2022-2023學年九年級數(shù)學專家點撥-相似三角形

一、考點突破相似三角形的知識是全等三角形知識的拓廣和發(fā)展。相似三角形承接了全等三角形，從特殊的相等到一般的成比例。相似三角形的性質(zhì)和判定是中考命題的重點和熱點，有時單獨命題，有時與“圓”“四邊形”“銳角三角函數(shù)”“二次函數(shù)”等知識綜合命題?？v觀歷屆中考對相似三角形的考查，主要考查以下內(nèi)容：（1）相似三角形的概念；（2）相似三角形的判定方法；（3）相似三角形的性質(zhì)；（4）相似三角形的周長與面積。二、重難點提示重點：相似三角形的概念；相似三角形的性質(zhì)，并能運用其性質(zhì)進行有關(guān)的計算；利用相似三角形的判定方法解決問題。難點：靈活解決與相似三角形有關(guān)的綜合問題。一、知識脈絡圖二、專家點撥1.相似三角形的概念對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。2.相似三角形的判定方法（1）定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似。（2）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或其他兩邊的延長線）所構(gòu)成的三角形和原三角形相似。（3）如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。（4）如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似。（5）如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似。注意：一定相似的三角形：兩個全等的三角形一定相似；兩個等腰直角三角形一定相似（兩個等腰三角形，如果其中的任意一個頂角或底角相等，那么這兩個等腰三角形相似）；兩個等邊三角形一定相似。3.相似三角形的性質(zhì)（1）相似三角形對應角相等，對應邊成比例。（2）相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。（3）相似三角形周長的比等于相似比。（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。（5）相似三角形內(nèi)切圓、外接圓直徑比和周長比都等于相似比，內(nèi)切圓、外接圓面積比等于相似比的平方。能力提升類例1如圖所示，在銳角△ABC中，AD是邊BC上的高，E是AD上一點，且滿足AE：ED＝CD：DB，過點D作DF⊥BE，垂足為F，求證：∠AFC＝90°。一點通：欲證∠AFC＝90°，即證∠AFE＋∠CFE＝90°，因為∠DFC＋∠CFE＝90°，故需證∠AFE＝∠DFC。又題中有比例式，于是自然想到通過相似三角形來證明。解：因為DF是Rt△BDE的斜邊上的高。所以∠EDF＝∠EBD，所以△EFD∽△DFB，所以。又，即，所以。又∠AEF＝90°＋∠EDF＝∠CDF，即∠AEF＝∠CDF，所以△AEF∽△CDF，所以∠AFE＝∠CFD，所以∠AFC＝∠AFE＋∠CFE＝∠DFC＋∠CFE＝∠DFE＝90°。點評：本題將證明直角的問題轉(zhuǎn)化為證明等角的問題，轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想是解決幾何問題常用的方法之一。例2如圖，△ABC和△A1B1C1均為等邊三角形，BC和B1C1的中點均為D，求證AA1⊥CC一點通：連接AD，延長AA1交DC于O，交C1C于E，利用特殊三角形邊之間的關(guān)系求得＝＝，求得△AA1D∽△CC1D，∠A1AD＝∠C1CD，然后即可證明AA1⊥CC1。解：連接AD，延長AA1交DC于O，交C1C∵∠ADA1＝90°－∠A1DC＝∠CDC1，又和為等邊三角形，D為BC和的中點，，∴△AA1D∽△CC1D，∴∠A1AD＝∠C1CD，又∵∠AOD＝∠COE，∴∠ADO＝∠CEO＝90°，即AA1⊥CC1。 點評：此題主要考查學生相似三角形的判定、性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)的綜合運用，證明此題的關(guān)鍵是求得＝＝。綜合運用類例3如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分線，且CE⊥AB，E為垂足，BE＝2AE，若四邊形AECD的面積為1，求梯形ABCD的面積。一點通：首先延長BA與CD，交于F，即可得△FAD∽△FBC與△BCE≌△FCE，然后令S△FAD＝x，即可求得S△FBC＝16x，S△BCE＝S△FEC＝8x，S四邊形AECD＝7x，又由四邊形AECD的面積為1，即可求得梯形ABCD的面積。解：延長BA與CD，交于F，∵AD∥BC，∴△FAD∽△FBC，∵CE是∠BCD的平分線，∴∠BCE＝∠FCE，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝∠FEC＝90°，∵EC＝EC，∴△BCE≌△FCE，∴BE＝EF，∵BE＝2AE，∴BF＝4AF，∴，設S△FAD＝x，∴S△FBC＝16x，∴S△BCE＝S△FEC＝8x，∴S四邊形AECD＝7x，∵四邊形AECD的面積為1，∴7x＝1，∴x＝，∴梯形ABCD的面積為：S△BCE+S四邊形AECD＝15x＝。點評：此題考查了梯形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點。此題綜合性很強，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用。例4如圖，正方形ABCD的邊長為1，M，N為BD所在直線上的兩點，且AM＝，∠MAN＝135°，求四邊形AMCN的面積。一點通：根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AO的長，用勾股定理求出MO的長，然后由∠MAN＝135°及∠BAD＝90°可以得到相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出DN的長，再計算四邊形AMCN的面積。解：設正方形ABCD的中心為O，連接AO，則AO⊥BD，AO＝OB＝，MO＝＝＝，∴MB＝MO－OB＝。又∠ABM＝∠NDA＝135°，∠NAD＝∠MAN－∠DAB－∠MAB＝135°－90°－∠MAB＝45°－∠MAB＝∠AMB，所以△ADN∽△MBA，故＝，從而DN＝?BA＝×1＝。根據(jù)對稱性可知，四邊形AMCN的面積S＝2S△MAN＝2××MN×AO＝2×（++）×＝。點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，運用勾股定理求出相應線段的長，再根據(jù)∠MAN＝135°和∠BAD＝90°，得到相似三角形，用相似三角形的性質(zhì)求出DN的長，然后根據(jù)對稱性求出四邊形的面積。思維拓展類例5如圖，四邊形ABCD是梯形，點E是上底邊AD上一點，CE的延長線與BA的延長線交于點F，過點E作BA的平行線EM交CD的延長線于點M，BM與AD交于點N。證明：∠AFN＝∠DME。一點通：設MN與EF交于點P，NE∥BC，證明△PNE∽△PBC，再利用ME∥BF，證明△PME∽△PBF，再利用PNF∽△PMC，其對應角相等，即可解題。解：設MN與EF交于點P?！逳E∥BC，∴△PNE∽△PBC，∴，∴PB?PE＝PN?PC。又∵ME∥BF，∴△PME∽△PBF，∴，∴PB?PE＝PM?PF?！郟N?PC＝PM?PF，故，又∠FPN＝∠MPE，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF＝∠PMC，∴NF∥MC，∴∠ANF＝∠EDM。又∵ME∥BF，∴∠FAN＝∠MED，∴∠ANF+∠FAN＝∠EDM+∠MED，∴∠AFN＝∠DME。點評：此題考查學生對相似三角形的判定與性質(zhì)和平行線的判定與性質(zhì)的理解和掌握，難度較大。例6已知：在△ABC中，BC＝2AC,∠DBC＝∠ACB,BD＝BC,CD交線段AB于點E.（1）如圖1，當∠ACB＝90°時，則線段DE、CE之間的數(shù)量關(guān)系為______________。（2）如圖2，當∠ACB＝120°時，求證：DE＝3CE;（3）如圖3，在（2）的條件下，點F是BC邊的中點，連接DF，DF與AB交于點G,△DKG和△DBG關(guān)于直線DG對稱（點B的對稱點是點K）,延長DK交AB于點H，若BH＝10，求CE的長。一點通：（1）易證△DBE∽△CAE，通過相似比，可得出結(jié)論；（2）通過作輔助線，過點B作BM⊥DC于M，證明△BME≌△ACE，可證得結(jié)論；（3）過點B作BT⊥DC于點T，過點F作FN⊥DB交DB的延長線于點N，設BF＝a，在BFN中，用a分別表示出BN、FN的長，利用勾股定理得出DF，再通過證明△FBG∽△FDB，利用相似比求得FG、DG、BG，然后，根據(jù)△DKG和△DBG關(guān)于直線DG對稱，證得△BGF∽△DGH，利用相似比得出GH、BH，求出a的值，從而求出CE的長。解：（1）DE＝2EC；（2）證明：如圖所示，∵∠DBC＝∠ACB＝120°，DB＝BC，∴∠D＝∠BCD＝30°∴∠ACD＝90°，過點B作BM⊥DC于M，則DM＝MC，BM＝BC∵AC＝BC∴BM＝AC又∵∠BMC＝∠ACM＝90°，∠MEB＝∠CEA∴△BME≌△ACE∴ME＝CE＝CM∴DE＝3EC；（3）如圖所示：過點B作BT⊥DC于T，過點F作FN⊥DB交DB的延長線于點N,設BF＝a∵∠DBF＝120°；∴∠FBN＝60°，，∴FN＝a，BN＝a，∵DB＝BC＝2BF＝2a，∴DN＝DB+BN＝a，∴DF＝，∵AC＝BC，BF＝BC，∴BF＝AC，∴△DBF≌△BCA，∴∠BDF＝∠CBA，又∵∠BFG＝∠DFB，∴△FBG∽△FDB，∴，∴BF2＝FG·FD，∴a2＝a·FG，∴FG＝，∴DG＝DF－FG＝，BG＝∵△DKG和△DBG關(guān)于直線DG對稱∴∠GDH＝∠BDF∴∠ABC＝∠GDH又∵∠BGF＝∠DGH∴△BGF∽△DGH∴∴，∵BH＝BG+GH＝，∴a＝∴BC＝2a＝，CT＝，∴DC＝2CT＝，∵DE＝3EC，∴CE＝。點評：本題考查了全等、相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應用。本題考查的知識點較多，綜合性較強，作好輔助線，對于證明結(jié)論事半功倍。1.運用轉(zhuǎn)化思想把要求證的線段間的關(guān)系逐步轉(zhuǎn)化為易證的線段的另一種關(guān)系，即由未知向已知轉(zhuǎn)化，當兩個三角形相似時，在沒有指明對應的情況下，應進行分類討論。2.當求線段長度時，要根據(jù)已知轉(zhuǎn)化為通過相似建立的未知線段的比例關(guān)系式，從而求出所求線段的長。解決問題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用。3.在利用相似三角形的關(guān)系進行有關(guān)面積的計算時，有時會用到等底等高的三角形面積相等、同底（或等底）三角形的面積之比等于對應高之比、同高（或等高）三角形的面積之比等于對應邊長之比。例如圖，中，，，，點在邊上，且，過點作直線與三角形的另一邊交于點。若截得的三角形與原三角形相似，試求的長。解：（1）如圖（甲），若∽，則，即，所以。（2）如圖（乙），若∽，則，即，所以。甲乙丙?。?）如圖（丙），若∽，則，即，所以。（4）如圖（丁），若∽，則，即，所以。失分警示：本題只說過點作直線與三角形的另一邊交于點，沒有指明直線怎樣作，與三角形的哪一邊交于點，作法不同，得到的相似三角形的對應關(guān)系不同，故應分情況討論。此題易出現(xiàn)只考慮情況（1）、（2），而忽略其他2種情況的錯誤。（答題時間：50分鐘）一、選擇題1.如圖，△DEF的邊長分別為1，，2，正六邊形網(wǎng)格是由24個邊長為2的正三角形組成，以這些正三角形的頂點為頂點畫△ABC，使得△ABC∽△DEF。如果相似比＝k（k>1），那么k的不同的值共有（）A.1個 B.2個C.3個 D.4個2.已知⊙O的半徑等于等邊△ABC的高，△DEF是⊙O的內(nèi)接等邊三角形，則△ABC與△DEF的周長比為（）A.1：2B.1：3C.3：2D.2：33.如圖，△ABC中，點D在線段BC上，且△ABC∽△DBA，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.AB2＝BC?BDB.AB2＝AC?BDC.AB?AD＝BD?BCD.AB?AD＝AD?CD*4.如圖，在鈍角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，動點D從A點出發(fā)到B點止，動點E從C點出發(fā)到A點止。點D運動的速度為1cm/秒，點E運動的速度為2cm/秒。如果兩點同時運動，那么當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是（）A.3秒或4.8秒B.3秒C.4.5秒D.4.5秒或4.8秒二、填空題1.如圖，D、E分別為AB、AC的中點，BE、CD交于點O，則△ADE∽△______，相似比k1＝______；△ODE∽△______，相似比k2＝______。2.等邊三角形ABC和△A′B′C′相似，相似比為5：2，若AB＝10，B′C′邊上的高是______。3.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝8cm，AD＝4cm，E為AD的中點，在AB上取一點F，使△CBF∽△CDE，則AF＝______cm。4.已知，如圖，△ABC∽△AED，AD＝5cm，EC＝3cm，AC＝13cm，則AB＝______cm。三、解答題1.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，過C作CD∥AB與⊙O相交于D點，E是上一點，且滿足AD＝DE，連接BD與AE相交于點F。求證：△ADF∽△ABC。2.如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，D是的中點，BD交AC于點E。（1）△CDE與△BDC相似嗎？為什么？（2）若DE?DB＝16，求DC的長。**3.已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD>AB），將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連接AF和CE。（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若AE＝10cm，△ABF的面積為24cm2，求△ABF的周長；（3）在線段AC上是否存在一點P，使得2AE2＝AC·AP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由。**4.如圖（1），△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，將△EFD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)終止。不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況，設DE、DF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于G、H點，如圖（2）。（1）問：始終與△AGC相似的三角形有及；（2）設CG＝x，BH＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（只要求根據(jù)（2）的情況說明理由）；（3）問：當x為何值時，△AGH是等腰三角形？

一、選擇題1.C解析：根據(jù)題意可得：在正六邊形網(wǎng)格中找與△DEF相似的三角形；即找三邊的比值為1：：2的直角三角形；分析圖形可得：共三種情況，相似比分別為：2，3，4。2.D解析：假設△ABC的邊為2x，可以求出它的高為x。再根據(jù)題里的已知條件，可求出△DEF的邊長。3.A解析：可根據(jù)相似三角形的對應邊成比例進行判斷，要注意相似三角形的對應邊和對應角。4.A解析：根據(jù)題意，可分為、兩種情況來研究，列出關(guān)系式，代入數(shù)據(jù)可得答案。二、填空題1.ABCOCB2.解析：根據(jù)等邊△ABC的邊長AB為10，可求得△ABC的高為，根據(jù)相似三角形的對應高的比等于相似比，由此可求出B′C′邊上的高。 3.7解析：根據(jù)△CBF∽△CDE，相似三角形對應邊的比相等，求得BF，就可求得AF的長。 4.26解析：由△ABC∽△AED，可以得到比例線段，再通過比例線段可求出AB的值。三、解答題1.證明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD?！逜D=DE，∴∠DAE＝∠AED?！唷螪AE＝∠AED＝∠ACD＝∠BAC?！摺螦DF＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC，∴△ADF∽△ABC。2.解：（1）△CD