2022-2023學(xué)年河南省商丘市第一高二年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河南省商丘市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量，單位向量滿足，則，的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將模平方后可求數(shù)量積，從而可求夾角的大小.【詳解】因?yàn)?，故，因此，故即，故即，故，而，故，故選：C.2．經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】寫出點(diǎn)斜式，再化為一般式即可.【詳解】由點(diǎn)斜式得，即.故選：A3．拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，即可得到答案；【詳解】拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，準(zhǔn)線方程為，故選：A.4．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】∵，∴，∴，∴，故選：B5．直線被圓截得的最短弦長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先確定最短弦長的位置，再利用弦長公式求解.【詳解】圓，直線恒過點(diǎn)，點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)點(diǎn)是圓的弦中點(diǎn)時(shí)，弦長最短，圓心和點(diǎn)的距離，所以最短弦長.故選：D6．給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱，為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖像的對稱中心．若函數(shù)，則（

）A．8082 B． C．8084 D．【答案】A【分析】按定義求得拐點(diǎn)，即為函數(shù)的圖像的對稱中心，利用對稱性化簡求值即可.【詳解】，令得，，即函數(shù)的圖像的對稱中心為，則，故故選：A7．是橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，滿足，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合向量加法的平行四邊形法則確定與的關(guān)系，再利用橢圓定義結(jié)合余弦定理求解作答.【詳解】由得，以、為一組鄰邊的平行四邊形的以點(diǎn)M為起點(diǎn)的對角線對應(yīng)的向量與共線，由知，平分，因此這個(gè)平行四邊形是菱形，有，又，于是得，令橢圓的半焦距為c，在中，，由余弦定理得：，即，則有，解得，所以橢圓的離心率為.故選：D8．已知函數(shù)存在極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知條件得有兩個(gè)根,再求的導(dǎo)函數(shù),結(jié)合根的情況得極值,再根據(jù)范圍計(jì)算即可.【詳解】由已知存在極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)可得有兩個(gè)根,可得當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,至多一個(gè)根,不合題意因?yàn)榈亩x域?yàn)?所以,所以同號單調(diào)遞增,因?yàn)橛袃蓚€(gè)根,則存在,在上是單調(diào)遞減的,在上是單調(diào)遞增的,有兩個(gè)根又因則,,又因所以,即得因?yàn)閱握{(diào)遞增,,所以滿足,則令,則,是單調(diào)遞增的,所以,所以所以,選項(xiàng)滿足要求.故選:.二、多選題9．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列式子中數(shù)值為常數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】設(shè)公比為，依題意可得，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中滿足，設(shè)公比為，所以，即，解得，所以，，，所以，，故選：ABC10．已知雙曲線，則下列說法正確的是（

）A．m的取值范圍是 B．雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上C．雙曲線C的焦距為6 D．雙曲線C的離心率e的取值范圍是【答案】ABC【分析】根據(jù)雙曲線方程的特點(diǎn)分析選項(xiàng)AB，得到選項(xiàng)C，利用雙曲線的離心率e，借助m的取值范圍求離心率的范圍.【詳解】因?yàn)楸硎倦p曲線，所以，解得-5<m<4，故A正確；因?yàn)?，故雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故B正確；設(shè)雙曲線的半焦距為c，則，所以，，故C正確；雙曲線的離心率，故D錯(cuò)誤.故選：ABC11．已知過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有1條，則的可能取值為（

）A．－5 B．－3 C．－1 D．1【答案】AC【分析】設(shè)出切點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程寫出切線，將點(diǎn)代入，并將切線有且僅有條，轉(zhuǎn)化為方程只有一個(gè)根，列方程求解即可．【詳解】由已知得，則切線斜率，切線方程為，直線過點(diǎn)，則，化簡得，切線有且僅有條，即，化簡得，即，解得或.故選：AC.12．已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．在上單調(diào)遞增B．在上單調(diào)遞減C．在上有極大值D．在上有極小值【答案】ABC【分析】令，結(jié)合條件由導(dǎo)數(shù)法討論單調(diào)性及最值，最后再由判斷單調(diào)性即可.【詳解】令，則，，則當(dāng)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減；當(dāng)，單調(diào)遞增.∴在上有極小值，為，故ABC錯(cuò)，D對.故選：ABC三、填空題13．已知向量，則向量的單位向量______．【答案】【分析】計(jì)算出，從而可得出，即可求出向量的坐標(biāo).【詳解】，，因此，向量的單位向量.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查與非零向量同向的單位向量坐標(biāo)的計(jì)算，熟悉結(jié)論“與非零向量同向的單位向量為”的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．圓上的點(diǎn)到直線的最小距離是__．【答案】1【分析】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心C到直線的距離d，則最小距離為.【詳解】由題意得，圓，圓心為，半徑，則圓心C到直線的距離為，故所求最小距離為.故答案為：1.15．已知，，，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】可轉(zhuǎn)化為在上，，求導(dǎo)可得的單調(diào)性，將的最小值代入，即得解【詳解】，，使得成立等價(jià)于在上，．易得，當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．易知在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且．若對都成立，則實(shí)數(shù)的最小值為____________．【答案】【分析】利用可由已知等式得出，然后用累加法求得，從而得，不等式可變形為．令，作差得數(shù)列的單調(diào)性，得其最大項(xiàng)，從而可得的范圍．【詳解】解：∵，∴，即，又，∴，依據(jù)疊加法（累加法）可得，也適合，∴，．代入，得．令，，∴時(shí)，即，時(shí)，，當(dāng)，且時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)，且時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減；又∵，，故大值為，故實(shí)數(shù)的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列不等式恒成立問題，考查由數(shù)列的前項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查累加法求通項(xiàng)公式，分組求和法，數(shù)列的單調(diào)性，考查知識(shí)點(diǎn)較多，對學(xué)生的能力要求較高，屬于中檔題．四、解答題17．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{}滿足(1)求{}的通項(xiàng)公式：(2)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，從而求出公比，得到通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和，等比數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】（1）由，得，解得：又，所以，因?yàn)?，所以，所以?）18．已知圓經(jīng)過點(diǎn)．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，求過點(diǎn)且被圓截得的弦長最短的直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）將三點(diǎn)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；（2）利用垂直與點(diǎn)斜式求解即可.【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，所以將代入，解得，，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）圓內(nèi)一點(diǎn)且被圓截得弦長最短的直線必與垂直，由（1）得，所以，所以圓內(nèi)一點(diǎn)且被圓截得弦長最短的直線方程為，整理得.19．已知函數(shù)，其中，且曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線.（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）；（2）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.【分析】（1）求導(dǎo)，使求解的值；（2）將（1）中所求的值代入，求解和的區(qū)間，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）對求導(dǎo)得，由在點(diǎn)處的切線垂直于直線，知，解得.（2）由（1）知，則，令，解得或，因?yàn)椴辉诘亩x域內(nèi)，所以舍去.當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)遞增.故的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，5)，單調(diào)遞增區(qū)間是.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，難度一般.20．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，分別為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，且，，求直線AF與平面DEF所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析;(2).【分析】（1）證明四邊形為平行四邊形即可證得，從而證得平面；（2）由向量法即可求得線面角的正弦值.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接,如圖所示：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，又底面ABCD為菱形，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）連接，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，，所以為等邊三角形，所以，又，所以，故，又，平面ABCD,所以PD⊥平面ABCD，又F為BC的中點(diǎn)，所以，所以，以D為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz．所以，，，則．設(shè)平面DEF的法向量，則，令，得．設(shè)直線AF與平面DEF所成的角為θ，則，故直線AF與平面DEF所成角的正弦值為．21．已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，且橢圓過點(diǎn)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓的右頂點(diǎn)為，與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)與點(diǎn)不重合，，且滿足，若點(diǎn)為中點(diǎn)，求直線與的斜率之積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，，從而可求出的值，進(jìn)而可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)的方程為，，，再將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得，，由的關(guān)系可得，，從而可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出直線，的斜率，然后兩斜率相乘利用基本不等式可求得結(jié)果【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，，又橢圓過點(diǎn)，即，解得：，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）題意的右頂點(diǎn)為，由題意可知直線的斜率存在且不為，設(shè)的方程為，由與軸不垂直，故.聯(lián)立方程組，消元可得：，設(shè)，，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，故，，，故直線的方程為，用替換可得：，，點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率，直線的斜率，，且，，.即直線與的斜率之積的取值范圍是22．已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求證：時(shí)，．【答案】(1);(2)證明見解析【分析】(1)由題意可得在恒成立，求出，再分離常數(shù)即可求得答案；(2)由可得，所以轉(zhuǎn)化成證明．方法一：令，只需證明即可.方法二：即證，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值；令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，即可證明.方法三：因?yàn)?，，由不等式的傳遞性即可證明.【詳解】（1）因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以在恒成立，即，所以．令，顯然在上單調(diào)遞減，所以在上的最大值為．因此，．（2）證明