精選第二十屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題B

精選第二十屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題BPAGE2PAGE3詳解第二十屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽小學(xué)高年級(jí)組B卷題特級(jí)教師吳迺華一、填空題〔每題10分，共80分〕1．計(jì)算：57.6×＋28.8×－14.4×80＋11解：原式＝57.6×＋〔28.8×2〕×〔×〕－〔14.4×4〕×〔80÷4〕＋11＝57.6×＋57.6×－57.6×20＋11＝57.6×〔＋－20〕＋11＝112．甲、乙、丙、丁四人共植樹60棵，己知，甲植樹的棵數(shù)是其余三人的二分之一，乙植樹的棵數(shù)是其余三人的三分之一，丙植樹的棵數(shù)是其余三人的四分之一，那么丁植樹多少棵？解：此題中的、、，單位“1〞的量都不相同，可以以甲、乙、丙、丁四人共植樹的棵數(shù)為單位“1〞來統(tǒng)一。甲植樹的棵數(shù)是其余三人的二分之一，即甲植樹的棵數(shù)是四人共植棵數(shù)的；乙植樹的棵數(shù)是其余三人的三分之一，即乙植樹的棵數(shù)是四人共植棵數(shù)的；丙植樹的棵數(shù)是其余三人的四分之一，即丙植樹的棵數(shù)是四人共植棵數(shù)的；所以，丙植樹的棵數(shù)是：60×〔1―――〕＝13〔棵〕3、當(dāng)時(shí)間為5點(diǎn)8分時(shí)，鐘外表上的時(shí)針與分針成度的角。解：分針每分鐘走6°，5：00時(shí)，分針與時(shí)針夾角為：25×6°＝150°八分鐘分針走了8×6°＝48°；時(shí)針每分鐘走0.5°，八分鐘走8×0.5°＝4°。所以，5：08時(shí)，時(shí)針與分針成的夾角為：150°－(48°－4°)＝106°4．某個(gè)三位數(shù)是2的倍數(shù)，加1是3的倍數(shù)，加2是4的倍數(shù)，加3是5的倍數(shù)，加4是6的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)最小為。解：換句話說，這個(gè)數(shù)除以3余2，除以4余2，除以5余2，除以6余2，這樣，只要求出3、4、5、6的最小公倍數(shù)后，再加上2就可求出。不過，要注意的是：這是個(gè)三位數(shù)。[3，4，5，6]＝60所以，這個(gè)三位數(shù)最小為：60×2＋2＝122.5．貝塔星球有七個(gè)國家，每個(gè)國家恰有四個(gè)友國和兩個(gè)敵國，沒有三個(gè)國家兩兩都是敵國，對(duì)于一種這樣的星球局勢，共可以組成個(gè)兩兩都是友國的三國聯(lián)盟。解：因?yàn)槊總€(gè)國家恰有四個(gè)友國和兩個(gè)敵國，沒有三個(gè)國家兩兩都是敵國。設(shè)這七個(gè)國家分別為：A、B、C、D、E、F、G，他們之間的關(guān)系如右圖：虛線為互為敵對(duì)國，實(shí)線為兩兩都是友國的三國聯(lián)盟。根據(jù)圖示，A、B、C、D、E、F、G七個(gè)點(diǎn)，排除虛線表示的互為敵對(duì)國的線段外，每一個(gè)點(diǎn)都可以與另兩個(gè)不相鄰的點(diǎn)連成一個(gè)兩兩都是友國的三國聯(lián)盟。比方：A與F、D或者C可以連成實(shí)線三角形。三角形AFD表示A、F、D為兩兩都是友國的三國聯(lián)盟，三角形FCA也表示為F、C、A兩兩都是友國的三國聯(lián)盟。所以，共可以組成7個(gè)兩兩都是友國的三國聯(lián)盟。6．由四個(gè)互不相同的非零數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的所有四位數(shù)之和為106656，那么這些四位數(shù)中最大的是，最小的是。解：設(shè)這四個(gè)數(shù)字分別為：A、B、C、D，組成的四位數(shù)如：ABCD、ABDC、ACBD、ACDBADBC、ADCB、……共能組成的四位數(shù)共有：4×3×2×1＝24〔個(gè)〕在這24個(gè)三位數(shù)中，以A開頭＝以B開頭＝以C開頭＝以D開頭的個(gè)數(shù)=24÷4＝6〔個(gè)〕也就是說A、B、C、D在四個(gè)數(shù)字分別在千位、百位、十位、個(gè)位各出現(xiàn)6次，所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的所有四位數(shù)之和為106656，即6×〔A＋B＋C＋D〕×1111＝106656化簡，知A＋B＋C＋D＝16推知，這四個(gè)互不相同的非零數(shù)字為：16＝9＋1＋4＋2這些四位數(shù)中最大的是：9421，最小的是：1249。7、如右圖，三角形ABC的面積為1，DC：OB＝1：3，EO：OA＝4：5，那么三角形DOE的面積是多少？解：根據(jù)題意OB＝1：3，EO：OA＝4：5，如以下列圖，設(shè)S△DOE＝4，那么S△AOD＝5，S△BOE＝12，S△AOB＝15，設(shè)S△CDE＝x，三角形BCD中，那么三角形CDE和三角形BDE同高，所以面積的比等于邊長的比，＝同樣，三角形ACE和三角形ABE同高，所以面積的比等于邊長的比，＝所以，＝解得：x＝所以，三角形DOE的面積是：1×＝8．三個(gè)大于1000的正整數(shù)滿足：其中任意兩個(gè)數(shù)之和的個(gè)位數(shù)字都等于第三個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字，那么，這三個(gè)數(shù)之積的末尾三位數(shù)字有種可能數(shù)值。底低抵邸砥骶解：設(shè)三個(gè)數(shù)的個(gè)位分別為a、b、c⑴如果a、b、c都相等，那么只能都為0；⑵如果a、b、c中有兩個(gè)相等，那么有以下兩種情況：①.a、a、c且a＜c，必有c＋a＝10＋a，那么c＝10，與c為數(shù)字矛盾；②.a、a、c且a＞c，那么有c＋a＝a，a＋a＝10＋c，那么a＝5，c＝0；⑶.如果a、b、c都不相等，設(shè)a＜b＜c，那么c＋b＝10＋a，c＋a＝10＋b，那么c＝10，與c為數(shù)字矛盾；綜上三個(gè)數(shù)的個(gè)位分別為0，0，0或0，5，5；⑴.如果都為0，那么乘積末尾三位為000；⑵.如果為0，5，5①.如果個(gè)位為0的數(shù)，末尾3位都為0，那么乘積末尾三位為000；②.如果個(gè)位為0的數(shù)，末尾2位都為0，那么乘積末尾三位為500或000；③.如果個(gè)位為0的數(shù)，末尾1位為0設(shè)末尾兩位為，設(shè)另外兩個(gè)末尾兩位為，那么×＝100ab＋50〔a＋b〕＋25，假設(shè)〔a＋b〕為奇數(shù)，那么乘積的末兩位為75；假設(shè)〔a＋b〕為偶數(shù)，那么乘積的末兩位為25，再乘上，無論c為多少，末尾三位只有000，250，500，750這4種．綜上所述，積的末尾三位有000，500，250，750這四種可能．二、解答以下各題〔每題10分，共40分，要求寫出簡要過程〕9．將1234567891011的某兩位的數(shù)字交換能否得到一個(gè)完全平方數(shù)？請(qǐng)說明理由。解：不能得到完全平方數(shù)。因?yàn)?＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋1＋0＋1＋1＝48交換數(shù)字的位置，其數(shù)字和仍然是48。48是3的倍數(shù)，但不是9的倍數(shù)，所以不是完全平方數(shù)。10、如右圖所示，從長、寬、高為15，5，4的長方體中切割走一塊長、寬、高為y，5，x的長方體〔x，y為整數(shù)〕，余下局部的體積為120，求x和y。解：由題意得,15×4×5－5xy＝l20知5xy＝300－120＝180xy＝180÷5＝36由長方體的長、寬、高分別為15，5，4，知，x<4y<15◎滿足以上條件的只有36＝3×12，所以，x＝3，y＝1211、圓形跑道上等距插著2023面旗子，甲與乙同時(shí)同向從某個(gè)旗子出發(fā)，當(dāng)甲與乙再次同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，甲跑了23圈，乙跑了13圈。不算起始點(diǎn)旗子位置，那么甲正好在旗子位置追上乙多少次？解：由甲與乙再次同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，甲跑了23圈，乙跑了13圈，知甲與乙的速度比為：23：13。由甲比乙多跑一圈就追上一次，共追上：23－13＝10〔次〕甲要追上乙，甲要比乙多走2023面旗子，根據(jù)追及問題的關(guān)系式甲共跑過的旗子數(shù)為：2023×〔23－13〕×23＝4634.5〔面〕正好在旗子位置甲追上乙，甲跑的旗子的面數(shù)應(yīng)當(dāng)是整數(shù)，而4634.5只有乘2、4、6、8、10，才能成為整數(shù)?？墒?，追上第10次時(shí)，是最后一次，是在起始點(diǎn)上，應(yīng)當(dāng)排除。所以，甲正好在旗子位置追上乙，是在第2、4、6、8次追上時(shí)，共有四次。12、兩人進(jìn)行乒乓球比賽，三局兩勝制，每局比賽中，先得11分且對(duì)方少于10分者勝；10分后多得2分者勝。兩人的得分總和都是31分，一人贏了第一局并且贏得了比賽，那么第二局的比分共有多少種可能？解：設(shè)贏得比賽的為甲，輸?shù)臑橐?。甲第一局獲勝，如果第二局又勝，那么直接獲勝，總分一定比乙多，不符合題意。所以甲第二局輸?shù)谌众A．甲第一、三局都贏，那么一、三局至少會(huì)比乙多得4分，設(shè)三場比賽的比分是：:，:，：，并且－≥2，－≥2由題目條件“兩人的得分總和都是31分〞可知，乙第二局至少贏甲4分及以上，并且只能以11分取勝．所以，第二局的比分可以為：0:11、1:11、2:11、……、7:11，共八種。三、解答以下各囊〔每題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程〕13、如右圖所示，點(diǎn)M是平行四邊形ABCD的邊CD上的一點(diǎn)，且DM：MC＝1：2，四邊形EBFC為平行四邊形，F(xiàn)M與BC交于點(diǎn)G。假設(shè)三角形FCG的面積與三角形MED的面積之差為l3，求平行四邊形ABCD的面積。解：如以下列圖連接BD。在梯形BCED中，根據(jù)梯形蝴蝶定理，由DM：MC＝1：2，知：DE：BC＝EM：MB＝1：2；S△DEM：S△CEM＝S△CEM：S△BCM＝S△DEM：S△BDM＝1：2如果設(shè)S△DEM＝1份。那么，S△CEM＝S△BDM＝2份；S△BCM＝2×2＝4〔份〕因?yàn)镋BFC為平行四邊形，且BC為對(duì)角線推知：S△BCF＝S△BCE＝S△BCD＝2＋4＝6〔份〕在梯形BMCF中，根據(jù)梯形蝴蝶定理，CF：BM＝3：2，知S△FCG＝6×＝3.6〔份〕“三角形FCG的面積與三角形MED的面積之差為l3〞，所以，S△BCF＝13÷〔3.6－1〕×6＝30〔平方厘米〕所以，平行四邊形ABCD的面積為：30×2＝60〔平方厘米〕14．設(shè)“一家之言〞、“言揚(yáng)行舉〞、“舉世皆知〞、“知行合一〞四個(gè)成語中的每個(gè)漢字代表11個(gè)連續(xù)的非零自然數(shù)中的一個(gè)，相同的漢字代表相同的數(shù)，不同的漢字代表不同的數(shù)。如果每個(gè)成語中四個(gè)漢字所代表的數(shù)之和都是21，那么“行〞可以代表的數(shù)最大是多少？解：觀察這四個(gè)成語，“一、言、舉、知、行〞這五個(gè)字各出現(xiàn)兩次，其它漢字只有一次。由“每個(gè)成語中四個(gè)漢字所代表的數(shù)之和都是21〞那么這四個(gè)成語的數(shù)字之和為，即一＋家＋之＋言＋言＋揚(yáng)＋行＋…＋合＋一＝21×4＝84而從1開始的11個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是：1＋2＋3＋4＋…＋1