高考數(shù)學(xué)熱點題型訓(xùn)練第4章 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用

1010第三節(jié)

平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用考點一

平面向量數(shù)量積的概念及運算[例1](1)(20132湖北高)知點A(－1,1)、(1,2)(2，1)D(3,4)，則向量AB在CD向上的投影為)A.

3231515B.C．－．－222(2)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，＝，點E的點點在邊上，若AB2AF＝2，AE2的是．[自主解答∵(1,1)，(12)，(－，1)，(3,4)，∴AB＝(2,1)，CD＝，AB310因此〈，CD〉＝，ABCD∴向量

在

方向上的投影為

|2cosAB

，

31032〉＝53＝.102(2)以為標(biāo)原點AD所在直線分別為xy軸立直角坐標(biāo)系則(20)，E(21)，D(0,2)，C(2，2)．設(shè)(，2)(0≤2)由AB2＝2?2＝2?x＝，以F(1,2)，2＝2，1)2(1－2，＝2.[答案](1)A(2)2【動究在本例2)中四形是邊長為1的正形是上的動點DE2的值及DE2的大值．解：以點原點，AB邊所在直線為x軸立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則正方形各頂點坐標(biāo)分別為(0,0)B、(1,1)D(0,1)，設(shè)E(，，0≤1.DE2＝，－1)2(0－1)＝30＋－1)3(1)＝2(，－1)2(1,0)＋(－1)30a≤1，2DC最大值為【法律平面向量數(shù)量積的類型及求法(1)平面向量數(shù)量積有兩種計算式：一是夾角公式a2a|||cosθ二是坐標(biāo)公

3333式a2xx＋y.(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積運算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運算律或相關(guān)公式進行化簡．1向量a＝(1,1)＝(2,5)(3)足件8b)2＝＝________.解析：a＝(1,1)b＝(2,5)，∴a－＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又c＝，，∴(8－)2＝＋x＝30∴＝4.答案：22．已知是角為的個單位向量a＝e－2，b＝＋，a20，則實數(shù)k的值為_______．2解析：，e的為1，其夾角θ＝.∴2e－)2(＋)＝＋2－ke2－22＝＋(1－k)cos－35＝k－.255又∵2，2－＝0即＝.245答案：4高頻考點

考點二

平面向量的夾角與模的問題1．平面向量的夾角與模的問題高考中的?？純?nèi)容，題型多為選擇題、填空題，難度適中，屬中檔題．2．高考對平面向量的夾角與?？疾槌Ｓ幸韵聨讉€命題角度：(1)求兩向量的夾角；(2)兩向量垂直的應(yīng)用；(3)已知數(shù)量積求模；(4)知模求模．[例2](1)(20132湖南高)知a，是位向量2若量滿足c－－b|1，則|c的最大值為)A.2－1B.2C.＋D.2＋(2)(20132安徽高考若非零向量ab滿|＝3||＝|＋b|夾的余弦值為________．(3)(20132山東高考在平面直角坐標(biāo)系xOy中知＝－)＝∠＝90°，實數(shù)t的為_______．(4)(20132天津高考在平行四邊形ABCD中，＝BAD＝60°為CD的中2BE＝則AB的長為_______．[自主解答建如圖所示的直角坐標(biāo)系，由題意知⊥，且與是單位向量，

AC＝，得2BEAC＝，得2BE∴可設(shè)

＝a＝(1,0)，

＝＝(0,1)

OC

＝＝(，y．∴－－＝(－1，－，∵c－－|＝，∴x－＋y－1)＝，即點(，y)的軌跡是(1,1)圓心1半徑的圓．而c＝x＋，∴||的大值為OM|＋，|c＝2＋1.(2)由a|＝a＋b|兩邊平方，得||＝|＋2b＝|＋|4a2所以a2＝－||.a2|b|1又a＝3|b|，所以cos〈a，〉＝＝－＝－.|ab3||3(3)AB＝AO＋OB＝(1－t)＋(2,2)＝)．∵∠ABO＝90°，AB2＝，即233＋22(2t＝，∴＝5.(4)法一由意可知，AC＝BE

1＝－＋AD.因AC22

＝，所以(

)2

12

AB

＝，11即AD2＋AB2－＝22因為|AD|，∠BAD＝60°11所以|AB＝，即的為.22法二：以A原點，AB為軸建如圖所示的角坐標(biāo)系，過作DM⊥AB于.由13＝，∠BAD＝60°可知＝，＝.22133設(shè)|＝m>0)，則(0)，22213因為是的點，所以＋，2211313所以BE＝m，AC＝22223由＋＝1，41即2－＝，以＝0(去或21故AB的為.2

||2||3233||2||323311[答案](1)C－(3)5(4)32平面向量的夾角與模問題的常見類型及解題策略a2(1)求兩向量的夾角．cosθ＝，要注意∈[0，π]．(2)兩量垂直的應(yīng)用．兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥20|－|＝|a＋|.(3)求向量的模．利用數(shù)量積求長度問題的處理方法有：①＝a2||

或|＝a2②a±＝a±b＝±22b

.③若a＝x，)，則a＝x＋.1．若a＝(1,2)，b＝(1，－，2a＋與－b的角等()πππ3πA．－B.C.D.4644解析：選C2＋＝2(1,2)(1，1)＝(3,3)，a－＝(1,2)－，1)＝(0,3)，＋)2(－)9|2＋b＝2，－b＝3.設(shè)所求兩向量夾角為α，92π則cosα＝＝，∈，π]，故α＝.242．已知a與為個不共線的單位向量為數(shù)，若向量a＋向量ka垂，則＝解析：b是不共線的單位向量|a＝b|＝又－a＋b垂直∴＋)2(－b＝，即2a2＝∴－＋ka2a20即－＋cosθ－＝θ為a與b的夾)．∴k－＋cosθ)，又與不線，∴cosθ≠1，∴＝答案：3．已知平面向量α，β||，＝，⊥－)，|＋|的為．解析：β＝(2,0)，∴|β|，又－)，∴2(－)＝－2＝1－2＝0.1∴22∴(2＋)＝＋＋α2＋42＝∴|2＋|＝10.答案：10考點三

平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

[例3](20132江蘇高考)已知量a＝(cosα，)，b＝(cosβ，β)，0<α<.(1)若a－＝2，求證：a；(2)設(shè)c＝(0,1)，a＋＝c，求α，的．[自主解答證：由題意ab|＝，即ab＝－a2b

＝2.又因為a＝b＝|＝b|＝，以2－2，即a2，a⊥.(2)因為a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以＋cosβ＝，＋sinβ＝，由此得cosα＝π－β)由0<π，0<－<π又0<<，α＝π15ππ－代入sinα＋sinβ＝，sinα＝sinβ＝而α>β，所以＝，β＝.26【法律平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的命題形式與解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．(2)給出用三角函數(shù)表示的向量標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域.設(shè)向量a＝(4cosα，sin)，b＝β，4cosβ)，c＝β，4sinβ)．(1)若a與b垂，求tan(α＋)值；(2)求b＋的最大值；(3)若tantanβ＝，證∥b解：(1)由a與b－直，得a2(－c＝2a20即4sin(α＋β)8cos(α＋)，tan(α＋β＝2.(2)＋＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ，|＋c＝sinβ＋2sinβcosβ＋cosβ＋β－32cosβsinβ＋16sinβ＝17－30sinβcosβ＝15sin2，故最大值為，以＋c的最大值為42.(3)證明：由tanαtanβ＝，sinαsinβ＝16cosαcosβ，即4cosα24cosβ－sinβ＝，以∥b.—————————[課堂歸納——通法領(lǐng)]———————————————1個件——兩個非零向量垂直充要條件兩個非零向量垂直的充要條件為⊥a20.2個論——與向量夾角有關(guān)的個結(jié)論(1)若a2，a與的角為銳角或0°；(2)若a2，a與的角為鈍角或180°.4個意點——向量運算中應(yīng)注的四個問題(1)在求eq\o\ac(△,)的三邊所對應(yīng)向量的夾角時，要注意是三角形內(nèi)角還是外角．如在等邊△ABC中，與的角應(yīng)為120°而不是60°.(2)在平面向量數(shù)量積的運算中不