質(zhì)點振動講解常微分

質(zhì)點振動講解常微分第1頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogoContents（1）無阻尼自由振動（2）有阻尼自由振動（3）無阻尼強迫振動（4）有阻尼強迫振動第2頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo質(zhì)點振動

振動是日常生活和工程技術(shù)中常見的一種運動形式。例如鐘擺的往復擺動，彈簧的振動，樂器中弦線的振動，機床主軸的振動，電路中的電磁振蕩等等。振動問題的研究，在一定條件下，可以歸結(jié)為二階常系數(shù)線性微分方程的問題來討論。下面我們以第一章里所舉的力學典型例子數(shù)學擺作為具體的物理模型，利用常系數(shù)線性微分方程的理論，討論有關(guān)自由振動和強迫振動的問題，并闡明有關(guān)的一些物理現(xiàn)象。至于RLC電路中的電磁振蕩完全可以同樣地加以討論。第3頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo數(shù)學擺是系于一根長度為l的線上而質(zhì)量為m的質(zhì)點M，在重力作用下，它在垂直于地面的平面上沿著圓周運動，如圖：第4頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo（1）無阻尼自由振動考察數(shù)學擺的無阻尼微小自由振動方程，（1.9）記，這里是常數(shù)，（1.9）變?yōu)椋?.39）這是二階常系數(shù)齊次線性微分方程，它的特征方程為特征根為共軛復根因此，方程（4.39）的通解為

,（4.40）第5頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo其中，為常數(shù)。為了獲得明顯的物理意義，令，因此，若取

，則（4.40）可以寫成即（4.41）這里A，代替了，作為通解中所含的兩個任意常數(shù)。第6頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo

從通解（4.41）可以看出，不論反映擺的初始狀態(tài)的A與為何值，擺的運動總是一個正弦函數(shù)，它是t的周期函數(shù).這種運動成為簡諧振動。振動往返一次所需的時間稱為周期，記為T，這里；單位時間內(nèi)振動的次數(shù)成為頻率，記作，這里；而稱為圓周率。從而得出結(jié)論：數(shù)學擺的周期只依賴于擺長l，而與初值無關(guān)。（參看圖（4.1））。

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圖（4.1）第8頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo此外，擺離開平衡位置的最大偏離稱為振幅。數(shù)學擺的振幅為A，而稱為初位相。這里，振幅和初位相都依賴于初值條件。如果把數(shù)學擺移至位置處，然后突然松開，使其自由擺動，這就相當于給定如下的初值條件：時，（4.42）把（4.42）代入通解（4.41），得到于是得初位相，振幅。第9頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo因此，所求的特解為：第10頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo（2）有阻尼自由振動

從通解（4.41）可以看到，無阻尼的自由振動是按正弦規(guī)律作周期運動，擺動似乎可以無限期的進行下去。但是，實際情況并不是如此，擺總是經(jīng)過一段時間的擺動后就會停下來，這說明我們所得的方程并沒有完全反映物體運動的規(guī)律。因為空氣阻力在實際上總是難免的，因此必須把運動阻力這一因素考慮進去，從而得到第一章已推導過的擺的有阻尼的自由振動方程

，（1.10）第11頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo

記，，這里n，是正常數(shù)，（1.10）可以寫成：（4.43）它的特征方程為：，（4.44）特征根為：

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對于不同的阻尼值n，微分方程有不同形式的解，它表示不同的運動形式，現(xiàn)分下面三種情況進行討論：①小阻尼的情形：即n<的情形，這時，為一對共軛復根，記，則。而方程（4.43）的通解為：和前面無阻尼的情形一樣，可以把上述通解改寫成如下形式：（4.45）這里A，為任意常數(shù).第13頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo

從（4.45）可見，擺的運動已不是周期的，振動的最大偏離隨著時間增加而不斷減小，而擺從一個最大偏離到達同側(cè)下一個最大偏離所需的時間為。

第14頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo圖（4.2）表示函數(shù)（4.45）的圖形，圖上虛線是的圖形。而實線表示擺運動的偏離隨時間變化的規(guī)律，它夾在兩條虛線中間振動。因為阻尼的存在，擺的最大偏離隨時間增大而不斷減小，最后擺趨于平衡位置。圖（4.2）第15頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo②大阻尼的情形：即n>的情形，這時，特征方程（4.44）有兩個不同的負實根。方程（4.43）的通解為（4.46）這里，是任意常數(shù)。從（4.46）可以看出，擺的運動也不是周期的，因為方程 對于t最多只有一個解，因此，擺最多只通過平衡位置一次，又因為第16頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo得知：當t足夠大時，的符號與的符號相反。因此，經(jīng)過一段時間后，擺就單調(diào)地趨于平衡位置，因而在大阻尼的情形，運動不是周期的，且不再具有振動的性質(zhì)。擺的運動規(guī)律（4.46）的圖形如圖（4.3）所示。

或第17頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo③臨界阻尼的情形：即n=的情形，這時特征方程（4.44）有重根。方程（4.43）的通解為：（4.47）。

這里，，是任意常數(shù)。第18頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo從(4.47)可以看出，擺的運動也不是周期的，它的運動規(guī)律（4.47）的圖形和圖（4.3）相類似。擺也不具有振動的性質(zhì)。數(shù)值稱為阻尼的臨界值，這一數(shù)值正好足夠抑制振動。這里臨界值的意思是指：擺處于振動狀態(tài)或不振動狀態(tài)的阻尼分界值，即當 時，擺不具有振動性質(zhì)，運動規(guī)律如圖（4.3）所示。而當時，擺具有振動性質(zhì)，運動規(guī)律如圖（4.3）所示。第19頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo（3）無阻尼強迫振動

以上談到的無阻尼自由振動和有阻尼自由振動都屬于自由振動，它對應于一個二階常系數(shù)齊次線性微分方程。當一個振動系統(tǒng)還經(jīng)常受到一個外力作用時，這種振動稱為強迫振動。最常見的外力往往是按周期變化的，這里考察周期外力特別是按正弦變化的外力作用下的強迫振動。我們?nèi)砸詳?shù)學擺為例。數(shù)學擺的微小強迫振動方程可寫為： （1.11）第20頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo考察無阻尼強迫振動，即的情形。令，設

，H為已知常數(shù)，p為外力圓頻率。這時（1.11）變?yōu)椋?.48）方程（4.48）的對應齊次線性微分方程的通解為

（4.41）這里A，是任意常數(shù)?，F(xiàn)求（4.48）的一個特解。如果，則（4.48）有形如（4.49）的解，這里M,N是待定常數(shù)。將（4.49）代入（4.48），比較同類項系數(shù)，得到第21頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo因此，方程（4.48）的通解為：

（4.50）通解（4.50）由兩部分組成，第一部分是無阻尼自由振動方程的解，它代表固有振動，第二部分是振動頻率與外力頻率相同，而振幅不同的項，它代表由外力引起的強迫振動。從（4.50）還可以看出，如果外力的圓頻率p愈接近固有圓頻率，則強迫振動項的振幅就愈大。

第22頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo如果，則（4.48）有形如的解，將它代入（4.48），比較同類項系數(shù)得到，因而，方程（4.48）的通解為（4.51）（4.51）表示隨著時間的增大，擺的偏離將無限增加，這種現(xiàn)象稱為共振現(xiàn)象。但是，實際上，隨著擺的偏離的增加，到了一定程度，方程（4.48）就不能描述擺的運動狀態(tài)了。第23頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo（4）有阻尼強迫振動

這時擺的運動方程（1.11）變?yōu)椋?.52）根據(jù)實際的需要，我們只討論小阻尼的情況，即 的情形。這時（4.52）對應的齊次線性微分方程的通解為：（4.45）這里A，是任意常數(shù)，（見（2）有阻自由振動中的情形①）?，F(xiàn)求（4.52）的一個特解，這時可以尋求形如

（4.53）的特解第24頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo

這里M,N是待定常數(shù)，將（4.53）代入（4.52），比較同類項系數(shù)，得到為了獲得更明顯的物理意義，令即令（4.54）及，這時（4.53）可以寫成

第25頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo因此，（4.52）的通解為（4.55）從（4.55）可以看出，擺的運動由兩部分疊加而成，第一部分是有阻尼的自由振動，它是系統(tǒng)本身的固有振動，它隨時間的增長而衰減，第二部分是由外力而引起的強迫振動項，它的振幅不隨時間的增長而衰減，因此，考慮強迫振動時主要就考慮后一項，它與外力的頻率一樣，但相位和振幅都不同了。我們現(xiàn)在來研究外力的圓頻率p取什么值時所引起的強迫振動項的振幅達到最大值。第26頁，共30頁，2023年，2月20日，星期日CompanyLogo從（4.54）看出，只需討論當p取何值時達到最小值即可。為此，記