中考數(shù)學(xué)中考最后壓軸題訓(xùn)練-折疊旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

中考數(shù)學(xué)中考最后壓軸題訓(xùn)練---折疊旋轉(zhuǎn)問(wèn)題一．折疊類1.（13江蘇徐州卷）在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD中，邊，邊，且AB、AD分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合．將矩形折疊，使點(diǎn)A落在邊DC上，設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)A落在邊DC上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．（圖1）（1）當(dāng)矩形ABCD沿直線折疊時(shí)（如圖1），（圖1）求點(diǎn)的坐標(biāo)和b的值；（2）當(dāng)矩形ABCD沿直線折疊時(shí)，①求點(diǎn)的坐標(biāo)（用k表示）；求出k和b之間的關(guān)系式；②如果我們把折痕所在的直線與矩形的位置分為如圖2、3、4所示的三種情形，請(qǐng)你分別寫出每種情形時(shí)k的取值范圍．（將答案直接填在每種情形下的橫線上）（——當(dāng)如圖1、2折疊時(shí)，求D的取值范圍？）所以，即，所以．所以點(diǎn)的坐標(biāo)為（，1）．連結(jié)，在Rt△中，，，．因?yàn)?，所以．所以．在圖答6和圖答7中求解參照給分．（3）圖13﹣2中：；圖13﹣3中：≤≤；圖13﹣4中：（圖答5）（圖答7）（圖答6）（圖答5）（圖答7）（圖答6）[點(diǎn)評(píng)]這是一道有關(guān)折疊的問(wèn)題，主要考查一次函數(shù)、四邊形、相似形等知識(shí)，試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請(qǐng)注意體會(huì)。2.（13廣西欽州卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，為上一點(diǎn)，把沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求所在直線的解析式；5DＯEAxyCMB（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)的拋物線與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為，問(wèn)在該拋物線上是否存在點(diǎn)，使得5DＯEAxyCMB[解]（1）根據(jù)題意，得，，．點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2），設(shè)，則，，在中，．．5DHＯ5DHＯGEAxyCFMB即點(diǎn)的坐標(biāo)是．設(shè)所在直線的解析式為，解之，得所在直線的解析式為；（3）點(diǎn)在拋物線上，．即拋物線為．假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)，使得為等邊三角形，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性及等邊三角形的性質(zhì)，得點(diǎn)一定在該拋物線的頂點(diǎn)上．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．則點(diǎn)的坐標(biāo)為．，點(diǎn)在軸的右側(cè)，，．，在中，，．解之，得．，．點(diǎn)的坐標(biāo)為．在拋物線上存在點(diǎn)，使得為等邊三角形．[點(diǎn)評(píng)]這是一道以折疊為背景的綜合型壓軸題，綜合性較強(qiáng)，這類試題在各地中考題中出現(xiàn)的頻率不小，本題中第1、2小題只需根據(jù)折疊的基本性質(zhì)結(jié)合函數(shù)知識(shí)即可得解，第3小題是探究型問(wèn)題，是一道檢測(cè)學(xué)生能力的好題。3（13湖北咸寧卷）如圖，是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，為原點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，．（1）在邊上取一點(diǎn)，將紙片沿翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，求點(diǎn)，的坐標(biāo)；（2）若過(guò)點(diǎn)的拋物線與軸相交于點(diǎn)，求拋物線的解析式和對(duì)稱軸方程；（3）若（2）中的拋物線與軸交于點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使的內(nèi)心在坐標(biāo)軸上？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（4）35若（2）中的拋物線與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上移動(dòng)，作直線，當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到什么位置時(shí)，兩點(diǎn)到直線的距離之和最大？請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的解析式．354..(14臺(tái)州市)Oxy（第24題）CBED24．如圖，四邊形是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，將邊折疊，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處．已知折疊，且．Oxy（第24題）CBED（1）判斷與是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）求直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）是否存在過(guò)點(diǎn)的直線，使直線、直線與軸所圍成的三角形和直線、直線與軸所圍成的三角形相似？如果存在，請(qǐng)直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）與相似．理由如下：由折疊知，，（第24題圖2）Oxy（第24題圖2）OxyCBEDPMGlNAF又，．（2），設(shè)，則．由勾股定理得．．由（1），得，，．在中，，，解得．，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）滿足條件的直線有2條：，．如圖2：準(zhǔn)確畫出兩條直線．5.(14寧德市)26.已知：矩形紙片中，厘米，厘米，點(diǎn)在上，且厘米，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)．按如下操作：步驟一，折疊紙片，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，展開(kāi)紙片得折痕（如圖1所示）；步驟二，過(guò)點(diǎn)作，交所在的直線于點(diǎn)，連接（如圖2所示）（1）無(wú)論點(diǎn)在邊上任何位置，都有（填“”、“”、“”號(hào)）；（2）如圖3所示，將紙片放在直角坐標(biāo)系中，按上述步驟一、二進(jìn)行操作：①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，與交于點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)是（，）；②當(dāng)厘米時(shí)，與交于點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)是（，）；③當(dāng)厘米時(shí)，在圖3中畫出（不要求寫畫法），并求出與的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程，與形成一系列的交點(diǎn)觀察、猜想：眾多的交點(diǎn)形成的圖象是什么？并直接寫出該圖象的函數(shù)表達(dá)式．AAPBCMD(P)EBC圖10(A)BCDE6121824xy61218圖3ANPBCMDEQT圖2解:（1）．（2）①；②．③畫圖，如圖所示．解：方法一：設(shè)與交于點(diǎn)．0(A)BCD0(A)BCDE6121824xy61218FMGP．，，．又，．．．．方法二：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則四邊形是矩形．，．設(shè)，則．在中，．．．．．（3）這些點(diǎn)形成的圖象是一段拋物線．函數(shù)關(guān)系式：．6.(14日照市)24.如圖，直線EF將矩形紙片ABCD分成面積相等的兩部分，E、F分別與BC交于點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)F（E，F(xiàn)不與頂點(diǎn)重合），設(shè)AB=a,AD=b,BE=x．(Ⅰ)求證：AF=EC；(Ⅱ)用剪刀將紙片沿直線EF剪開(kāi)后，再將紙片ABEF沿AB對(duì)稱翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，直腰落在邊DC的延長(zhǎng)線上，拼接后，下方的梯形記作EE′B′C.（1）求出直線EE′分別經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)A和頂點(diǎn)D時(shí)，所對(duì)應(yīng)的x︰b的值；（2）在直線EE′經(jīng)過(guò)原矩形的一個(gè)頂點(diǎn)的情形下，連接BE′，直線BE′與EF是否平行？你若認(rèn)為平行，請(qǐng)給予證明；你若認(rèn)為不平行，請(qǐng)你說(shuō)明當(dāng)a與b滿足什么關(guān)系時(shí)，它們垂直？解:(Ⅰ)證明：∵AB=a，AD=b，BE=x，S梯形ABEF=S梯形CDFE．∴a(x+AF)=a(EC+b-AF)，∴2AF=EC+(b-x)．又∵EC＝b-x，∴2AF=2EC，即AF=EC；(Ⅱ)（1）當(dāng)直線EE′經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)D時(shí)，如圖（一），∵EC∥E′B′，∴=.由EC＝b-x，E′B′=EB=x，DB′=DC+CB′=2a，得，∴x︰b=；當(dāng)直線E′E經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)A時(shí)，如圖（二），在梯形AE′B′D中，∵EC∥E′B′,點(diǎn)C是DB′的中點(diǎn)，∴CE=(AD+E′B′)，即b-x＝（b＋x），∴x︰b=．(2)如圖（一），當(dāng)直線EE′經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)D時(shí)，BE′∥EF．證明：連接BF．∵FD∥BE,FD=BE，∴四邊形FBED是平行四邊形，∴FB∥DE，F(xiàn)B=DE,又∵EC∥E′B′，點(diǎn)C是DB′的中點(diǎn)，∴DE=EE′，∴FB∥EE′,FB=EE′，∴四邊形BE′EF是平行四邊形∴BE′∥EF．如圖（二），當(dāng)直線EE′經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)A時(shí)，顯然BE′與EF不平行，設(shè)直線EF與BE′交于點(diǎn)G.過(guò)點(diǎn)E′作E′M⊥BC于M，則E′M=a.．∵x︰b=，∴EM=BC=b．若BE′與EF垂直，則有∠GBE+∠BEG=90°，又∵∠BEG＝∠FEC＝∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E=90°，∴∠GBE=∠ME′E.在Rt△BME′中，tan∠E′BM=tan∠GBE==．在Rt△EME′中，tan∠ME′E==，∴＝．又∵a＞0，b＞0，，∴當(dāng)時(shí)，BE′與EF垂直.7.(14荊門市)28.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，有一張矩形紙片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，點(diǎn)P是OA邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)O、A不重合)．現(xiàn)將△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E，將△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直線PD、PF重合．(1)設(shè)P(x，0)，E(0，y)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；(2)如圖2，若翻折后點(diǎn)D落在BC邊上，求過(guò)點(diǎn)P、B、E的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(3)在(2)的情況下，在該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△PEQ是以PE為直角邊的直角三角形？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．圖1圖1圖2解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，則∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．∴Rt△POE∽R(shí)t△BPA．∴．即．∴y=(0＜x＜4)．且當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值．(2)由已知，△PAB、△POE均為等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．設(shè)過(guò)此三點(diǎn)的拋物線為y=ax2＋bx＋c，則∴y=．(3)由(2)知∠EPB=90°，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)滿足條件．直線PB為y=x－1，與y軸交于點(diǎn)(0，－1)．將PB向上平移2個(gè)單位則過(guò)點(diǎn)E(0，1)，∴該直線為y=x＋1．由得∴Q(5，6)．故該拋物線上存在兩點(diǎn)Q(4，3)、(5，6)滿足條件．8.(14湖北省孝感市)25.在我們學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)教科書中，有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，其具體操作過(guò)程是：第一步：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開(kāi)（如圖1）；第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN（如圖2）.（圖1）（圖2）請(qǐng)解答以下問(wèn)題：（1）如圖2，若延長(zhǎng)MN交BC于P，△BMP是什么三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．（2）在圖2中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關(guān)系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結(jié)論的三角形紙片BMP？（3）設(shè)矩形ABCD的邊AB=2，BC=4，并建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)直線為，當(dāng)=60°時(shí)，求k的值.此時(shí)，將△ABM′沿BM′折疊，點(diǎn)A是否落在EF上（E、F分別為AB、CD中點(diǎn)）？為什么？（圖3）解：（1）△BMP是等邊三角形.證明：連結(jié)AN∵EF垂直平分AB∴AN=BN由折疊知AB=BN∴AN=AB=BN∴△ABN為等邊三角形∴∠ABN=60°∴∠PBN=30°又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°∴∠BPN=60°∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°∴∠BMP=60°∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°∴△BMP為等邊三角形.（2）要在矩形紙片ABCD上剪出等邊△BMP，則BC≥BP在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°∴BP=∴b≥∴a≤b.∴當(dāng)a≤b時(shí)，在矩形上能剪出這樣的等邊△BMP.（3）∵∠M′BC=60°∴∠ABM′=90°－60°=30°在Rt△ABM′中，tan∠ABM′=∴tan30°=∴AM′=∴M′(，2).代入y=kx中，得k==設(shè)△ABM′沿BM′折疊后，點(diǎn)A落在矩形ABCD內(nèi)的點(diǎn)為過(guò)作HBC交BC于H.∵△BM′≌△ABM′∴==30°,B=AB=2∴－=30°.在Rt△BH中，H=B=1，BH=∴∴落在EF上.(圖2)(圖3)9.(14廣東省茂名市)25.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，有一矩形紙片OABC，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，軸，B（3，），現(xiàn)將紙片按如圖折疊，AD，DE為折痕，．折疊后，點(diǎn)O落在點(diǎn)，點(diǎn)C落在點(diǎn)，并且與在同一直線上．（1）求折痕AD所在直線的解析式；(第25題圖)CDOABEO1(第25題圖)CDOABEO1C1xy（3）若⊙的半徑為，圓心在（2）的拋物線上運(yùn)動(dòng)，⊙與兩坐標(biāo)軸都相切時(shí)，求⊙半徑的值．解：(第25題圖(第25題圖)CDOABEO1C1xyF．∴，∴．設(shè)直線AD的解析式為．把A，D坐標(biāo)代入上式得：，解得：，折痕AD所在的直線的解析式是．（2）過(guò)作于點(diǎn)F，由已知得，∴．又DC＝3－1＝2，∴．∴在中，．，∴，而已知．法一：設(shè)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)O，C1，C的拋物線的解析式是點(diǎn)在拋物線上，∴，∴∴為所求法二：設(shè)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)O，C1，C的拋物線的解析式是．把O，C1，C的坐標(biāo)代入上式得:，解得，∴為所求．（3）設(shè)圓心，則當(dāng)⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切時(shí)，有．由，得，解得（舍去），．由，得解得（舍去），．∴所求⊙P的半徑或．10.(14重慶市)28．已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)。將Rt△OAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處。（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若拋物線（≠0）經(jīng)過(guò)C、A兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式；（3）若拋物線的對(duì)稱軸與OB交于點(diǎn)D，點(diǎn)P為線段DB上一點(diǎn)，過(guò)P作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M。問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。注：拋物線（≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸公式為解:（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥軸，垂足為H∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2∴OB＝4，OA＝由折疊知，∠COB＝300，OC＝OA＝∴∠COH＝600，OH＝，CH＝3∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）（2）∵拋物線（≠0）經(jīng)過(guò)C（，3）、A（，0）兩點(diǎn)∴解得：∴此拋物線的解析式為：（3）存在。因?yàn)榈捻旤c(diǎn)坐標(biāo)為（，3）即為點(diǎn)CMP⊥軸，設(shè)垂足為N，PN＝，因?yàn)椤螧OA＝300，所以O(shè)N＝∴P（，）作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E把代入得：∴M（，），E（，）同理：Q（，），D（，1）要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD即，解得：，（舍）∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）∴存在滿足條件的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時(shí)P點(diǎn)的坐為（，）11.（15山東青島）24．（本小題滿分12分）已知：如圖①，在中，，，，點(diǎn)由出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)由出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)為何值時(shí)，？（2）設(shè)的面積為（），求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時(shí)刻，使線段恰好把的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，說(shuō)明理由；AQCPB圖=1\*GB3①AQCPB圖=2\*GB3②AQCPB圖=1\*GB3①AQCPB圖=2\*GB3②12.（15浙江湖州）24．（本小題12分）已知：在矩形中，，．分別以所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），過(guò)點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)．（1）求證：與的面積相等；（2）記，求當(dāng)為何值時(shí)，有最大值，最大值為多少？（3）請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)，使得將沿對(duì)折后，點(diǎn)恰好落在上？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（15浙江湖州24題解析）24．（本小題12分）（1）證明：設(shè)，，與的面積分別為，，由題意得，．，．，即與的面積相等．（2）由題意知：兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，．當(dāng)時(shí)，有最大值．．（3）解：設(shè)存在這樣的點(diǎn)，將沿對(duì)折后，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．由題意得：，，，，．又，．，，．，，解得．．存在符合條件的點(diǎn)，它的坐標(biāo)為．13（15浙江衢州）24、(本題14分)已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，點(diǎn)T在線段OA上(不與線段端點(diǎn)重合)，將紙片折疊，使點(diǎn)A落在射線AB上(記為點(diǎn)A′)，折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)T，折痕TP與射線AB交于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為t，折疊后紙片重疊部分(圖中的陰影部分)的面積為S；(1)求∠OAB的度數(shù)，并求當(dāng)點(diǎn)A′在線段AB上時(shí)，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，求t的取值范圍；(3)S存在最大值嗎？若存在，求出這個(gè)最大值，并求此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。yyBBCCyTACBOxyTACBOxOOTAxTAx（15浙江衢州24題解析）24、(本題14分)解：(1)∵A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(10，0)和B(8，)，∴，∴當(dāng)點(diǎn)A′在線段AB上時(shí)，∵，TA=TA′，∴△A′TA是等邊三角形，且，∴，，A′yE∴，A′yExOCTPBA當(dāng)A′與B重合時(shí)，AT=AB=，xOCTPBA所以此時(shí)。(2)當(dāng)點(diǎn)A′在線段AB的延長(zhǎng)線，且點(diǎn)P在線段AB(不與B重合)上時(shí)，紙片重疊部分的圖形是四邊形(如圖(1)，其中E是TA′與CB的交點(diǎn))，A′yx當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，AT=2AB=8，點(diǎn)T的坐標(biāo)是(2，0)A′yx又由(1)中求得當(dāng)A′與B重合時(shí)，T的坐標(biāo)是(6，0)PBE所以當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，。PBEFC(3)S存在最大值FCATOeq\o\ac(○,1)當(dāng)時(shí)，，ATO在對(duì)稱軸t=10的左邊，S的值隨著t的增大而減小，∴當(dāng)t=6時(shí)，S的值最大是。eq\o\ac(○,2)當(dāng)時(shí)，由圖eq\o\ac(○,1)，重疊部分的面積∵△A′EB的高是，∴當(dāng)t=2時(shí)，S的值最大是；eq\o\ac(○,3)當(dāng)，即當(dāng)點(diǎn)A′和點(diǎn)P都在線段AB的延長(zhǎng)線是(如圖eq\o\ac(○,2)，其中E是TA′與CB的交點(diǎn)，F(xiàn)是TP與CB的交點(diǎn))，∵，四邊形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，∴綜上所述，S的最大值是，此時(shí)t的值是。1415浙江紹興）24．將一矩形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以相等的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）．（1）用含的代數(shù)式表示；（2）當(dāng)時(shí)，如圖1，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連結(jié)，將沿翻折，得到，如圖2．問(wèn)：與能否平行？與能否垂直？若能，求出相應(yīng)的值；若不能，說(shuō)明理由．圖1圖1OPAxBDCQy（第24題圖）圖2OPAxBCQyE（15浙江紹興24題解析）24．（本題滿分14分）解：（1），．圖1圖1OPAxBDCQy圖2OPAxBCQy圖3OFAxBCyEQP（2）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，交于，如圖1，則，，，．（3）①能與平行．若，如圖2，則，即，，而，．②不能與垂直．若，延長(zhǎng)交于，如圖3，則．．．又，，，，而，不存在．15.（15浙江宿遷24題解析）24．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作直線，交邊于點(diǎn)，再把沿著動(dòng)直線對(duì)折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，設(shè)的長(zhǎng)度為，與矩形重疊部分的面積為．（1）求的度數(shù)；（2）當(dāng)取何值時(shí)，點(diǎn)落在矩形的邊上？（3）①求與之間的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)取何值時(shí)，重疊部分的面積等于矩形面積的？DDQCBPRA（第24題）BADC（備用圖1）BADC（備用圖2）二．旋轉(zhuǎn)類1.（15湖南常德26題）如圖9，在直線上擺放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD＝6㎝；在△ABC中：∠C＝90O，∠A＝300，AB＝4㎝；在直角梯形DEFG中：EF//DG，∠DGF＝90O,DG＝6㎝，DE＝4㎝，∠EDG＝600。解答下列問(wèn)題：（1）旋轉(zhuǎn)：將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)900，請(qǐng)你在圖中作出旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)圖形△A1B1C，并求出AB1的長(zhǎng)度；（2）翻折：將△A1B1C沿過(guò)點(diǎn)B1且與直線垂直的直線翻折，得到翻折后的對(duì)應(yīng)圖形△A2B1C1，試判定四邊形A2B1DE的形狀？并說(shuō)明理由；（3）平移：將△A2B1C1沿直線向右平移至△A3B2C2，若設(shè)平移的距離為ｘ，△A3B2C2與直角梯形重疊部分的面積為ｙ，當(dāng)ｙ等于△ABC面積的一半時(shí),ｘ的值是多少？AABCDEFG圖9 （15湖南常德26題解析）解：（1）在△ABC中由已知得：BC=2，AC＝AB×cos30°=，∴AB1=AC+CB1=AC+CB=.……2分(2)四邊形A2B1DE為平行四邊形.理由如下：∵∠EDG＝60°，∠A2B1C1＝∠A1B1C＝∠ABC＝60°，∴A2B1∥DE又A2B1＝A1B1＝AB＝4，DE＝4，∴A2B1＝DE,故結(jié)論成立.………………4分（3）由題意可知：S△ABC=，當(dāng)或時(shí)，ｙ＝0此時(shí)重疊部分的面積不會(huì)等于△ABC的面積的一半……………5分②當(dāng)時(shí)，直角邊B2C2與等腰梯形的下底邊DG重疊的長(zhǎng)度為DC2=C1C2-DC1=（ｘ－2）㎝，則ｙ＝,當(dāng)ｙ=S△ABC=時(shí)，即，解得（舍）或.∴當(dāng)時(shí)，重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半.③當(dāng)時(shí)，△A3B2C2完全與等腰梯形重疊，即……………7分④當(dāng)時(shí),B2G=B2C2-GC2=2－(－8)=10-則ｙ＝,當(dāng)ｙ=S△ABC=時(shí)，即，解得,或(舍去).∴當(dāng)時(shí)，重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半.………9分由以上討論知,當(dāng)或時(shí),重疊部分的面積等于△ABC的面積的一半.………10分2.（廣西玉林卷）在矩形中，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系．然后將矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在軸的點(diǎn)上，則和點(diǎn)依次落在第二象限的點(diǎn)上和軸的點(diǎn)上（如圖）．（1）求經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式；（2）設(shè)直線與（1）的二次函數(shù)圖象相交于另一點(diǎn)，試求四邊形的周長(zhǎng)．（3）設(shè)為（1）的二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．ＣＢＤＥＦＧＣＢＤＥＦＧＡ，，．設(shè)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式是．把代入之，求得．3分所求的二次函數(shù)解析式是：．（2）解：由題意可知，四邊形為矩形．，且．直線與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，．與與關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，．四邊形的周長(zhǎng)．ＣＢＤＥＦＧＡＭＣＢＤＥＦＧＡＭＨ，，即．，于是．設(shè)直線的解析式為．把，代入之，得解得．聯(lián)合一次，二次函數(shù)解析式組成方程組解得或（此組數(shù)為點(diǎn)坐標(biāo)）所求的點(diǎn)坐標(biāo)為．解法2：過(guò)作軸于．由，得．設(shè)所求點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則縱坐標(biāo)為．，，．，，．解之，得或．經(jīng)檢驗(yàn)可知，是原方程的根；是原方程的增根，故應(yīng)舍去．當(dāng)時(shí)，．所求的點(diǎn)坐標(biāo)為．[點(diǎn)評(píng)]此題的綜合性較強(qiáng)，考查的知識(shí)點(diǎn)較多，但是解法較多，使試題的切入點(diǎn)也較多，很容易入題。3.(14南京市)27．在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以點(diǎn)為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)線段的比為，并且原多邊形上的任一點(diǎn)，它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段或其延長(zhǎng)線上；接著將所得多邊形以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，這種經(jīng)過(guò)和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為，其中點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，叫做相似比，叫做旋轉(zhuǎn)角．（1）填空： ①如圖1，將以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來(lái)的2倍，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，這個(gè)旋轉(zhuǎn)相似變換記為（ ， ）；②如圖2，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變換，得到，則線段的長(zhǎng)為 ；ＣＡBDE圖1ＡBＣDE圖2ＥＤＢＦＧＣＨＡＩ圖3（2）如圖3，分別以銳角三角形的三邊，，為邊向外作正方形，，，點(diǎn)，，分別是這三個(gè)正方形的對(duì)角線交點(diǎn)，試分別利用與ＣＡBDE圖1ＡBＣDE圖2ＥＤＢＦＧＣＨＡＩ圖3解：（1）①，；②；（2）經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)相似變換，得到，此時(shí)，線段變?yōu)榫€段；經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)相似變換，得到，此時(shí)，線段變?yōu)榫€段．，，，．4.（15湖北恩施）六、(本大題滿分12分)24.如圖11，在同一平面內(nèi),將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長(zhǎng)為2，若?ABC固定不動(dòng)，?AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E(點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合,點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合),設(shè)BE=m，CD=n.（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出兩對(duì)相似而不全等的三角形，并選取其中一對(duì)進(jìn)行證明.（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍.（3）以?ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖12).在邊BC上找一點(diǎn)D，使BD=CE，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證BD＋CE=DE.Gyx圖12OFEDCBAGGyx圖12OFEDCBAG圖11FEDCBA（15湖北恩施24題解析）六、(本大題滿分12分)24.解:(1)?ABE∽?DAE,?ABE∽?DCA1分∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°∴∠BAE=∠CDA又∠B=∠C=45°∴?ABE∽?DCA3分(2)∵?ABE∽?DCA∴由依題意可知CA=BA=∴∴m=5分自變量n的取值范圍為1<n<2.6分(3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n∵m=∴m=n=∵OB=OC=BC=1∴OE=OD=－1∴D(1－,0)7分∴BD=OB－OD=1-(－1)=2－=CE,DE=BC－2BD=2-2(2－)=2－2∵BD＋CE=2BD=2(2－)=12－8,DE=(2－2)=12－8∴BD＋CE=DE8分(4)成立9分證明:如圖,將?ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至?ABH的位置,則CE=HB,AE=AH,FDHAGECB∠ABHFDHAGECB連接HD,在?EAD和?HAD中∵AE=AH,∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD,AD=AD.∴?EAD≌?HAD∴DH=DE又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°∴BD+HB=DH即BD＋CE=DE12分5.（15湖北武漢）（本題答案暫缺）25.（本題12分）如圖1，拋物線y=ax2-3ax+b經(jīng)過(guò)A（-1,0），C（3,2）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于另一點(diǎn)B.（1）求此拋物線的解析式；（2）若直線y=kx-1（k≠0）將四邊形ABCD面積二等分，求k的值；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)E（1，-1）作EF⊥x軸于點(diǎn)F，將△AEF繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得△MNQ（點(diǎn)M，N，Q分別與點(diǎn)A，E，F(xiàn)對(duì)應(yīng)），使點(diǎn)M，N在拋物線上，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo).（15湖北武漢25題解析）25.⑴；⑵；⑶M（3，2），N（1，3）6.（15江蘇淮安）（本題答案暫缺）28．(本小題14分)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中．二次函數(shù)y=a(x-2)2-1圖象的頂點(diǎn)為P，與x軸交點(diǎn)為A、B，與y軸交點(diǎn)為C．連結(jié)BP并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)D.(1)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)連結(jié)AP，如果△APB為等腰直角三角形，求a的值及點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，連結(jié)BC、AC、AD，點(diǎn)E(0，b)在線段CD(端點(diǎn)C、D除外)上,將△BCD繞點(diǎn)E逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到一個(gè)新三角形．設(shè)該三角形與△ACD重疊部分的面積為S，根據(jù)不同情況，分別用含b的代數(shù)式表示S．選擇其中一種情況給出解答過(guò)程，其它情況直接寫出結(jié)果；判斷當(dāng)b為何值時(shí),重疊部分的面積最大?寫出最大值．7.（15江蘇徐州）（本題答案暫缺）28.如圖1，一副直角三角板滿足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°【操作】將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC于點(diǎn)Q【探究一】在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如圖2，當(dāng)時(shí)，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明.如圖3，當(dāng)時(shí)EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說(shuō)明理由.根據(jù)你對(duì)（1）、（2）的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)時(shí)，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為_(kāi)________,其中的取值范圍是_______(直接寫出結(jié)論，不必證明)【探究二】若，AC＝30cm，連續(xù)PQ，設(shè)△EPQ的面積為S(cm2)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，說(shuō)明理由.隨著S取不同的值，對(duì)應(yīng)△EPQ的個(gè)數(shù)有哪些變化？不出相應(yīng)S值的取值范圍.（15山東青島24題解析）24．（本小題滿分12分）圖=1\*GB3①B圖=1\*GB3①BAQPCH由題意知：AP=5－t，AQ=2t，若PQ∥BC，則△APQ∽△ABC，∴，∴，∴． 3′（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H．∵△APH∽△ABC，∴，∴，∴，∴． 6′（