線性系統(tǒng)的根軌跡法_第1頁
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線性系統(tǒng)的根軌跡法第1頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六4-1根軌跡法的基本概念第2頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六一、根軌跡的概念根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)的某一參數(shù)從零變化到無窮時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在S平面上變化的軌跡。第3頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六舉例:-令K*(由0到∞)變動(dòng),s1、s2在s平面的移動(dòng)軌跡即為根軌跡。第4頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六第5頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六因此利用根軌跡,可以分析系統(tǒng)穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)性能和動(dòng)態(tài)性能。(1)穩(wěn)定性:根軌跡都在S左半平面,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。(2)穩(wěn)態(tài)性能:(3)動(dòng)態(tài)性能:0<K*<1,兩個(gè)不等負(fù)實(shí)根,過阻尼系統(tǒng);K*=1,兩個(gè)相等負(fù)實(shí)根,臨界阻尼系統(tǒng);K*>1,一對(duì)共軛復(fù)根,欠阻尼系統(tǒng);特征方程的根運(yùn)動(dòng)模態(tài)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)(穩(wěn)定性、系統(tǒng)性能)第6頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六二、根軌跡方程相角條件是確定根軌跡的充分必要條件。相角條件滿足稱為180o根軌跡。相角條件:模值條件:第7頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六4-2繪制根軌跡的基本法則

第8頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六一、基本法則1、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn):根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn),終止于開環(huán)零點(diǎn);如果開環(huán)零點(diǎn)個(gè)數(shù)少于開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù),則有(n-m)條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處。

起點(diǎn):終點(diǎn):第9頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六2、根軌跡的分支數(shù)及對(duì)稱性和連續(xù)性(1)根軌跡分支數(shù)=特征根個(gè)數(shù)。(2)由于閉環(huán)特征根是實(shí)根或共軛復(fù)根,故根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。(3)由于K*連續(xù)變化,故根軌跡具有連續(xù)性。第10頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六3、根軌跡的漸近線:n-m條根軌跡沿著漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處,漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)和夾角為:

第11頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六4、實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上某一區(qū)域其右方開環(huán)實(shí)數(shù)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)的總和為奇數(shù),該區(qū)域?yàn)楦壽E。第12頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六5、根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn):若干根軌跡在復(fù)平面上相遇后又分開的點(diǎn)稱為分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。分離點(diǎn)坐標(biāo)d的求解:證明:第13頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六第14頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六若無開環(huán)零點(diǎn),則:第15頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六注意:

一般說來,若實(shí)軸上兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間有根軌跡,則這兩相鄰極點(diǎn)之間必有分離點(diǎn);如果實(shí)軸上相鄰開環(huán)零點(diǎn)(其中一個(gè)可為無窮遠(yuǎn)零點(diǎn))之間有根軌跡,則這相鄰零點(diǎn)之間必有會(huì)合點(diǎn)。如果實(shí)軸上根軌跡在開環(huán)零點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)之間,則它們之間可能既無分離點(diǎn)也無會(huì)合點(diǎn),也可能既有分離點(diǎn)也有會(huì)合點(diǎn)。第16頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六例題:?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡

2、實(shí)軸上根軌跡為[-3,-2],[-1,0]

3、求漸近線:漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)為:

漸近線與實(shí)軸夾角為:解:1、開環(huán)零點(diǎn)z1=-1,開環(huán)極點(diǎn)p1=0,p2=-2,p3=-3,根軌跡分支數(shù)為3條,有兩個(gè)無窮遠(yuǎn)的零點(diǎn)。第17頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六4、求分離點(diǎn):第18頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六6、根軌跡的起始角和終止角:根軌跡的起始角是根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處切線與正實(shí)軸的夾角:在離開p1附近的根軌跡上取一點(diǎn)s1,則s1點(diǎn)應(yīng)滿足相角條件:當(dāng)時(shí),即為離開根軌跡上的起始角,,則:第19頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六根軌跡的終止角是根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處切線與正實(shí)軸的夾角:第20頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六例題:已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)的根軌跡,并求系統(tǒng)有超調(diào)響應(yīng)時(shí)K*的取值范圍。2、漸近線與實(shí)軸重合的,實(shí)軸上根軌跡(-,-2]。解:1、一個(gè)開環(huán)零點(diǎn),兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn);兩條根軌跡分支;有一個(gè)無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)。3、初始角:

第21頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六4、求分離點(diǎn):說明:由相角條件可以證明復(fù)平面上的根軌跡是圓的一部分,圓心為(-2,j0),半徑為2。第22頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六分離點(diǎn)處,

系統(tǒng)有超調(diào)響應(yīng)時(shí)的K*取值范圍。

第23頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六7、根軌跡和虛軸的交點(diǎn):(1)利用勞思判據(jù)(2)將s=jω代入D(S)=0第24頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六例題:已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。

解:(1)實(shí)軸上根軌跡為(-∞,-3],[-2,0](2)漸近線與實(shí)軸夾角為:漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)為:(3)根軌跡與虛軸交點(diǎn)用勞思判據(jù),閉環(huán)特征方程為:第25頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六S3160S25

S1

S0

第26頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六(4)求分離點(diǎn):

第27頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六8、根之和當(dāng)時(shí),第28頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六4-3廣義根軌跡法第29頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六一、參數(shù)根軌跡以非開環(huán)增益K*為可變參數(shù)的根軌跡,稱為參數(shù)根軌跡。閉環(huán)特征方程:等效開環(huán)傳遞函數(shù):等效開環(huán)傳遞函數(shù)求取后,繪制方法與前面相同。引入等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念注意:在此的等效意義是在特征方程相同,或者是閉環(huán)極點(diǎn)相同的前提下成立;而此時(shí)閉環(huán)零點(diǎn)是不同的。第30頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六例題:求Tm從0→∞時(shí)的根軌跡R(s)(-)C(s)j0P1P2-K原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

Tms2+s+K=0整理可得等效開環(huán)傳函或由

s2+s/Tm+K/Tm=0得新的特征方程為

s2+(s+K)/Tm=0則新的等效開環(huán)傳函為第31頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六在一些復(fù)雜系統(tǒng)中,包含了正反饋內(nèi)回路,有時(shí)為了分析內(nèi)回路的特性,則有必要繪制相應(yīng)的根軌跡,相角條件滿足2kπ,稱為零度根軌跡。二、零度根軌跡第32頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六幅值條件相角條件與常規(guī)根軌跡的相角條件和模值條件相比:模值條件沒有變化。所以零度根軌跡的繪制的規(guī)則只要考慮相角條件所引起的某些規(guī)則的修改。第33頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六法則3:漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)不變,夾角為:法則4:實(shí)軸上根軌跡。實(shí)軸上某一區(qū)域其右方開環(huán)實(shí)數(shù)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)的總和為偶數(shù),該區(qū)域?yàn)楦壽E。法則5:根軌跡的起始角:終止角:零度根軌跡與180根軌跡的區(qū)別體現(xiàn)在:1.實(shí)軸上的根軌跡;2.漸近線與實(shí)軸的夾角;3.起始角與終止角。第34頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六解:(1)系統(tǒng)的開環(huán)零極點(diǎn)分布為z1=-2,p1=-1+j,p2=-1-j,p3=-3,有三條根軌跡分支,實(shí)軸上的根軌跡(-,-3],[-2,)。例題:

設(shè)具有正反饋回路系統(tǒng)的內(nèi)回路傳遞函數(shù)分別為試?yán)L制該回路的根軌跡圖。(2)根軌跡的漸近線(n-m)=2條,漸近線夾角第35頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六(3)確定出射角(4)確定分離點(diǎn)第36頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六(5)確定臨界開環(huán)增益,顯然根軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的開環(huán)增益為第37頁,共40頁,2023年,2月20日,星期六1、附加適當(dāng)?shù)拈_環(huán)零點(diǎn)可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為

z1是附加的開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn),其值可在s左半平面內(nèi)任意選擇,當(dāng)z1→∞時(shí),表明不存在有限零點(diǎn)。三、附加開環(huán)零點(diǎn)的作用第38頁

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