2023屆云南省元江哈尼族彝族傣族自治縣高三年級(jí)下冊(cè)學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023屆云南省元江哈尼族彝族傣族自治縣高三下學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，公比為，則“”是“對(duì)任意的正整數(shù)，”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得到的變形式，轉(zhuǎn)化成關(guān)于公比的不等式，解得的取值范圍，進(jìn)而可以順利判定二者的關(guān)系.【詳解】數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，公比為則當(dāng)時(shí)的值正負(fù)均可以出現(xiàn)，不能判定符號(hào)，即不能推出當(dāng)即時(shí)，可以得到，則成立.則“”是“對(duì)任意的正整數(shù)，”的必要不充分條件,選項(xiàng)B正確.故選：B2．函數(shù)的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用奇偶性定義判斷對(duì)稱性，在趨向時(shí)的變化趨勢(shì)，應(yīng)用排除法，即可得答案.【詳解】由題設(shè)定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，排除D；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)趨向，趨向，排除A、C；故選：B3．如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用向量加法法則結(jié)合向量線性運(yùn)算求解作答.【詳解】在平行四邊形中，，所以.故選：C4．已知曲線在處的切線方程是，則與分別為A．5， B．，5 C．，0 D．0，【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到f'（5）等于直線的斜率﹣1，由切點(diǎn)橫坐標(biāo)為5，得到縱坐標(biāo)即f（5）．【詳解】由題意得f（5）=﹣5+5=0，f′（5）=﹣1．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．已知函數(shù)，則（

）A．是單調(diào)遞增函數(shù) B．是偶函數(shù)C．函數(shù)的最小值為 D．【答案】C【分析】對(duì)于ACD，只需要利用作差法判斷的單調(diào)性即可解，對(duì)于B，由定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可排除.【詳解】對(duì)于ACD，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，所以，即，故在上單調(diào)遞減，所以，，故AD錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于B，因?yàn)?，即的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤.故選：C.6．為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某市舉辦“紅歌大傳唱”主題活動(dòng)，以傳承紅色革命精神，踐行社會(huì)主義路線，某高中有高一、高二、高三分別600人、500人、700人，欲采用分層抽樣法組建一個(gè)18人的高一、高二、高三的紅歌傳唱隊(duì)，則應(yīng)抽取高三（

）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人【答案】C【分析】利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解.【詳解】依題意得：某高中有高一、高二、高三分別600人、500人、700人，欲采用分層抽樣法組建一個(gè)18人的高一、高二、高三的紅歌傳唱隊(duì)，則應(yīng)抽取高三的人數(shù)為：.故選：C.7．平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓T與x軸交于兩點(diǎn)A，B，與y軸交于兩點(diǎn)C，D，若|AB|和均為定值，則T的圓心軌跡一定是（

）A．橢圓（或圓） B．雙曲線 C．拋物線 D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】D【分析】根據(jù)圓在兩坐標(biāo)軸上截得弦長(zhǎng)為定值列出圓心坐標(biāo)與半徑關(guān)系式，消去半徑建立圓心兩坐標(biāo)的關(guān)系即為圓心軌跡.【詳解】設(shè)圓心，半徑，由圓在軸上截得弦長(zhǎng)為得，所以，同理：兩式相減消去得當(dāng)時(shí)，，圓心軌跡為直線，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閨AB|和均為定值，故圓心軌跡為雙曲線，故選：D.8．設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】列出從5個(gè)點(diǎn)選3個(gè)點(diǎn)的所有情況，再列出3點(diǎn)共線的情況，用古典概型的概率計(jì)算公式運(yùn)算即可.【詳解】如圖，從5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)有共種不同取法，3點(diǎn)共線只有與共2種情況，由古典概型的概率計(jì)算公式知，取到3點(diǎn)共線的概率為.故選：A【點(diǎn)晴】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算問題，采用列舉法，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.二、多選題9．若，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷ABC，利用作差法判斷D.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，A成立；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，B不成立；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，即，C成立；對(duì)于D：，，，，即，D不成立.故選：AC.10．若函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)情況說法正確的是（

）A．函數(shù)至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C．函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)，D．函數(shù)有四個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)，【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，令，則函數(shù)的零點(diǎn)也即方程的解，根據(jù)函數(shù)的解析式可得：或，再結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求解.【詳解】令，則函數(shù)的零點(diǎn)即方程的解，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：；也即或，則有或，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），對(duì)于，若函數(shù)沒有零點(diǎn)，則有，無解，所以函數(shù)必有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，有一個(gè)零點(diǎn)，其他時(shí)候至少兩個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)至少有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，由選項(xiàng)的分析可知：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)方程無解；方程有兩解，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則方程有一解且有兩解，或者方程有兩解且有一解，當(dāng)方程有一解且有兩解時(shí)，則有或，解得：；當(dāng)方程有兩解且有一解時(shí)，則有或，解得：；綜上所述：若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)，，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，若函數(shù)有四個(gè)不同零點(diǎn)，則方程和均有兩解，則有或或，解得：或，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：.11．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．在上單調(diào)遞減 D．在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的周期公式可判斷A;將代入驗(yàn)證的值，可判斷B;根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷C;由可求得，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)，判斷D.【詳解】的最小正周期為，A正確;的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B正確;由于的圖象是由函數(shù)向左平移個(gè)單位得到的，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤.因?yàn)椋?，在上的值域?yàn)椋珼正確，故選：ABD12．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線的斜率為且經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線交于點(diǎn)、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則以下結(jié)論正確的是A． B． C． D．【答案】ABC【解析】作出圖形，利用拋物線的定義、相似三角形等知識(shí)來判斷各選項(xiàng)命題的正誤.【詳解】如下圖所示：分別過點(diǎn)、作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、.拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，則，由于直線的斜率為，其傾斜角為，軸，，由拋物線的定義可知，，則為等邊三角形，，則，，得，A選項(xiàng)正確；，又，為的中點(diǎn)，則，B選項(xiàng)正確；，，（拋物線定義），C選項(xiàng)正確；，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查與拋物線相關(guān)的命題真假的判斷，涉及拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.三、填空題13．設(shè)，是函數(shù)（）的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)極值點(diǎn)定義可將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)不同交點(diǎn)；化簡(jiǎn)得到，利用換元法令，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出，將參數(shù)分離出來，構(gòu)造函數(shù)，即可得出.【詳解】，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，是的兩根，又當(dāng)時(shí)，方程不成立，即，兩式作比得到:==，所以，令，所以令，則令，則所以在上單調(diào)遞減，所以所以在上單調(diào)遞減，所以令，則恒成立所以在上單調(diào)遞減，即故答案為：.14．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式___________【答案】【分析】根據(jù)與關(guān)系求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，檢驗(yàn)：，所以.故答案為：15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則_________.【答案】【分析】由題可得，進(jìn)而可得，即得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋允鞘醉?xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故答案為：.16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則______．【答案】93【分析】由已知可求出，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減可得，從而可得數(shù)列從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可求得結(jié)果【詳解】由，，得，當(dāng)時(shí)，由，得，所以，所以，因?yàn)?，所以?shù)列是以2為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，故答案為：93四、解答題17．已知直線與圓相交于，不同兩點(diǎn).(1)若，求的值；(2)設(shè)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求點(diǎn)到直線的最大距離．【答案】(1)或2(2)1【分析】（1）將l與C有兩個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離小于半徑，求出k的范圍，根據(jù)即可解得k.（2）直線與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示可得，從而判斷出圓心在直線上，確定點(diǎn)到直線的最大距離為半徑.【詳解】（1）可整理為，圓心為，半徑為1，直線的l一般式為，又∵直線與圓交于兩點(diǎn)，∴，解得，∵，∴或2.（2）設(shè)，，將代入方程，整理得，∴，，，由題設(shè)可得，解得，由（1）知，所以直線的方程為，可知圓心在直線上，∴到直線的最大距離即為半徑為1．18．如圖，在三棱柱中，，，，.（1）證明：平面平面.（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】(1)在和中，利用勾股定理可得，，再根據(jù)面面垂直的判定定理證明即可；(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，分別求出平面的法向量和平面的法向量，再計(jì)算法向量夾角余弦值，即可求出二面角的余弦值.【詳解】(1)證明：如圖，連接，在中，，，，由余弦定理，得，所以，所以，所以，同理，又，平面,所以平面,又平面，所以平面平面.(2)解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則令，得，所以.由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.19．已知曲線，其離心率為，焦點(diǎn)在x軸上.(1)求t的值；(2)若C與y軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線y＝kx＋m與C交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線y＝n與直線BM交于點(diǎn)G，求證：當(dāng)mn＝4時(shí)，A，G，N三點(diǎn)共線.【答案】(1)2(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)曲線的離心率可知曲線表示橢圓，從而確定，結(jié)合離心率求得答案;（2）設(shè)點(diǎn)M.N的坐標(biāo)，聯(lián)立直線和橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，表示直線的方程，求得點(diǎn)G坐標(biāo)，從而表示出直線和直線的斜率，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式，化簡(jiǎn)，證明二者相等，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由曲線，其離心率為，焦點(diǎn)在x軸上.可知，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則其方程可化為，所以必須滿足：，解得，因的離心率為，，即，故，解得.（2）由（1）可知的方程為，所以，.把代入，整理得，設(shè)，，則，，因?yàn)辄c(diǎn)，所以直線的方程為：.令，得，所以.因?yàn)辄c(diǎn)，所以直線的斜率為，直線的斜率為.所以.其中，當(dāng)時(shí)，上式等于0，即，這說明，，三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)曲線表示橢圓求參數(shù)的值，以及直線和橢圓的位置關(guān)系等問題，其中證明三點(diǎn)共線是難點(diǎn)，解答時(shí)要注意解答思路要清晰明確，即將直線和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系去表示或化簡(jiǎn)相關(guān)的代數(shù)式，解答的關(guān)鍵是證明有公共點(diǎn)的兩直線斜率相等，其中的計(jì)算量較大，并且比較繁雜，要細(xì)心.20．如圖所示，位于A處的甲船獲悉：在其正東方向相距海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待救援.甲船立即把消息分別告知在其北偏東角且相距5海里C處的乙船、和其正北方向D處的丙船.若乙船在丙船的東南方向，且兩船相距2海里．(1)求；(2)若乙船要去救援，至少要航行多少海里才能到達(dá)B處？【答案】(1)(2)5海里【分析】（1）中，應(yīng)用正弦定理求解；（2）中，由余弦定理求解．【詳解】（1）依題意知，中，，由正弦定理得即；（2）中，，所以由余弦定理得=25

即BC=5所以乙船至少要航行5海里才能到達(dá)救援.21．已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求b的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程.（2）由恒成立構(gòu)造函數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合研究的最小值，由此求得的值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則又因?yàn)樗郧€在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為，即．（2）當(dāng)時(shí)，令函數(shù)，則恒成立等價(jià)于恒成立．又．當(dāng)時(shí)，，g(x)在R上單調(diào)遞增，顯然不合題意；當(dāng)時(shí)，令