應(yīng)用數(shù)學(xué)模型落實(shí)高中數(shù)學(xué)的大單元教學(xué)傳 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，落實(shí)高中數(shù)學(xué)的大單元教學(xué)摘要：建立、分析、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型可以幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思維方式存在于知識(shí)發(fā)生、形成、應(yīng)用、遷移的過(guò)程中，促使學(xué)生形成對(duì)整個(gè)單元、整個(gè)過(guò)程的思考。用好的“問(wèn)題鏈”驅(qū)動(dòng)學(xué)生積極思考，從知識(shí)關(guān)聯(lián)性和思想方法中發(fā)展出“高通路學(xué)習(xí)遷移能力”等思維能力。 關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型、問(wèn)題鏈、大單元、高通路學(xué)習(xí)遷移能力

引言：杜威曾描述過(guò)三種層次的教學(xué)：第一層次是將每一個(gè)課堂視為獨(dú)立的一個(gè)整體，第二層次是注重不同知識(shí)的融會(huì)貫通，而第三層次是重視現(xiàn)實(shí)世界與學(xué)科教育之間的關(guān)聯(lián)。時(shí)代發(fā)展呼吁我們實(shí)施系統(tǒng)化、精準(zhǔn)化的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，注重知識(shí)和能力的遷移價(jià)值，注重學(xué)習(xí)的實(shí)效性。實(shí)施“大單元教學(xué)”是發(fā)展高中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑?！按髥卧虒W(xué)”讓學(xué)生領(lǐng)悟知識(shí)和思想方法的前后聯(lián)系，對(duì)單元知識(shí)和方法形成整體了解；數(shù)學(xué)模型的建立、分析、應(yīng)用，使每個(gè)單元的教學(xué)主題突出、知識(shí)脈絡(luò)分明，易于學(xué)生理解與感悟，有助于學(xué)生發(fā)展出解決問(wèn)題的能力、結(jié)構(gòu)化思維和高通路學(xué)習(xí)遷移能力。一、在知識(shí)形成之初，選擇或建立數(shù)學(xué)模型在真實(shí)中學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)模型可以連接現(xiàn)實(shí)生活以及數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容。 比如，在選擇性必修二“4.2等差數(shù)列”中，觀察4個(gè)實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生基于運(yùn)算來(lái)尋找規(guī)律，通過(guò)兩個(gè)問(wèn)題和兩個(gè)追問(wèn)構(gòu)建“等差數(shù)列”概念。詳細(xì)見(jiàn)下：

問(wèn)題1：你能通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律嗎？ 師生活動(dòng)：數(shù)列①所呈現(xiàn)出的規(guī)律是：第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)減去前一項(xiàng)的結(jié)果都是相同的常數(shù)，數(shù)列②③④也存在同樣的規(guī)律.問(wèn)題2：能歸納這種數(shù)列的特點(diǎn)嗎？得出等差數(shù)列概念：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示. 追問(wèn)1：三個(gè)數(shù)a，A，b構(gòu)成的等差數(shù)列可看作最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列。其中A需要滿足什么條件？12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選按照等差數(shù)列定義，得出A-a=-A，因此2A=+b，我們稱A為a與b的等差中項(xiàng)。追問(wèn)2：你能舉出一些等差數(shù)列的例子嗎？二、在知識(shí)鞏固中，理解并應(yīng)用數(shù)學(xué)模型把推導(dǎo)概念及其性質(zhì)的過(guò)程，甚至題目、出題思路作為問(wèn)題背景，學(xué)生將數(shù)學(xué)模型“再發(fā)現(xiàn)”“再解決”，包括學(xué)生在整個(gè)學(xué)習(xí)當(dāng)中所運(yùn)用的思想方法，成為學(xué)生的學(xué)習(xí)模型，促使學(xué)生學(xué)習(xí)方法進(jìn)一步完善與優(yōu)化。 比如，通過(guò)問(wèn)題鏈、思維導(dǎo)圖等讓學(xué)生對(duì)知識(shí)框架形成更加清晰的認(rèn)識(shí)，產(chǎn)生結(jié)構(gòu)性思維。圖1大單元教學(xué)中數(shù)列單元知識(shí)結(jié)構(gòu)圖22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選圖2等差數(shù)列教學(xué)中設(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈三、在知識(shí)應(yīng)用中，對(duì)數(shù)學(xué)模型的再利用數(shù)學(xué)模型真實(shí)背景，能夠幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和合作能力。在日常生活中，有些數(shù)學(xué)結(jié)論應(yīng)用很少，但也許恰好是這樣的結(jié)論，教會(huì)學(xué)生像數(shù)學(xué)家那樣思考。從建立數(shù)學(xué)模型的角度看學(xué)生是否在大腦里構(gòu)建出高通路的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，正反映出大單元數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于學(xué)生提升綜合素養(yǎng)的關(guān)鍵意義。比如，橢圓離心率通過(guò)類比能夠得到拋物線和雙曲線的離心率等。再比如，站在“生活價(jià)值”的高度看解三角形，用“大概念”做黏合劑，讓學(xué)生體會(huì)三角形邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系，融匯貫通三角函數(shù)和解三角形的公式，理解應(yīng)將解三角形公式應(yīng)用于真實(shí)世界中，為了更好的解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。 再比如，在2022年四月的合肥一中高一下數(shù)學(xué)期中聯(lián)考中最后一題壓軸題正體現(xiàn)了越來(lái)越注重用三角形知識(shí)解實(shí)際問(wèn)題。詳細(xì)見(jiàn)下：32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選四、在應(yīng)用模型研究中，養(yǎng)成深入研究的習(xí)慣通過(guò)數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究，可以使學(xué)生產(chǎn)生更強(qiáng)的遷移能力。數(shù)學(xué)這一學(xué)科本來(lái)就既包括具體，又包括抽象的內(nèi)容，認(rèn)知結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，若是可以在不同現(xiàn)實(shí)情景中對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行遷移，就更能很好的實(shí)現(xiàn)對(duì)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查。圖3低通路與高通路遷移能力的對(duì)比示意圖在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，將抽象和具體之間所存在的協(xié)同思維當(dāng)成落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的錨點(diǎn)?！按蟾拍睢焙汀靶「拍睢钡膮^(qū)別在于“生活價(jià)值”：“小概念”之間的關(guān)聯(lián)是表面性的、松散的；而“大單元教學(xué)”既可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)核目標(biāo)，還能幫助學(xué)生形成持續(xù)性的理解，也能讓學(xué)生達(dá)成學(xué)習(xí)能力的遷移。比如，數(shù)列作為特殊的函數(shù)，大單元教學(xué)的研究路徑可以類比函數(shù)的研究路徑：圖4類比函數(shù)研究數(shù)列的研究路徑示意圖再比如，向量是研究幾何問(wèn)題的重要工具，使得向量成為再次整合其他知識(shí)的數(shù)學(xué)52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選工具，在知識(shí)單元教學(xué)之上形成思想方法的單元教學(xué)。讓學(xué)生從思維低維度來(lái)到思維高維度，實(shí)現(xiàn)理性思維上的“升維”。教學(xué)中充分融入了“類比、轉(zhuǎn)化、降維”等數(shù)學(xué)思想，通過(guò)最有效、最真實(shí)、最實(shí)用的學(xué)生活動(dòng)，教師適當(dāng)點(diǎn)撥講解，讓數(shù)學(xué)知識(shí)自然的生成,思想方法自然的流淌。圖5用向量整合三個(gè)單元的核心問(wèn)題和方法五、在習(xí)題學(xué)習(xí)中，用數(shù)學(xué)模型發(fā)展學(xué)生習(xí)題是構(gòu)成“問(wèn)題”系列的必不可少的內(nèi)容，也是保證各種知識(shí)充分連接的紐帶，是學(xué)生掌握知識(shí)，更好解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的主陣地。通過(guò)適當(dāng)?shù)耐貙?、變形以及演變相關(guān)習(xí)題，進(jìn)而形成發(fā)展性問(wèn)題，讓學(xué)生產(chǎn)生更強(qiáng)的學(xué)習(xí)積極性，從而思維也不斷提升。 比如，“等差數(shù)列性質(zhì)”的教學(xué)中用例題和兩個(gè)追問(wèn)，從三種角度來(lái)說(shuō)明等差數(shù)列的性質(zhì)2及其逆命題。詳細(xì)見(jiàn)下：

問(wèn)題5：已知數(shù)列{an} 為等差數(shù)列，s＋t＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，求證as＋at＝ap＋aq. 師生活動(dòng)：只要根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出ap，aq，as，at，再利用已知條件即可證得 追問(wèn)1：?jiǎn)栴}5是等差數(shù)列的一條性質(zhì)，下圖是它的一種情形，你能從幾何角度解釋等差數(shù)列的這一性質(zhì)嗎？圖6特殊函數(shù)等差數(shù)列的函數(shù)圖象師生活動(dòng)：通過(guò)上節(jié)課我們知道等差數(shù)列對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分布在一條直線上，那么你能從62022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選直線斜率的角度來(lái)解釋這一性質(zhì)嗎？ap?as

p?s=at?aq

思路1：t?qp，aq分別看作直角梯形兩條底邊的長(zhǎng)，則兩個(gè)直角梯形有相同(1)將圖中as，at和a中位線即可得到此性質(zhì)。(2)特殊到一般：但圖中只是特殊情況，若as，at和ap，aq中有若干負(fù)數(shù)呢？不方便理解成梯形中位線怎么辦？（啟發(fā)學(xué)生把直線向上平移一段距離，化負(fù)為正,（1）中解釋即可推廣到一般）

思路2：

教師總結(jié)并板演如下內(nèi)容：

等差數(shù)列的性質(zhì)2

在等差數(shù)列{an}中，如果m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.尤其m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則am＋an＝2ap. 追問(wèn)2：寫出此命題的逆命題，是否正確呢？大家可以課后做認(rèn)真的思考，并結(jié)合課后目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)，鞏固今天所學(xué)的等差數(shù)列的性質(zhì).設(shè)計(jì)意圖：對(duì)典型例題的提問(wèn)，讓學(xué)生更加深入的了解等差數(shù)列的概念，并且學(xué)會(huì)使用，深化對(duì)等差數(shù)列的理解，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 提出以及解決問(wèn)題之間是相輔相成的關(guān)系，在解決問(wèn)題的過(guò)程中會(huì)提出各種新問(wèn)題，新問(wèn)題有利于對(duì)已經(jīng)解決的問(wèn)題進(jìn)行分解、轉(zhuǎn)換以及變形。愛(ài)因斯坦曾經(jīng)提出：“相比于解決一個(gè)問(wèn)題，提出一個(gè)問(wèn)題更加重要。主要是由于我們?cè)谶M(jìn)行問(wèn)題解決的過(guò)程中，一般都是基于已經(jīng)積累的技能，而新問(wèn)題的提出，會(huì)發(fā)現(xiàn)更多真的可能，這問(wèn)題會(huì)形成新的觀察視角，更需要想象力和創(chuàng)造力，這體現(xiàn)的也是科學(xué)的進(jìn)步性?！?/p>

所以，多用“你有什么發(fā)現(xiàn)？”這樣語(yǔ)言進(jìn)行激勵(lì)，學(xué)生在不被限制的前提下，認(rèn)真地觀察，大膽地猜想，精力高度集中，思維高度活躍，從而達(dá)到集體智慧的高度涌現(xiàn)。經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生多進(jìn)行“一題多模型、多模型一解、舊題新模型、新題舊模型”的練習(xí)，讓學(xué)生的思維得到充分鍛煉，自然提升了各項(xiàng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。贊可夫曾經(jīng)說(shuō)到：“凡是沒(méi)有發(fā)自內(nèi)心求知欲和興趣的東西，是很容易從記憶中揮發(fā)掉的”。以樂(lè)于探求作為學(xué)生的重要內(nèi)驅(qū)力，教師做到“善于選擇具體題例，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)模型”，精準(zhǔn)細(xì)致地誘導(dǎo)學(xué)生積極理性思考。讓學(xué)生感受到成功的喜悅，不斷培養(yǎng)學(xué)生穩(wěn)定且積極的72022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選心理傾向。當(dāng)遇到各種問(wèn)題，會(huì)從不同的角度去看待，而且會(huì)尋求不同的解決方法?？偟膩?lái)說(shuō)，要自覺(jué)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行各種實(shí)際問(wèn)題的解決，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中真正發(fā)揮主觀能動(dòng)性。高中數(shù)學(xué)人教A版的主編曾寄語(yǔ):“數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的，如果有人感覺(jué)某個(gè)概念不自然,是強(qiáng)加于人的，那么只要想一下它的背景、它的形成過(guò)程、它的應(yīng)用以及它與其他概念的聯(lián)系。你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是水到梁成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理,甚至很有人情味?！蔽覀兊臄?shù)學(xué)課堂教學(xué)，不僅是讓學(xué)生記住數(shù)學(xué)概念，認(rèn)識(shí)符號(hào)，會(huì)做一些題，更應(yīng)該讓學(xué)生親歷感受新知的建構(gòu)過(guò)程和應(yīng)用價(jià)值，體會(huì)到數(shù)學(xué)是自然的、合理的、有價(jià)值的。參考文獻(xiàn)[1]余樹(shù)寶：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的教學(xué)內(nèi)容與詮釋.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018年第1