高數(shù)22函數(shù)的極限

1一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限第二節(jié)自變量變化過(guò)程的六種形式:二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束函數(shù)的極限一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限34共性:5當(dāng)時(shí),有6因此，前面的函數(shù)極限可記為7當(dāng)時(shí),有89定義

.設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若則稱常數(shù)時(shí)的極限,記作A為函數(shù)幾何解釋:直線y=A為曲線的水平漸近線10例如注：要特別注意自變量的變化趨勢(shì)，不然，其結(jié)果將會(huì)因差之毫厘而失之千里。例1.

證明證:取因此注:就有故欲使即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束12例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束13當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限1.時(shí)函數(shù)極限的定義機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束考察函數(shù)當(dāng)x2時(shí)，f(x)的變化趨勢(shì)x024?yx024°1?yx024°y當(dāng)x2時(shí)，f(x)4,與f(x)在點(diǎn)x=2處有無(wú)定義無(wú)關(guān)，只與f(x)在點(diǎn)x=2鄰域內(nèi)的定義有關(guān)。

15定義1(描述性定義)注意定義2.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時(shí),有則稱常數(shù)A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,或即當(dāng)時(shí),有若記作幾何解釋:極限存在函數(shù)局部有界這表明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.證明證:欲使取則當(dāng)時(shí),必有因此只要機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

證明:當(dāng)證:欲使且而可用因此只要時(shí)故取則當(dāng)時(shí),保證.必有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.證明證:欲使取則當(dāng)時(shí),必有因此只要機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束不妨設(shè)則203.左極限與右極限左極限:當(dāng)時(shí),有右極限:當(dāng)時(shí),有定理3.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束21例5.

設(shè)函數(shù)討論時(shí)的極限是否存在.解:

利用定理3.因?yàn)轱@然所以不存在.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束22例623解24例7解注：一般地，求分段函數(shù)在分界點(diǎn)的極限時(shí)，必須首先考慮單側(cè)情形，從而確定雙側(cè)極限。此例中，通過(guò)試探計(jì)算得知，無(wú)須特別考慮單側(cè)情形即可得到極限值，因?yàn)榉纸琰c(diǎn)兩邊函數(shù)表達(dá)式相同。故用一個(gè)式子直接求極限。25(1)唯一性定理

若函數(shù)極限存在，則極限值唯一.(2)局部有界性定理函數(shù)收斂則函數(shù)局部必定有界.注

1有界性是收斂的必要條件。2數(shù)列極限存在則數(shù)列有界。三、極限的性質(zhì)26(3)局部不等式27定理(保號(hào)性)推論(4)局部保號(hào)性28四、極限的四則運(yùn)算法則定理29推論30注１31注2例32復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則33極限運(yùn)算1、代入法34352、對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形，去掉零因子或無(wú)窮大(1)因式分解36(2)分子（分母）有理化37385.解(3)通分化簡(jiǎn)39(4)分子、分母同除以最高階無(wú)窮大量404142一般地，有理函數(shù)極限公式為43如(1)(2)=0444546解由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得10.4711.484912.50五、函數(shù)極限存在定理(證略)51兩個(gè)重要極限(1)525354注：第一個(gè)重要極限的特點(diǎn)555657585960

例7

求解:原式=161定理2單調(diào)有界數(shù)列必有極限。(2)62注意特征：

1.這是1∞型未定式；

2.底為兩項(xiàng)之和，第一項(xiàng)為1，第二項(xiàng)是無(wú)窮小量，指數(shù)與第二項(xiàng)互為