吉他弦振動(dòng)與影響音調(diào)因素

吉他弦的振動(dòng)特點(diǎn)與影響音調(diào)因素物理111姓名：楊小龍學(xué)號(hào)：1151002142【摘要】本文分析吉他弦，對(duì)弦的振動(dòng)進(jìn)行分析，對(duì)于吉他，弦的粗細(xì)不同，發(fā)出的音調(diào)不同。一、分析弦是拉緊親柔軟的，長(zhǎng)為1,兩端釘在0,L兩點(diǎn)，建立方程，弦振動(dòng)方程(又稱一維波動(dòng)方程)utt=a2u+f(x,t)是最簡(jiǎn)單、最典型的雙曲型偏微分方程，對(duì)于一個(gè)具體的弦振動(dòng)，還必須有u適合的定解條件，初始條件u|t=O=Q(x),ujt=o=e(x)給出了初始時(shí)刻t=0時(shí)弦上各點(diǎn)的位移和速度。第一邊界條件(或狄利克雷(Dirichlet)邊界條件川|20=山代)，u|t==h2(t)給出了弦的兩個(gè)端點(diǎn)的位移變化，式中l(wèi)是正常數(shù)，表示弦的長(zhǎng)度。第三邊界條件(或諾伊曼(Neumann)邊界條件)口乂1=0=山化)，ux|x=t=h2(t)給出了弦的兩個(gè)端點(diǎn)所受的垂直于弦的外力作用。第三邊界條件 (或諾賓(Robin)邊界條件)(ux+?！?|x=0=h](t),(uxP2u)|x=l=h2(t)給出了弦的兩個(gè)端點(diǎn)的位移與所受外力作用的一個(gè)線性組合，式中o1,o2是正常數(shù)。解其方程，求出定解。吉他弦振動(dòng)的發(fā)音研究1,吉他樂器的弦振動(dòng)當(dāng)彈撥吉他弦時(shí)，彈撥力使弦向一邊運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生位移X,這時(shí)弦的張力由原來的T增至T+△T=T+YS△L式中Y為楊氏模量，S為弦橫截面積，△k為弦的相對(duì)伸長(zhǎng)，這時(shí)弦的彈性恢復(fù)力為xLx—△l cmx+2(T'+YS )sin0，lF=2(T+YS△L)sin0,L在忽略阻尼情況下,其運(yùn)動(dòng)方程可表示為式中sin0令2Tml =w20,當(dāng)x<l，并忽略無窮小量x3/'l3，則運(yùn)動(dòng)方程(1)可寫成x+w2ox=0這是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，用能給出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)全局圖像的相平面法表示，一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變量x和x為直角坐標(biāo)建立相平面，則方程(2)給出的相軌線為一族同心圓曲線，在原點(diǎn)是一個(gè)奇點(diǎn)，沒有相軌線通過。而被封閉的相軌線環(huán)繞，對(duì)應(yīng)著一個(gè)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，封閉的相軌線對(duì)應(yīng)于周期運(yùn)動(dòng)，對(duì)于任意初始條件(彈撥力)，弦都將產(chǎn)生周期振動(dòng)。S1橫注及其質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)示盤圖2.很據(jù)圖像列出方程及定解條件 ",C—7 #、Sf=Q如工0<K<Zf>T少|(zhì)心=0sL=r=/（広,r） O^x^l?!*°=o軸=/=0t>fua2uttXXu#=1）=卩（工）“』=0=/（工）ux=O=0itIj-=—oto （3且方程①，②，③的解U=u⑴+U(2),式中u⑴和U(2)分別是方程④，⑤，⑥和⑦的解。首先我們用分離變量法構(gòu)造性地求解方程④，⑤，⑥。令u(1)(x，t)=X(x)T(t)滿足方程④和邊界條件⑥，則T〃/a2T=X〃/X，X(O)=X(I)=O,從而得到X滿足的常微分方程齊次邊值問題：TOC\o"1-5"\h\zX〃+入X=0 Ovxvl ⑧X(0)=X(I)=0和T滿足的常微分方程：T〃+a2入T=0t>0 ⑨2—式中入是常數(shù)，經(jīng)討論，方程⑧僅當(dāng)I1丿時(shí)才有非零解—sm——=[,￡,-■o 厶=4亂門 i+cos Ak，BkAk，Bk是待定常數(shù)，k=1，2,…。顯然對(duì)于任意的自然數(shù)k，u(1)k(x，t)=xk(x)Tk(t)t)疊加起來，得到：滿足方程方程④和邊界條件方程⑥?，F(xiàn)將所有的u(1)k(x，盤⑴=呂….” ok住、.&/J(竝 Zcos 1)sm——xTOC\o"1-5"\h\z— ! I IC1e i-j?-4=——0(f)sin—令u(1)滿足初始條件方程⑤，則有： 1肌=彳￡磯g豳穿簡(jiǎn)丘=12…振動(dòng)著的弦激起空氣的振動(dòng)，人的耳朵就感覺現(xiàn)在發(fā)出聲音。聲音的大小由振動(dòng)的振幅來決定，音調(diào)的高低依賴于振動(dòng)頻率，弦發(fā)出的最低音由弦的最低固有頻率wi來確定，叫做弦的基因。其余對(duì)應(yīng)與頻率W2,W2,W3， 的音叫做泛音。而音品(音色)則是與基音和伴隨著它的諸泛音的狀況有關(guān)。在區(qū)域｛(x,t)|0WxWI,t20｝上，由弦振動(dòng)方程、初始條件以及3類邊界條件中任意一對(duì)組成的定解問題稱為弦振動(dòng)方程的混合問題。如果弦很長(zhǎng)，而所關(guān)心的又只是在較短時(shí)間內(nèi)離邊界較遠(yuǎn)的一段弦的運(yùn)動(dòng)情況，那么可以忽略邊界條件的影響，并把弦的長(zhǎng)度視為無窮，在區(qū)域｛(x,t)|-8vxv+e,t20｝上，由弦振