隨機(jī)變量及概率分布

隨機(jī)變量及概率分布第1頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日§1

隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、

隨機(jī)變量第2頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日

以X記兩號碼之和，對于每一個樣本點(diǎn)e，X都有一個值與之對應(yīng)。第3頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日S1.定義:設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間是S={e}，若對于每一個e∈S,有一個實(shí)數(shù)X(e)與之對應(yīng),即X(e)是定義在S上的單值實(shí)函數(shù)，稱為隨機(jī)變量。（randomvariable,簡記為r.v.)例3.測試燈泡壽命試驗(yàn),其結(jié)果是用數(shù)量表示的.記燈泡的壽命為X,則X是定義在樣本空間S={e}={t|t≥0}上的函數(shù),即X=X(e)=t,e=t∈S.e1第4頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日有了隨機(jī)變量X,以前的各種隨機(jī)事件均可用X的變化范圍來表示:如例1中:A=“正面朝上”用{X=1}表示B=“反面朝上”用{X=0}表示反過來,X的一個變化范圍表示一個隨機(jī)事件.{0<X<2}=“正面朝上”.{X<0}=,第5頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日注:(1)可用隨機(jī)變量X描述事件.例擲一顆骰子,設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為X,事件A為“擲出的點(diǎn)數(shù)大于3”,則A可表示為“X>3”.隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果而取不同的值,在試驗(yàn)之前不能確切知道它取什么值,但是隨機(jī)變量的取值有一定的統(tǒng)計規(guī)律性—概率分布.第6頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2.分類：(1)離散型隨機(jī)變量;(2)非離散型隨機(jī)變量.10連續(xù)型隨機(jī)變量20非連續(xù)型隨機(jī)變量第7頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)很多時候，我們需要考慮r.v.的取值落入一個區(qū)間的概率,如定義：設(shè)r.v.X,x為任意實(shí)數(shù),則F(x)=P{X≤x}稱為X的分布函數(shù).P{x1<X≤x2},P{X≤x}等,為此引入隨機(jī)變量的分布函數(shù).(1)P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1).(2)無論是離散型r.v.還是非離散型r.v.,分布函數(shù)都可以描述其統(tǒng)計規(guī)律性.第8頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2.性質(zhì):(1)F(x)是單調(diào)不減函數(shù).x2>x1,F(x2)-F(x1)=P{x1<X≤x2}0.(2)0≤F(x)≤1,F(-)=0,F(+)=1.(3)F(x)至多有可列個間斷點(diǎn),而在其間斷點(diǎn)上也是右連續(xù)的,F(x+0)=F(x).第9頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日§2

離散型隨機(jī)變量1.定義若隨機(jī)變量全部可能取到的值是有限多個或可列無限多個,則稱為離散型隨機(jī)變量.Xx1x2…xn…pkp1p2…pn...第10頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日例1.設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四組信號燈,每組信號燈以概率p禁止汽車通過,以X表示汽車首次停下時已通過信號燈的組數(shù),求X的分布律.(設(shè)各信號燈的工作是相互獨(dú)立的).解:X01234pk即P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3.(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4P{X=4}=(1-p)4

p解:X01234pk解:X01234pk解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk(1-p)4解:X01234pk第11頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日練習(xí)：(1)一個口袋中有4個紅球，2個白球，逐一地從袋中不放回摸球，直至摸到紅球?yàn)橹埂ＴO(shè)摸球次數(shù)為X，求X的分布律。(2)一個盒子中有1，2，…

，10共十個號碼牌，在盒子中同時取4個號碼牌，以X表示取出的4個號碼牌中的最大號碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律。第12頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日例2.離散型r.v.,已知分布律可求出分布函數(shù). X-123pk1/41/21/4求：X的分布函數(shù),并求P{X≤1/2},P{3/2<X≤5/2}.解第13頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日P{X≤1/2}=F(1/2)P{X≤1/2}=P{X=-1}=1/4,=1/4或由分布律直接得P{3/2<X≤5/2}=F(5/2)-F(3/2)=1/2.第14頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日幾種重要的離散型隨機(jī)變量（一）0-1分布

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E有兩種可能的結(jié)果：S={e1,e2},設(shè)隨機(jī)變量X：第15頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日(二)伯努利試驗(yàn)、二項分布例1.設(shè)X是n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率為p,則X是一個隨機(jī)變量,我們來求它的分布律.第16頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日一般地有稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布,記為X~b(n,p).當(dāng)n=1時,P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1,即為0-1分布.第17頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日例2.某種電子元件的使用壽命超過1500小時為一級品,已知一大批該產(chǎn)品的一級品率為0.2,從中隨機(jī)抽查20只,求這20只元件中一級品的只數(shù)X的分布律.解:第18頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日例3.某人進(jìn)行射擊,每次命中率為0.02,獨(dú)立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率.當(dāng)n較大,p又較小時,二項分布的計算比較困難,例如0.98400，0.02400,…,可以用Pois-son分布近似計算.第19頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日例4.設(shè)有80臺同類型設(shè)備,各臺工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺設(shè)備的故障由一個人處理?？紤]兩種方法，其一是由4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺，其二是由3人共同維護(hù)80臺，試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修的概率的大小。第20頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日第21頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日(三)泊松分布(Poisson)

(2)泊松分布有很多應(yīng)用.第22頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日泊松(Poisson)定理：證明:(3)二項分布與泊松分布之間的關(guān)系由下面的泊松定理給出.第23頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日泊松定理的意義：1.在定理的條件下,二項分布的極限分布是泊松分布.2.當(dāng)n很大且p又較小時,第24頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日(四)幾何分布進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn),設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p,失敗的概率為1-p=q(0<p<1),將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止,以X表示所需的試驗(yàn)次數(shù),則X的分布律為:P{X=k}=qk-1p,k=1,2,…稱為X服從參數(shù)為p的幾何分布.例設(shè)某種社會定期發(fā)行的獎券,每券1元,中獎率為p,某人每次購買1張獎券,如果沒有中獎下次繼續(xù)再買1張,直到中獎止,求購買次數(shù)X的分布律.解：P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,3,…第25頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日若該人共準(zhǔn)備購買10次共10元錢,即如果中獎就停止,否則下次再購買1張,直到10元共花完為止,求購買次數(shù)Y的分布律.解：P{Y=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…,9,P{Y=10}=p(1-p)9+(1-p)10=(1-p)9.第26頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日引例.一個靶子是半徑為2米的圓盤,設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比,并設(shè)射擊都能擊中靶,以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求X的分布函數(shù).§3

連續(xù)型隨機(jī)變量第27頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日第28頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日則稱X為連續(xù)型r.v.f(x)稱為X的概率密度函數(shù),簡稱概率密度.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。第29頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日第30頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日第31頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日第32頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日第33頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日第34頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日3.關(guān)于連續(xù)型r.v.的一個重要結(jié)論:定理:設(shè)X為連續(xù)型r.v.它取任一指定的實(shí)數(shù)值a的概率均為0.即P{X=a}=0.第35頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日4.幾個常用的連續(xù)型r.v.分布(一)均勻分布:則稱隨機(jī)變量X在(a,b)上服從均勻分布,記作X~U(a,b).此概率與子區(qū)間長度成正比,而與子區(qū)間的位置無關(guān),

這也是均勻分布的由來.第36頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日分布函數(shù)為:第37頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日(二)指數(shù)分布:1.定義:如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為:則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。第38頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日第39頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日(三)正態(tài)分布:第40頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日第41頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日如何計算概率?通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計算其它一切正態(tài)分布的概率:(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:第42頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日引理:第43頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日第44頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日第45頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日例設(shè)某商店出售的白糖每包的標(biāo)準(zhǔn)重量500克,設(shè)每包重量X(以克計)是隨機(jī)變量,X~N(500,25),求:(1)隨機(jī)抽查一包,其重量大于510克的概率;(2)隨機(jī)抽查一包,其重量與標(biāo)準(zhǔn)重量之差的絕對值在8克之內(nèi)的概率;(3求常數(shù)c,使每包的重量小于c的概率為0.05.第46頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日(1)

由(x)=0.05怎樣查表求x的值?由于(x)=0.05,1-(x)=1-0.05,所以(-x)=0.95,而(1.645)=0.95,即:-x=1.645,故x=-1.645.第47頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日(2)若X~N(,2)P{-≤X≤+}=2(1)-1=0.6286.P{-2≤X≤+2}=2(2)-1=0.9544.P{-3≤X≤+3}=2(3)-1=0.997.由上三式可知,服從正態(tài)分布N(,2),的r.v.X之值幾乎全部落入[-3,+3]內(nèi),稱為3原則，常應(yīng)用于工程技術(shù)中。第48頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日z(x)0(3)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn):第49頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日§4.

隨機(jī)變量的函數(shù)的分布我們將研究如何由已知的r.v.X的分布,去求得它的函數(shù)Y=g(X)的分布,(其中g(shù)(.)是已知的連續(xù)函數(shù)),分兩種情形討論:一、X為離散型r.v.例1.設(shè)X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律:X-1012pk0.20.30.10.4X-1012pk0.20.30.10.4Y4101第50頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日即Y014pk0.10.70.21.

離散型r.v.函數(shù)的概率分布的求法:設(shè)X的概率分布如下表:Xx1x2…xk…P{X=xi}p1p2…pk...(1)記yi=g(xi)(i=1,2,…),若yi的值是互不相同的,則Y的概率分布如下表:Yy1y2…yk…P{Y=yi}p1p2…pk...第51頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日二、X為連續(xù)型r.v.(2)若g(x1),g(x2),…中不是互不相同的,則應(yīng)將那些相同值所對應(yīng)的概率pi相加,可得Y的分布律.第52頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日1.“分布函數(shù)法”:(1)先求出Y的分布函數(shù):FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{XG},其中

G={x:g(x)≤y},轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的事件,再利用X

的分布函數(shù)表示.(2)對y求導(dǎo)得到Y(jié)的概率密度:fY(y)=FY′

(y).第53頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日第54頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日第55頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日(1)若f(x)在有限區(qū)間[a,b]以外等于零,則只需假設(shè)在[a,b]上g(x)嚴(yán)格單調(diào),選取

=min(g(a),g(b)),=max(g(a),g(b)).2.定理:設(shè)X是連續(xù)型r.v.,具有概率密度fX(x),設(shè)y=g(x)是x的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),且反函數(shù)x=h(y)具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).當(dāng)g(x)嚴(yán)格增加時,記=g(-),=g(+);

當(dāng)g(x)嚴(yán)格減少時