線性系統(tǒng)的根軌跡法

線性系統(tǒng)的根軌跡法第1頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六4-1根軌跡法的基本概念第2頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六一、根軌跡的概念根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)的某一參數(shù)從零變化到無窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在S平面上變化的軌跡。第3頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六舉例：-令K*（由0到∞）變動(dòng)，s1、s2在s平面的移動(dòng)軌跡即為根軌跡。第4頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六第5頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六因此利用根軌跡，可以分析系統(tǒng)穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)性能和動(dòng)態(tài)性能。（1）穩(wěn)定性：根軌跡都在S左半平面，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）穩(wěn)態(tài)性能：（3）動(dòng)態(tài)性能：0<K*<1，兩個(gè)不等負(fù)實(shí)根，過阻尼系統(tǒng)；K*＝1，兩個(gè)相等負(fù)實(shí)根，臨界阻尼系統(tǒng)；K*>1，一對(duì)共軛復(fù)根，欠阻尼系統(tǒng)；特征方程的根運(yùn)動(dòng)模態(tài)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)（穩(wěn)定性、系統(tǒng)性能）第6頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六二、根軌跡方程相角條件是確定根軌跡的充分必要條件。相角條件滿足稱為180o根軌跡。相角條件：模值條件：第7頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六4-2繪制根軌跡的基本法則

第8頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六一、基本法則1、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)；如果開環(huán)零點(diǎn)個(gè)數(shù)少于開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)，則有（n-m)條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處。

起點(diǎn)：終點(diǎn)：第9頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六2、根軌跡的分支數(shù)及對(duì)稱性和連續(xù)性（1）根軌跡分支數(shù)＝特征根個(gè)數(shù)。（2）由于閉環(huán)特征根是實(shí)根或共軛復(fù)根，故根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。（3）由于K*連續(xù)變化，故根軌跡具有連續(xù)性。第10頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六3、根軌跡的漸近線：n-m條根軌跡沿著漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處，漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)和夾角為：

第11頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六4、實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上某一區(qū)域其右方開環(huán)實(shí)數(shù)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)的總和為奇數(shù)，該區(qū)域?yàn)楦壽E。第12頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六5、根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)：若干根軌跡在復(fù)平面上相遇后又分開的點(diǎn)稱為分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。分離點(diǎn)坐標(biāo)d的求解：證明：第13頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六第14頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六若無開環(huán)零點(diǎn)，則：第15頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六注意：

一般說來，若實(shí)軸上兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間有根軌跡，則這兩相鄰極點(diǎn)之間必有分離點(diǎn)；如果實(shí)軸上相鄰開環(huán)零點(diǎn)（其中一個(gè)可為無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)）之間有根軌跡，則這相鄰零點(diǎn)之間必有會(huì)合點(diǎn)。如果實(shí)軸上根軌跡在開環(huán)零點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)之間，則它們之間可能既無分離點(diǎn)也無會(huì)合點(diǎn)，也可能既有分離點(diǎn)也有會(huì)合點(diǎn)。第16頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六例題：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡

2、實(shí)軸上根軌跡為[-3,-2]，[-1，0]

3、求漸近線：漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)為：

漸近線與實(shí)軸夾角為：解：1、開環(huán)零點(diǎn)z1=-1，開環(huán)極點(diǎn)p1=0，p2=-2，p3=-3，根軌跡分支數(shù)為3條，有兩個(gè)無窮遠(yuǎn)的零點(diǎn)。第17頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六4、求分離點(diǎn)：第18頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六6、根軌跡的起始角和終止角：根軌跡的起始角是根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處切線與正實(shí)軸的夾角：在離開p1附近的根軌跡上取一點(diǎn)s1,則s1點(diǎn)應(yīng)滿足相角條件：當(dāng)時(shí)，即為離開根軌跡上的起始角，，則：第19頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六根軌跡的終止角是根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處切線與正實(shí)軸的夾角：第20頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六例題：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)的根軌跡，并求系統(tǒng)有超調(diào)響應(yīng)時(shí)K*的取值范圍。2、漸近線與實(shí)軸重合的，實(shí)軸上根軌跡（-，-2]。解：1、一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)；兩條根軌跡分支；有一個(gè)無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)。3、初始角：

第21頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六4、求分離點(diǎn)：說明：由相角條件可以證明復(fù)平面上的根軌跡是圓的一部分，圓心為（-2，j0)，半徑為2。第22頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六分離點(diǎn)處，

系統(tǒng)有超調(diào)響應(yīng)時(shí)的K*取值范圍。

第23頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六7、根軌跡和虛軸的交點(diǎn)：（1）利用勞思判據(jù)（2）將s=jω代入D(S)=0第24頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六例題：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。

解：（1）實(shí)軸上根軌跡為(-∞,-3]，[-2，0]（2）漸近線與實(shí)軸夾角為：漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)為：（3）根軌跡與虛軸交點(diǎn)用勞思判據(jù)，閉環(huán)特征方程為：第25頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六S3160S25

S1

S0

第26頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六（4）求分離點(diǎn)：

第27頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六8、根之和當(dāng)時(shí)，第28頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六4-3廣義根軌跡法第29頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六一、參數(shù)根軌跡以非開環(huán)增益K*為可變參數(shù)的根軌跡，稱為參數(shù)根軌跡。閉環(huán)特征方程：等效開環(huán)傳遞函數(shù)：等效開環(huán)傳遞函數(shù)求取后，繪制方法與前面相同。引入等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念注意：在此的等效意義是在特征方程相同，或者是閉環(huán)極點(diǎn)相同的前提下成立；而此時(shí)閉環(huán)零點(diǎn)是不同的。第30頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六例題：求Tm從0→∞時(shí)的根軌跡R(s)(-)C(s)j0P1P2-K原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

Tms2+s+K=0整理可得等效開環(huán)傳函或由

s2+s/Tm+K/Tm=0得新的特征方程為

s2+(s+K)/Tm=0則新的等效開環(huán)傳函為第31頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六在一些復(fù)雜系統(tǒng)中，包含了正反饋內(nèi)回路，有時(shí)為了分析內(nèi)回路的特性，則有必要繪制相應(yīng)的根軌跡，相角條件滿足2kπ，稱為零度根軌跡。二、零度根軌跡第32頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六幅值條件相角條件與常規(guī)根軌跡的相角條件和模值條件相比：模值條件沒有變化。所以零度根軌跡的繪制的規(guī)則只要考慮相角條件所引起的某些規(guī)則的修改。第33頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六法則3：漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)不變，夾角為：法則4：實(shí)軸上根軌跡。實(shí)軸上某一區(qū)域其右方開環(huán)實(shí)數(shù)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)的總和為偶數(shù)，該區(qū)域?yàn)楦壽E。法則5：根軌跡的起始角：終止角：零度根軌跡與180根軌跡的區(qū)別體現(xiàn)在：1.實(shí)軸上的根軌跡；2.漸近線與實(shí)軸的夾角；3.起始角與終止角。第34頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六解：（1）系統(tǒng)的開環(huán)零極點(diǎn)分布為z1=-2，p1=-1+j，p2=-1-j，p3=-3，有三條根軌跡分支，實(shí)軸上的根軌跡（-，-3]，[-2，）。例題：

設(shè)具有正反饋回路系統(tǒng)的內(nèi)回路傳遞函數(shù)分別為試?yán)L制該回路的根軌跡圖。（2）根軌跡的漸近線（n-m)=2條，漸近線夾角第35頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六（3）確定出射角（4）確定分離點(diǎn)第36頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六（5）確定臨界開環(huán)增益，顯然根軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的開環(huán)增益為第37頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六1、附加適當(dāng)?shù)拈_環(huán)零點(diǎn)可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為

z1是附加的開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)，其值可在s左半平面內(nèi)任意選擇，當(dāng)z1→∞時(shí)，表明不存在有限零點(diǎn)。三、附加開環(huán)零點(diǎn)的作用第38頁