淺談如何利用變式訓(xùn)練促進學(xué)生深度學(xué)習(xí) 論文

淺談如何利用變式訓(xùn)練促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)摘要：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，通過對試題變式訓(xùn)練，能夠促進學(xué)生良好學(xué)習(xí)狀態(tài)的形成、數(shù)學(xué)概念的理解、解題能力的提升和數(shù)學(xué)思維水平的提高。讓學(xué)生的學(xué)習(xí)從簡單記憶上升為一種內(nèi)在的知識結(jié)構(gòu)，一種學(xué)習(xí)能力，一種思維方式，進而促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)思考。 關(guān)鍵詞：變式訓(xùn)練；深度學(xué)習(xí)；學(xué)會思考

一、問題提出

我們經(jīng)常會遇到這樣的學(xué)生：學(xué)習(xí)很努力，作業(yè)很認(rèn)真，但考試成績并不理想。為什么這些學(xué)生的學(xué)習(xí)效果與學(xué)習(xí)態(tài)度不成正比呢？信息加工理論認(rèn)為，課上的“聽”是對信息的“輸入”，課后的“練”是對信息的“編碼”，而考場上的“用”則是信息的“提取”，這說明學(xué)生在通過練習(xí)完成對知識的內(nèi)化編碼時出現(xiàn)了問題。即表面上聽懂了，但并沒有真正理解題目的本質(zhì)。人們常說“熟能生巧”，對此，數(shù)學(xué)教育家范良火認(rèn)為“做必要練習(xí)的重要性，在國際上有廣泛的共識。中國在這方面做得特別好，但也不完美?！笔聦嵶C明，大量單一、機械重復(fù)、淺層次的練習(xí)，非但達(dá)不到“熟能生巧”的效果，反而會“生厭”。心理學(xué)教授邵瑞珍在《教育心理學(xué)》一書中指出：學(xué)生只有經(jīng)過在變化的情境中練習(xí)，認(rèn)知策略才能獲得遷移，才能靈活應(yīng)用。范良火教授也認(rèn)為變式訓(xùn)練有利于學(xué)生加深對概念本質(zhì)的理解，是知識轉(zhuǎn)化為能力的關(guān)鍵，是在課堂中落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效抓手。下面，筆者結(jié)合教學(xué)實踐談基于“變式訓(xùn)練”的作用與思考，與大家交流。二、變式訓(xùn)練的作用

1.促進良好學(xué)習(xí)狀態(tài)的形成

良好的學(xué)習(xí)狀態(tài)是落實深度學(xué)習(xí)的首要條件。變式訓(xùn)練，通過題目的“變”，避免了題海戰(zhàn)術(shù)中過度單調(diào)重復(fù)而產(chǎn)生的厭煩情緒；通過建立新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，做到梯度合理、層層遞進，促使學(xué)生在“最近發(fā)展區(qū)”學(xué)習(xí)與發(fā)展；通過控制原式與變式，變式與變式之間的難度，達(dá)到訓(xùn)練由易到難，滿足不同層次學(xué)生的需求，讓學(xué)生在不斷地變式訓(xùn)練中，始終保持新鮮感、好奇心和探究欲望。我們知道，完全平方公式是初中代數(shù)中非常重要的恒等變形公式，學(xué)生運用公式解決問題時經(jīng)常會和平方差公式混淆（或漏掉積2倍）。為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)-1-習(xí)興趣，幫助學(xué)生理解和靈活運用公式，學(xué)習(xí)完完全平方公式后，筆者讓學(xué)生做練習(xí)“已知x+y=3，xy=1，求x2+y2的值（滬科版教材七年級下冊第86頁B組復(fù)習(xí)題第4題）”，并對題目做如下變式：變式1：已知x-y9，xy8，求xy2的值。變式2：已知（x）225，（x-y）216，求xy的值。變式3：已知xx13，求x1的值。x2變式4：已知x2x10，求x1的值。x2設(shè)計說明：四個變式練習(xí)的設(shè)計由易到難、層層遞進，關(guān)注到不同層次學(xué)生的思維水平。學(xué)生通過對變式練習(xí)的解答，不但加深了對公式的理解，而且激發(fā)挑戰(zhàn)自我，繼續(xù)探究的欲望，體會整體思想、方程思想和化歸思想，落實數(shù)學(xué)運算、邏輯推理素養(yǎng)。2.促進數(shù)學(xué)概念的理解概念是思維的細(xì)胞，理解概念是一切數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)。例如在平方根概念的學(xué)習(xí)時，學(xué)生對于正數(shù)開平方會有兩個結(jié)果感到不習(xí)慣，容易將算術(shù)平方根和平方根混淆，經(jīng)常出現(xiàn)“4=±2”的錯誤，而且對于負(fù)數(shù)沒有平方根，學(xué)生接受起來也有一定困難。為了加深學(xué)生對平方根概念的理解，深化平方根與算術(shù)平方根概念關(guān)聯(lián)性的認(rèn)識，筆者設(shè)計了下列變式題組，以優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進學(xué)生對概念的理解。原題：16的平方根是什么？算術(shù)平方根呢？變式1：請說出 16表示的含義？ 16的平方根是什么？變式2：已知34的平方根是4，試求的值。a

變式3：一個正數(shù)的平方根為3a和23，求及這個正數(shù)。a

變式4：若21和-a2是m的平方根，求m的值. 設(shè)計說明：原題及變式基于學(xué)生對“平方根”這一概念的理解，緊扣“乘方與開方互為逆運算”這一本質(zhì)屬性,通過辨析和抽象，逐步加深對概念的理解。3.促進解題能力的提升-2-通過解題能夠加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、法則、定理等核心知識的理解。變式訓(xùn)練是提升學(xué)生解題能力的有力保障。通過變式訓(xùn)練，能夠促使學(xué)生對知識的融會貫通，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)知識、方法和數(shù)學(xué)問題的理解，從而更好的把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。通過“變”，做到“活”，真正培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，提高課堂教學(xué)的效率。原題：（滬科版教材八年級下冊第66頁B組復(fù)習(xí)題第2題）如圖1，將AB10cm，BC8cm的長方形紙片ABCD，沿過頂點A的直線AP為折痕折疊時，頂點B與邊CD上的點Q重合，試分別求出DQ，PQ的長。解析：由折疊性質(zhì)知AQAB10cm，在Rt△ABC中，由勾股定理求得DQ6cm，所以QC10cm6cm4cm，設(shè)PQx，則PBx，PC8x，在Rt△PCQ中，由勾股定理列出方程（8）42x2，解得x5cm。本習(xí)題考查學(xué)生利用方程的思想解決幾何問題：學(xué)生通過勾股定理建立等量關(guān)系，列出一元二次方程，進而求出線段長度。為了加深理解，做到舉一反三，筆者從這道題出發(fā)，設(shè)計一系列變式題，通過一題多變，完成一節(jié)“折疊問題與勾股定理”專題課，讓學(xué)生從變化中，抓住不變因素，進而找到解決此類問題的一般方法，下表為設(shè)計思路。原題變式1變式2變式3變式4變式5折痕過A點過A點AC///點B對應(yīng)位置邊上對角線上形外與D重合與AD中點重合邊上變式1：如圖2，將AB10，BC8的長方形紙片ABCD，沿過頂點A的直線AP為折痕折疊時，頂點B落在了對角線AC上的Q處，求PQ的長；變式2：如圖3，將AB10，BC8的長方形紙片ABCD，沿對角線AC折疊，使B落在Q點，求CE的長。-3-變式3：如圖4，已知長方形紙片ABCD中，AB10，BC8，將紙片對折，若點B與D重合，求DE、EF的長；變式4：如圖5，已知長方形紙片ABCD中，AB10，BC8，將紙片對折，若點B與AD的中點Q重合，求DQ的長；變式5:如圖6，在矩形紙片ABCD中，AB10，BC8，點E,F分別在線段BC，AB上，將△BEF沿EF折疊，點B落在Q處，當(dāng)Q在DC上時，Q在DC上可移動的最大距離為______。設(shè)計說明：變式1，變式2的設(shè)計主要著眼于點的變化，分別就長方形的頂點落在了形內(nèi)、形外進行變式，無論哪一種情形，思路都是一致的：折疊前后，折疊部分的圖形關(guān)于折痕成軸對稱，兩圖形全等，由勾股定理建立等量關(guān)系，進而計算出相應(yīng)邊長，主要考查學(xué)生利用方程的思想和數(shù)形結(jié)合思想解題的能力；變式3綜合垂直平分線，勾股定理，菱形，一元二次方程，等腰三角形，全等三角形的相關(guān)知識，通過一題多解，達(dá)到發(fā)散學(xué)生思維水平的目的；變式4依托“一線三等角”模型，利用相似的相關(guān)知識解決，當(dāng)點B與AD的上任意一點Q重合，由于 △FAQ∽△QDG∽△EC'G，也可進一步求 GC,'EG的長或者△FAQ，△QDG，△EC'G之間周長、面積的比，本變式題主要考查學(xué)生對基本圖形的認(rèn)識，難度逐漸加大，對知識的考查更全面，對思維的要求也更高，適合在總復(fù)習(xí)時選用；變式5充分展示了與原題之間的內(nèi)在聯(lián)系，當(dāng)點E與點C重合時，點Q到達(dá)最左邊，此時DQ2，當(dāng)點F與點A重合時，點Q到達(dá)最右邊，圖形與原題相同，此時DQ6，兩數(shù)相減即可求出移動的最大距離為4，本題利用極端化策略變靜為動，培養(yǎng)學(xué)生動態(tài)思維能力，養(yǎng)成用變化發(fā)展眼光看問題的習(xí)慣；既復(fù)習(xí)、鞏固了知識，又滲透數(shù)學(xué)思想及方法，鍛煉了解題能力。-4-問題是數(shù)學(xué)的心臟，好的問題是課堂教學(xué)的生長點，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要善于尋找教材中的“題源”對其變式加工，以達(dá)到深化學(xué)習(xí)，提升解題能力的目的。4.促進數(shù)學(xué)思維水平的提高初中數(shù)學(xué)改革和發(fā)展的總趨勢是發(fā)展學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生能力。中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院周川教授也指出：數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于數(shù)學(xué)思維。滲透知識，貫穿思想，揭示本質(zhì)的變式訓(xùn)練能夠引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題多層次、多方位的變式探究與反思，啟發(fā)學(xué)生從變的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)，從不變的本質(zhì)中探究變的規(guī)律，進而提升學(xué)生的思維水平。原題：（滬科版教材八年級下冊第66頁B組復(fù)習(xí)題第6題）如圖7，點P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且PA=6，PB=8，PC=10，若將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P'AB，求PP'的長和∠APB的度數(shù)?！鰽PP'為等邊解析：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得APAP'，又因為旋轉(zhuǎn)角為60°，所以三角形，PP'PA6，在△BPP'中，由勾股定理的逆定理可得BPP'90，所以APBAPPBPP'6090150。本題借助ABAC，實現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)，借助BAC60，實現(xiàn)了△APP'從等腰三角形到等邊三角形的轉(zhuǎn)化。抓住這兩點，筆者從提升思維能力的角度對本題進行加工變式，設(shè)計了如下變式題組：變式1：P是等邊△ABC內(nèi)的一點,若線段PA，PB，PC之間滿足PB2PA2PC2,求APB的度數(shù).變式2：點P是等邊△ABC內(nèi)的一點，若APB150，求線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系.變式3：如圖8，等腰直角三角形ABC中，AB=BC，P為三角形內(nèi)的任意一點，若PA1，PB2，PC 6，求APB的度數(shù).變式4：如圖9，等腰三角形ABC中，ABBC2，P為AC邊上一點，且PC2PA22PB2，若將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P'AB，求PP'的-5-取值范圍.變式5：如圖10,P是菱形ABCD內(nèi)的一點,ABC120，BPA120，求線段PA，PB，PC之間的關(guān)系.，APB變式6：如圖11，P為△ABC內(nèi)一點，若ABBC，BAC，當(dāng)，之間滿足什么關(guān)系時，PC2PB24PA2sin21。2設(shè)計說明：變式1通過PB2PA2PC2讓學(xué)生直覺聯(lián)想到勾股定理的逆定理，也是從案例4中的特殊到一般的過渡；變式2通過變換條件與結(jié)論，主要培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力；變式3改變問題載體，考查學(xué)生通過類比解題的能力，當(dāng)然，也可以以正方形為載體變式；變式4通過變化P點的位置，達(dá)到從一般到特殊的過渡，體現(xiàn)了特殊化思想，由PP'與PA之間變化關(guān)系，也鍛煉了動態(tài)思維能力，這類變式常見于探究問題，可以依托幾何畫板進行解答；變式5弱化已知條件使問題更具一般性；變式6則把特殊角變?yōu)槿我饨牵w現(xiàn)了抽象概括的數(shù)學(xué)思維，本變式題組的變式框架如圖12。三、對變式訓(xùn)練的思考

1.何時去變

以上各例充分說明，在概念形成的過程中，通過變式對概念辨析，可以增進概念的理解；遇到重點、難點時，通過變式，搭建腳手架，找到最近發(fā)展區(qū)；遇到生長點，如折疊問題，旋轉(zhuǎn)問題，通過變式訓(xùn)練，拓展思路，促進思維水平的-6-提高；此外，在法則發(fā)生發(fā)展的過程中，例如單項式乘以單項式法則的引入，可通過如下變式過程完成：（1）（3105）（43107），（2）3a512a7，（3）4x2y3xy2，（4）5abc(3ab)，讓學(xué)生感受從數(shù)到式、從數(shù)的運算到式的運算的轉(zhuǎn)變；在公式結(jié)構(gòu)的辨析時，也可通過變式完成，講解完全平方公式，可設(shè)計如下變式計算題：（1）1022，（2）（-2x3y）2，（3）（m2np）2；在對定理限制條件、內(nèi)涵、外延的理解時也可進行變式訓(xùn)練，如學(xué)習(xí)韋達(dá)定理時可設(shè)計變式：（1）設(shè)x1,x2是方程2x2x70的兩根，不解方程，求x12x22的值（滬科版八年級下冊第88頁A組復(fù)習(xí)題第6題），（2）關(guān)于x的方程x2（k24）xk10的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，求k的值，讓學(xué)生在糾錯過程中反思韋達(dá)定理的條件，總之，在學(xué)生“心求通而不得”時，教師不是直接告訴學(xué)生結(jié)論，而是通過變式從另一個角度給學(xué)生啟示，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程，越“變”越“明”。2.為何要變

“變”是為了“不變”，變式訓(xùn)練變的是非本質(zhì)的外在表現(xiàn)形式，是問題的“形”，而變式真正的目的，是要找到問題內(nèi)在的本質(zhì)屬性，即問題的“神”，通過變式要能促進知識的理解和知識方法的遷移，要能提升學(xué)生的解題能力和養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，進而促進深度學(xué)習(xí)。3.如何去變

變式題組的設(shè)計可以通過弱化條件，改變問題載體，交換條件結(jié)論，變化點、線及基本圖形之間的相對位置關(guān)系進行，變式要做到循序漸進，以教材例題、習(xí)題為基礎(chǔ)，不易太難，挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，也不易太易，在低水平進行簡單重復(fù)；變式要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，找好生長點，搭好腳手架，也可讓學(xué)生自主設(shè)計變式題目，通過探究式變式逐步引導(dǎo)學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)問題，通過交流提出問題，通過推理分析問題，進而達(dá)到解決問題；最后，變式訓(xùn)練要把變式達(dá)到的效果，落在培養(yǎng)四基四