向量方法(一)證明平行與垂直

向量方法(一)證明平行與垂直1?判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打打7”或“x”)直線的方向向量是唯一確定的.()若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行.()若兩平面的法向量平行，則兩平面平行或重合.()若空間向量a平行于平面弘則a所在直線與平面a平行.()2?已知平面a,B的法向量分別為?1=(2,3,5),n2=(-3,1,-4)，貝肚 )A.a〃“ B.a丄〃C.a,B相交但不垂直 D.以上均不對(duì)3.若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面a的法向量為n=(-2,0,-4)，貝％ )A.l〃aA.l〃aB.l丄aC.laD.l與a相交4.已知A(14.已知A(1,A.(-1,1,C(-￥，1)33，B.(1,-1,1)(返邊-^3I3，3，-3,D.0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則下列向量是平面ABC法向量的是( )5?所圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心,中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線ON,AM的位置關(guān)系是 .最新考綱1.理解直線的方向向量及平面的法向量；2.能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系；3.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理知識(shí)梳理直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量.平面的法向量：直線l丄a,取直線l的方向向量a,則向量a叫做平面a的法向量.2?空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示直線l1，12的方向向量分別為11〃-n1#n2^n1=An2"1，nl1±l2叫丄n2B]?n2=0直線l的方向向量為n,平面al〃an丄mF?m=0的法向量為ml丄an〃mun=Am平面a,B的法向量分別為n,a〃Bn〃md=Amma丄Bn丄mF?m=0例題精講考點(diǎn)一利用空間向量證明平行問題【例1】如圖，在四面體A—BCD中，AD丄平面BCD,BC丄CD,AD=2,BD=2遠(yuǎn),M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC.證明：PQ〃平面BCD. 廠-11規(guī)律方法(1)恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵(2)證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說(shuō)明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.B【訓(xùn)練1】如圖所示，平面PAD丄平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn).求證：PB〃平面EFG.

B考點(diǎn)二利用空間向量證明垂直問題【例2】如圖，在三棱錐P—ABC中，AB=AC,D為BC的中點(diǎn)，PO丄平面ABC，垂足O落在線段AD上.已知BC=8，PO=4,AO=3,OD=2.(1)證明：APIBC；⑵若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM=3.試證明平面AMC丄平面BMC.規(guī)律方法(1)利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.(2)用向量證明垂直的方法線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎尽居?xùn)練2】如圖，在四棱錐A—EFCB中，△AEF為等邊三角形，平面AEF丄平面EFCB，EF//BC,BC=4,EF=2a，ZEBC=ZFCB=60°，O為EF的中點(diǎn).求證：AO丄BE；求二面角F—AE—B的余弦值；⑶若BE丄平面AOC,求a的值.考點(diǎn)三利用空間向量解決探索性問題【例3】如圖，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2,ZABC和ZAJC均為60°,平面AA&C丄平面ABCD.求證：BD丄AA1；在直線CC1上是否存在點(diǎn)P,使BP〃平面DA1C1?若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.規(guī)律方法向量法解決與垂直、平行有關(guān)的探索性問題(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想，找出點(diǎn)或線的位置，并用向量表示出來(lái)，然后再加以證明，得出結(jié)論.(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或參數(shù)存在，并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn)，根據(jù)線、面滿足的垂直、平行關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解，若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在.【訓(xùn)練3】在四棱錐P—ABCD中，PD丄底面ABCD,底面ABCD為正方形，PD=DC,E,F分別是AB,PB的中點(diǎn).求證：EF丄CD；在平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)G,使GF丄平面PCB?若存在，求出點(diǎn)G坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由.Yaeb［思想方法］1?用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個(gè)具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由，形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想.用向量知識(shí)證明立體幾何問題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷；另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量，共分三步：(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量(或坐標(biāo))表示問題中所涉及的點(diǎn)、線、面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系；(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來(lái)解釋相關(guān)問題.［易錯(cuò)防范］1.用向量知識(shí)證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理.如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，