?shù)的頻數(shù)，題目得解．4、C【解析】

由于選出的3名學(xué)生男女生都有，所以可分成兩類，一類是1男2女，一類是2男1女.【詳解】由于選出的3名學(xué)生男女生都有，所以可分成兩類：（1）3人中是1男2女，共有；（2）3人中是2男1女，共有；所以男女生都有的選法種數(shù)是.【點(diǎn)睛】本題考查分類與分步計(jì)算原理，考查分類討論思想及簡(jiǎn)單的計(jì)算問(wèn)題.5、D【解析】

先假設(shè)，這樣可以排除A，B.再令，排除C.用反證法證明選項(xiàng)D是正確的.【詳解】解:令，則，排除A，B.令，則，排除C.對(duì)于D，假設(shè)，則，相加得，矛盾，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了反證法的應(yīng)用，應(yīng)用特例排除法是解題的關(guān)鍵.6、C【解析】

設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，即切線的斜率，然后由直線方程的點(diǎn)斜式得切線方程，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)后求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，則切線方程可求．【詳解】由，得，

設(shè)切點(diǎn)為

則，

∴切線方程為，

∵切線過(guò)點(diǎn)，

∴?ex0＝ex0(1?x0)，

解得：．

∴切線方程為，整理得：.故選C.．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)的切線方程，過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．7、A【解析】

先由題意得到，根據(jù)向量的數(shù)量積求出，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（，）得到點(diǎn)B坐標(biāo)，再設(shè)C（x，y），根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】依題意，得：，因?yàn)?，所以，?，得：，以O(shè)為原點(diǎn)建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（，），則B（，）或B（，）設(shè)C（x，y），當(dāng)B（，）時(shí)，則＝（＋－x，＋－y）由｜＋｜＝1，得：＝1，即點(diǎn)C在1為半徑的圓上，A（，）到圓心的距離為：＝｜｜的最大值為＋1當(dāng)B（，）時(shí)，結(jié)論一樣．故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查向量模的計(jì)算，熟記向量的幾何意義，以及向量模的計(jì)算公式，即可求解，屬于?？碱}型.8、C【解析】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)，極值以及恒成立問(wèn)題.【詳解】對(duì)于①，的定義域，，令有即，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，且當(dāng)時(shí)，又，從而要使得方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，即與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，故①正確對(duì)于②，易知不是該方程的根，當(dāng)時(shí)，，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于和只有一個(gè)交點(diǎn)，，又且，令，即，有，知在和單減，在上單增，是一條漸近線，極小值為．由大致圖像可知或，故②錯(cuò)對(duì)于③當(dāng)時(shí)，恒成立，等價(jià)于恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)，即恒成立，即在上恒成立，令，則，令得，有，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，于是，故③正確.對(duì)于④有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)不同的正根，即方程有兩個(gè)不同的正根，由③可知，，即，則④正確.故正確命題個(gè)數(shù)為3，故選.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)有關(guān)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題目．解題時(shí)注意利用數(shù)形結(jié)合，通過(guò)函數(shù)圖象得到結(jié)論．9、C【解析】

利用不等式的性質(zhì)和充分必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得到答案.【詳解】充分性：.所以即：，充分性滿足.必要性：因?yàn)?，所以?又因?yàn)?，所以，?當(dāng)時(shí)，，不等式不成立.當(dāng)時(shí)，，，不等式不成立當(dāng)時(shí)，，，不等式成立.必要性滿足.綜上：是的充要條件.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件，同時(shí)考查了對(duì)數(shù)的比較大小，屬于中檔題.10、B【解析】

先根據(jù)題意，易知，再分別求得的值，然后求得答案即可.【詳解】在平行六面體中，所以解得所以故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，屬于較為基礎(chǔ)題.11、C【解析】分析：，利用二項(xiàng)展開(kāi)式可證明能被11整除.詳解：.故能整除（其中）的是11.故選C.點(diǎn)睛：本題考查利用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題.12、A【解析】

根據(jù)類比規(guī)律進(jìn)行判定選擇【詳解】根據(jù)平面幾何與立體幾何對(duì)應(yīng)類比關(guān)系：周長(zhǎng)類比表面積，長(zhǎng)方形類比長(zhǎng)方體，正方形類比正方體，面積類比體積，因此命題“周長(zhǎng)為定值的長(zhǎng)方形中，正方形的面積取得最大”，類比猜想得：在表面積為定值的長(zhǎng)方體中，正方體的體積取得最大，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查平面幾何與立體幾何對(duì)應(yīng)類比，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由條件可得【詳解】因?yàn)?，分別是的中點(diǎn)所以所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是空間向量的線性運(yùn)算，較簡(jiǎn)單.14、24【解析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：第一步，將3位同學(xué)全排列，排好后中間有2個(gè)空位可用；第二步，將2位老師看成一個(gè)整體，安排在2個(gè)空位中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：第一步，將3位同學(xué)全排列，有種排法，排好后中間有2個(gè)空位可用；第二步，將2位老師看成一個(gè)整體，安排在2個(gè)空位中，有種安排方法.則有種排法.故答案為:24.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題.對(duì)于不相鄰的問(wèn)題，一般采用插空法；對(duì)于相鄰的問(wèn)題，一般采用捆綁法.15、24【解析】

觀察所告訴的式子，找出其中的規(guī)律，可得n的值.【詳解】解：觀察所給式子的規(guī)律可得：，，，故可得：.故答案為：24.【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理，注意根據(jù)題中所給的式子找出規(guī)律進(jìn)行推理.16、【解析】

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到（e），再求出（e）的值，則由直線方程的點(diǎn)斜式可得切線方程．【詳解】由，得，（e）．即曲線在點(diǎn)，（e）處的切線的斜率為2，又（e）．曲線在點(diǎn)，（e）處的切線方程為，即．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，曲線上過(guò)某點(diǎn)的切線的斜率，就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或；（2）【解析】分析：（1）由，可得若恒成立，只需，從而可得結(jié)果；（2）使成立等價(jià)于，成立，利用基本不等式求出的最小值為，從而可得結(jié)果.詳解：（1）∵，若恒成立，需，即或，解得或.（2）∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，即，成立，由，∵，∴（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立），∴.又知，∴的取值范圍是.點(diǎn)睛：本題主要考基本不等式求最值以及不等式恒成立問(wèn)題，屬于難題．不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù).本題是利用方法①求得的最大值.18、.【解析】

先根據(jù)冪函數(shù)的定義求出m的值，再根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性得到不等式組，解得即可【詳解】∵冪函數(shù)f（x）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，），∴=，即=∴m2+m=2．解得m=2或m=﹣2．又∵m∈N*，∴m=2．∴f（x）=，則函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞），并且在定義域上為增函數(shù)．由f（2﹣a）＞f（a﹣2）得解得2≤a＜．∴a的取值范圍為[2，）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，以及不等式組的解法，屬于基礎(chǔ)題．19、(1).(2).【解析】分析：(1)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得，再與函數(shù)值聯(lián)立方程組解得的解析式；(2)先化簡(jiǎn)方程得，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在上單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖像確定條件，解得結(jié)果.詳解：（1），由題意得，，即，解得，∴.（2）由有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，得在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，設(shè)，由，由，得或，當(dāng)時(shí)，，則在上遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上遞減，由題意得，即，解得，點(diǎn)睛：涉及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題、函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，一般先通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點(diǎn)、方程根、交點(diǎn)的情況，歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路.20、（1）最小值為，最大值為；（2）見(jiàn)解析【解析】分析：（1）求得，，由已知有，解得，代入得到函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得最大值與最小值；（2）令，則只須證恒成立即可，由導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可作出證明．詳解：（1），，由已知有，解得．當(dāng)時(shí)，．令，解得．∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；又，，．∴最小值為，最大值為．（2）令，則只須證恒成立即可．∵．顯然，單調(diào)遞增（也可再次求導(dǎo)證明之），且．∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；∴恒成立，所以得證．點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或解不等式問(wèn)題，通常首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍