高考物理復(fù)習(xí)專題-物理解題中的數(shù)學(xué)方法

高考物理復(fù)習(xí)專題物理解題中的數(shù)學(xué)方法物理學(xué)中常用的數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，其思想、方法和知識始終滲透、貫穿于整個物理學(xué)習(xí)和研究的過程中，為物理概念、定律的表述提供簡潔、精確的數(shù)學(xué)語言，為學(xué)生進行抽象思維和邏輯推理提供有效的方法，為物理學(xué)中的數(shù)量分析和計算提供有力工具．中學(xué)物理《考試大綱》中對學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題的能力作出了明確要求，要求考生有“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力”．高考物理試題的解答離不開數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用，借助物理知識考查數(shù)學(xué)能力是高考命題的永恒主題．可以說，任何物理試題的求解過程實質(zhì)上是一個將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題再經(jīng)過求解還原為物理結(jié)論的過程．所謂數(shù)學(xué)方法，就是要把客觀事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，并進行推導(dǎo)、演算和分析，以形成對問題的判斷、解釋和預(yù)測．可以說，任何物理問題的分析、處理過程，都是數(shù)學(xué)方法的運用過程．本專題中所指的數(shù)學(xué)方法，都是一些特殊、典型的方法．處理中學(xué)物理問題，常用的數(shù)學(xué)方法有極值法、幾何法、圖象法、數(shù)學(xué)歸納推理法、微元法、等差(比)數(shù)列求和法等．一、極值法數(shù)學(xué)中求極值的方法很多，物理極值問題中常用的極值法有：三角函數(shù)極值法、二次函數(shù)極值法、一元二次方程的判別式法等．1．利用三角函數(shù)求極值2．利用二次函數(shù)求極值3．均值不等式．二、幾何法、利用幾何方法解物理題時，常用到的是“對稱點的性質(zhì)”、“兩點間的直線距離最短”、“三角形中斜邊大于直角邊”以及“全等、相似三角形的特性”等相關(guān)知識．如帶電粒子在有界磁場中的運動類問題、物體的變力分析時經(jīng)常要用到的相似三角形法、作圖法等．與圓有關(guān)的幾何知識在力學(xué)部分和電學(xué)部分的解題中均有應(yīng)用，尤其在帶電粒子在勻強磁場中做圓周運動類問題中應(yīng)用最多，其難點往往在圓心與半徑的確定上．判定方法有以下幾種．依切線的性質(zhì)確定．從已給的圓弧上找兩條不平行的切線和對應(yīng)的切點，過切點作切線的垂線，兩條垂線的交點為圓心，圓心與切點的連線長為半徑．依垂徑定理(垂直于弦的直徑平分該弦，并平分弦所對的弧)和相圖14—1交弦定理(如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項)來確定半徑，如圖14—1所示．此兩種求半徑的方法，常用于帶電粒子在勻強磁場中運動的習(xí)題中．三、圖象法中學(xué)物理中一些比較抽象的習(xí)題常較難求解，若能與數(shù)學(xué)圖形相結(jié)合，再恰當(dāng)引入物理圖象，則可變抽象為形象，突破難點、疑點，使解題過程大大簡化。圖象的方法是歷年高考的熱點，因而在復(fù)習(xí)中要密切關(guān)注圖象．(如圖象的識別、制作等)1．物理圖象的分類整個高中教材中有很多種不同類型的圖象，按圖形形狀可分為以下幾類．(1)直線型：如勻速直線運動的位移一時間圖象(s—t圖)、勻變速直線運動的速度一時間圖象(v-t)圖)、恒定電路中的電壓—電流圖象(u—I圖)等．(2)正弦曲線型：如振動的x—t圖、波動的y—x圖、交變電流的e—t圖、振蕩電流的i—t圖及電量的q—t圖等．(3)其他型：如共振曲線A—f圖、分子力與分子間距離的f—r圖等．下面我們對高中物理中接觸到的典型物理圖象作一綜合回顧，對物理圖象有個較為系統(tǒng)的認(rèn)識和歸納.2.物理圖象的應(yīng)用(1)利用圖象解題可使解題過程更簡化，思路更清晰圖象法解題不僅思路清晰，而且在很多情況下可使解題過程得到簡化，比解析法更巧妙、更靈活．在有些情況下運用解析法可能無能為力，但是運用圖象法則會使你豁然開朗-如變力分析中的極值類問題等．(2)利用圖象描述物理過程更直觀物理過程可以用文字表述，也可用數(shù)學(xué)式表達(dá)，還可以用物理圖象描述，但從物理圖象上可以更直觀地觀察出整個物理過程的動態(tài)特征．誠然，不是所有過程都可以用物理圖象進行描述的，但如果能夠用物理圖象描述，一般說來總是會更直觀且容易理解．利用圖象描述物理過程一般包括兩個方面：①將物理過程表述為物理圖象，②從物理圖象上分析物理過程．(3)利用物理圖象處理物理實驗數(shù)據(jù)運用圖象處理物理實驗數(shù)據(jù)是物理實驗中常用的一種方法，這是因為它除了具有簡明、直觀、便于比較以及可以減少偶然誤差的特點之外，還可以求解第三個相關(guān)物理量，且運用圖象求出的相關(guān)物理量也具有誤差小的特點．在討論實驗誤差時，通常采用數(shù)學(xué)分析的方法．但有時運用數(shù)學(xué)法分析顯得很繁瑣，且物理意義不太清晰，倒不如一幅圖象簡單、明了．3．中學(xué)物理中重要的圖象(1)運動學(xué)中的。S-t圖象、v-t圖象、振動圖象以及波動圖象等．(2)電學(xué)中的電場線分布圖、磁感線分布圖、等勢面分布圖、交變電流及電磁振蕩圖象等．(3)實驗中的圖象．如驗證牛頓第二定律時要a--F圖、a一1/m圖，用“伏安法”測電阻時要畫I一U圖，測電源電動勢和內(nèi)電阻時要畫U--I圖，用單擺測重力加速度時要畫的T2一L圖等．(4)在各類習(xí)題中出現(xiàn)的圖象．如力學(xué)中的F--t圖、電磁振蕩中的q—t圖、電學(xué)中的P--R圖、電磁感應(yīng)中的Φ一t圖、E—t圖等．4．對圖象意義的理解(1)首先應(yīng)明確所給的圖象是什么圖象，即認(rèn)清圖象中橫、縱軸所代表的物理量及它們的“函數(shù)關(guān)系”，特別是對那些圖形相似、容易混淆的圖象，更要注意區(qū)分．例如振動圖象與波動圖象、運動學(xué)中的S一t圖象和v—t圖象、電磁振蕩中的i—t圖象和q—t圖象等．(2)要清楚地理解圖象中的“點”、“線”、“斜率”、“截距”、“面積”的物理意義．①點：圖線上的每一個點對應(yīng)研究對象的一個狀態(tài)．要特別注意“起點”、“終點”、“拐點”，它們往往對應(yīng)著一個特殊狀態(tài)．②線：表示研究對象的變化過程和規(guī)律．如v—t圖象中的圖線若為傾斜直線，則表示物體做的是勻變速直線運動．③斜率：表示橫、縱坐標(biāo)上兩物理量的相對變化率．常有一個重要的物理量與之對應(yīng)，用于求解定量計算中所對應(yīng)的物理量的大小以及定性分析變化的快慢．如s--t圖線的斜率表示速度的大小，v一t圖線的斜率表示加速度的大小，U—t圖線的斜率表示電阻的大小等．圖14-2圖14-3④面積：圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積常與某一表示過程的物理量相對應(yīng)．如u—t圖線與橫軸包圍的“面積”大小表示位移的大小，其中t軸上方的“面積”表示正位移，t軸下方的“面積”表示負(fù)位移．如圖14—2所示，F(xiàn)一t圖象中的“面積”大小表示沖量的大??；如圖14—3所示，F(xiàn)—S圖象中的“面積”大小表示功的多少．⑤截距：表示橫、縱坐標(biāo)兩物理量在“邊界”條件下的大小，由此往往能得到一個很有意義的物理量．如圖14—4所示為“測電源電動勢和內(nèi)阻”的實驗中畫出的U—I圖象，其縱截距E即等于電源電動勢，橫截距I0為短路時的電流，圖線條率的絕對值則等于電源內(nèi)阻圖14-4四、數(shù)學(xué)歸納法在解決某些物理過程比較復(fù)雜的具體問題時，常從特殊情況出發(fā)，類推出一般情況下的猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，從而確定我們的猜想是正確的．此類題要求注意在書寫上的規(guī)范，以便于找出其中的規(guī)律．五、微元法利用微分思想的分析方法稱為微元法．它是將研究對象(物體或物理過程)進行無限細(xì)分，再從中抽取某一微小單元進行討論，從而找出被研究對象的變化規(guī)律的一種思想方法．微元法解題的思維過程：1．隔離選擇恰當(dāng)?shù)奈⒃鳛檠芯繉ο螅⒃梢允且恍《尉€段、圓弧或一小塊面積，也可以是一個小體積、小質(zhì)量或一小段時間……但必須具有整體對象的基本特征．2．將微元模型化(如視為點電荷、質(zhì)點、勻速直線運動、勻速轉(zhuǎn)動……)，并運用相關(guān)的物理規(guī)律，求解這個微元與所求物體的關(guān)聯(lián)．3．將一個微元的解答結(jié)果推廣到其他微元，并充分利用各微元間的對稱關(guān)系、矢量方向關(guān)系、近似極限關(guān)系等，對各微元的求解結(jié)果進行疊加，以求得整體量的合理解答．六、三角函數(shù)法三角函數(shù)反映了三角形的邊、角之間的關(guān)系，在物理解題中有較廣泛的應(yīng)用．例如：討論三共點平衡力組成的力的三角形時，常用正弦定理(拉密定理)求力的大小；用函數(shù)的單調(diào)變化的臨界狀態(tài)來求取某個物理量的極值；用三角函數(shù)的“和積公式”對結(jié)論進行化簡等．七、數(shù)列法凡涉及數(shù)列求解的物理問題具有多過程、重復(fù)性的特點，但每一個重復(fù)過程均不是原來的完全重復(fù)，而是一種變化了的重復(fù)．隨著物理過程的重復(fù)，某些物理量逐步發(fā)生著“前后有聯(lián)系的變化”．該類問題求解的基本思路為：1．逐個分析開始的幾個物理過程；2．利用歸納法從中找出物理量的變化通項公式(這是解題的關(guān)鍵)；3．最后分析整個物理過程，應(yīng)用數(shù)列特點和規(guī)律求解．無窮數(shù)列的求和，一般是無窮遞減數(shù)列，有相應(yīng)的公式可用．等差八、比例法比例計算法可以避開與解題無關(guān)的量，直接列出已知和未知的比例式進行計算，使解題過程大為簡化．應(yīng)用比例法解物理題，要討論物理公式中變量之間的比例關(guān)系，要清楚公式的物理意義和每個量在公式中的作用，以及所要討論的比例關(guān)系是否成立．同時要注意以下幾點：1．比例條件是否滿足．物理過程中的變量往往有多個，討論某兩個量間的比例關(guān)系時要注意只有其他量為常量時才能成比例．2．比例是否符合物理意義．不能僅從數(shù)學(xué)關(guān)系來看物理公式中各量的比例關(guān)系，要注意每個物理量的意義．(如不能根據(jù)R=u/I認(rèn)定為電阻與電壓成正比)3．比例是否存在．討論某公式中兩個量的比例關(guān)系時，要注意其他量是否能認(rèn)為是不變量．如果該條件不成立，比例也不能成立．(如在串聯(lián)電路中，不能認(rèn)為P=U2/R中P與R成反比，因為R變化的同時，u隨之變化而并非常量)許多物理量都是用比值法來定義，常稱“比值定義”，如：密度ρ=m/V、導(dǎo)體的電阻R=U/I、電容器的電容C=Q/U、接觸面間的動摩擦因數(shù)μ=Ff/FN、電場強度E=F/q等．它們的共同特征是：被定義的物理量是反映物體或物質(zhì)屬性和特征的，它和定義式中相比的物理量無關(guān)．對此，學(xué)生很容易把它當(dāng)做一個數(shù)學(xué)比例式來處理而忽略了其物理意義，也就是說教學(xué)中還要防止數(shù)學(xué)知識在物理應(yīng)用中的負(fù)遷移．?dāng)?shù)學(xué)是“物理學(xué)家的思想工具”，它使物理學(xué)家能“有條理地思考”想象出更多的東西．可以說，正是有了數(shù)學(xué)與物理學(xué)的日益結(jié)合，才使物理學(xué)日臻完善．物理學(xué)的嚴(yán)格定量化，使得數(shù)學(xué)方法成為物理解題中一個不可或缺的工具．典型例題【例l】一帶電質(zhì)點，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區(qū)域．為了使該質(zhì)點能從x軸上的b點以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于xy平面、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場．若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形區(qū)域的最小半徑．(重力忽略不計)yyoxox【例2】如圖14—5所示，長為L、電阻r=0.3Ω、質(zhì)量m=0.1kg的金屬棒CD垂直跨擱在位于水平面上的兩條平行光滑的金屬導(dǎo)軌上，兩條導(dǎo)軌的間距也為L，棒與導(dǎo)軌間接觸良好，導(dǎo)軌電阻不計．導(dǎo)軌左端接有R=0.5Ω的電阻，量程為0～3.0A的電流表串接在一條導(dǎo)軌上，量程為0～1.0V的電壓表接在電阻R的兩端，垂直導(dǎo)軌平面的勻強磁場向下穿過平面．現(xiàn)以向右的恒定外力F使金屬棒右移，當(dāng)金屬棒以v=2m／s的速度在導(dǎo)軌平面上勻速滑動時，觀察到電路中的一個電表正好滿偏，而另一個電表未滿偏，問：(1)此滿偏的電表是什么表?說明理由．圖14—5(2)拉動金屬棒的外力F多大?(3)此時撤去外力F，金屬棒將逐漸慢下來，最終停止在導(dǎo)軌上，則從撤去外力到金屬棒停止運動的過程中，通過電阻R的電量為多大?【例3】一彈性小球自h0=5m高處自由下落，當(dāng)它與水平地面每碰撞一次后，速度減小到碰前的7/9，不計每次的碰撞時間，求小球從開始下落到停止運動所經(jīng)過的路程和時間．(g=10m／s2)【例4】在xoy平面內(nèi)，從坐標(biāo)原點0沿不同方向向第一象限內(nèi)射入速度大小均為v0的電子，如圖14—6所示．現(xiàn)加上一個垂直于xoy平面的磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，要求射入第一象限的電子穿過磁場后都能平行于x軸方向運動，試求出符合條件的磁場的最小面積．(已知電子質(zhì)量為m，電量為e，重力不計)圖14-6【例5】如圖14—7甲所示是“測定電源電動勢和內(nèi)阻，的實驗原理圖，圖中R為電阻箱，eq\o\ac(○,A)為安培表，E、r為待測電源的電動勢和內(nèi)阻．如圖14—7甲(1)實驗中測出多組I、R值，以R為縱坐標(biāo)、1/I為橫坐標(biāo)作出R—I-1圖象，如圖14--7乙所示．根據(jù)圖乙可求得該電源電動勢E=______，內(nèi)阻r=________(2)圖14—7丙為一標(biāo)注有“5.0V，2.2W”字樣的小燈泡的伏安特性曲線，若用上述電源對該燈泡直接供電，則小燈泡的實際電壓為_____V，電源的總功率為______W．【例6】如圖14—8甲所示，寬為L的金屬導(dǎo)軌置于磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，且B的方向豎直向下．電源電動勢為E，內(nèi)阻為r．不計其他電阻和一切摩擦，求當(dāng)開關(guān)S閉合后，金屬棒PQ速度多大時，機械功率最大?最大值是多少?圖14—8甲點評當(dāng)自變量、因變量及所求量均是狀態(tài)量且因變量與自變量成線性關(guān)系時，可考慮用上述數(shù)學(xué)方法求解．【例7】如圖14—9所示，以易為一金屬桿，它處在垂直于紙面向里的勻強磁場中，可繞a點在紙面內(nèi)轉(zhuǎn)動；S為以a為圓心位于紙面內(nèi)的金屬圓環(huán)；在桿轉(zhuǎn)動過程中，桿的b端與金屬環(huán)保持良好接觸；eq\o\ac(○,A)為電流表，其一端與金屬環(huán)相連，一端與a點良好接觸．當(dāng)桿沿順時針方向轉(zhuǎn)動時，某時刻ab桿的位置如圖所示，則此時刻()A．有電流通過電流表，方向由c-d；作用于ab的安培力向右B．有電流通過電流表，方向由c-d；作用于ab的安培力向左C．有電流通過電流表，方向由d-c；作用于ab的安培力向右D．無電流通過電流表，作用于ab的安培力為零如圖14—9點評本題考查導(dǎo)體棒轉(zhuǎn)動切割磁感線時右手定則和左手定則的使用．拓展若考題中的金屬環(huán)的半徑和金屬桿的長度均為L；環(huán)的ef段為1/4圓弧，其單位長度的電阻和金屬桿相同，均為λ；桿的b端是一套在圓環(huán)上的金屬小珠，可沿圓環(huán)滑動并保持良好接觸．電流表eq\o\ac(○,A)接在a、e間，電壓表eq\o\ac(○,V)一端接在小珠上，另一端接在e點，如圖14—10甲所示．現(xiàn)桿從圖示位置(b和e在同一條直徑上)開始(取t=0時刻)以恒定的角速度ω逆時針轉(zhuǎn)動，試在圖14