動(dòng)量守恒定律特性剖析

動(dòng)量守恒定律特性剖析安徽省舒城中學(xué)(231300)呂賢年摘要：動(dòng)量守恒定律是力學(xué)中的重要規(guī)律之一，是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容。本文對(duì)動(dòng)量定恒定律從條件性、近似性、獨(dú)立性、矢量性、整體性、階段性、同系性、同時(shí)性、相對(duì)性和普適性等十個(gè)方面作了全面的剖析，對(duì)理解、掌握和應(yīng)用動(dòng)量守恒定律有一定的幫助。關(guān)鍵詞：規(guī)律動(dòng)量守恒特性剖析動(dòng)量守恒定律是力學(xué)中的重要規(guī)律之一，是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，可單獨(dú)考查，也可以和各部分知識(shí)綜合考查。這部分內(nèi)容的考題對(duì)能力要求高，綜合性強(qiáng)，是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)的難點(diǎn)，應(yīng)用時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)，遇到難題往往無法入手。弄清動(dòng)量守恒定律的特性，是掌握好動(dòng)量守恒定律的前提，是正確應(yīng)用的保證，也能對(duì)求解綜合性難題提供有益的幫助。本文將對(duì)動(dòng)量定恒定律的特性作全面的剖析：一、動(dòng)量守恒定律的條件性系統(tǒng)動(dòng)量守恒是有條件的，即系統(tǒng)不受外力或合外力等于零。不注意條件性，就會(huì)導(dǎo)致亂用動(dòng)量守恒定律。例1、在輕的定滑輪上用線懸掛兩個(gè)質(zhì)量均為M的物體，A物體距地面有一高度，B物體著地，如圖所示。質(zhì)量為m的圓環(huán)套在線上，從A的上方自由落下與A粘合在一起，對(duì)m與A粘合瞬間下列說法中正確的是:()A、m與A組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒B、m與A、B組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒C、m與A組成的系統(tǒng)動(dòng)量不守恒D、m與A、B組成的系統(tǒng)動(dòng)量不守恒解析：本題有許多人認(rèn)為m與A粘合瞬間屬于撞擊，m與A的相互作用力遠(yuǎn)大于重力，所以誤認(rèn)為m與A組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒或m與A、B組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒。誤選A或B項(xiàng)。m與A撞擊，由于A、B兩物體用線相連，實(shí)際上是m與A、B的撞擊。設(shè)線中的平均作用力為F，物體的重力可忽略不計(jì)，但在滑輪的軸處有方向向上的力2F，所以m與A組成的系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，m與A、B組成的系統(tǒng)動(dòng)量也不守恒。答案C、D正確。二、動(dòng)量守恒定律的近似性如果系統(tǒng)所受的合外力不等于零，嚴(yán)格地講系統(tǒng)的動(dòng)量不守恒。但是，如果相互作用的時(shí)間極短，且外力遠(yuǎn)小于內(nèi)力，系統(tǒng)內(nèi)每一物體的動(dòng)量改變主要來自內(nèi)力的沖量，這時(shí)可認(rèn)為系統(tǒng)的動(dòng)量近似守恒。如在爆炸、打擊、碰撞等過程中，系統(tǒng)內(nèi)物體的重力、外界對(duì)系統(tǒng)中物體的摩擦力等均可忽略，都可認(rèn)為系統(tǒng)的動(dòng)量近似守恒。例2、（1997年全國(guó)高考題）質(zhì)量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地上。平衡時(shí)，彈簧的壓縮量為X0，如圖所示。一物塊從鋼板正上方距離為3X0的A處自由落下，打在鋼板上并立刻與鋼板一起向下運(yùn)動(dòng)，但不粘連。它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)。已知物塊質(zhì)量也為m時(shí)，它們恰能回到O點(diǎn)。若物塊質(zhì)量為2m，仍從A處自由落下，則物塊與鋼板回到O點(diǎn)時(shí)，還具有向上的速度。求物塊向上運(yùn)動(dòng)到達(dá)的最高點(diǎn)與O點(diǎn)的距離。解析：物塊從A點(diǎn)自由下落與鋼板碰前的速度為物塊與鋼板相碰并立即一起向下運(yùn)動(dòng)，說明碰撞時(shí)間極短，碰撞過程中可以不計(jì)重力，豎直方向動(dòng)量近似守恒。設(shè)碰后物塊與鋼板一起向下運(yùn)動(dòng)的速度為V，則mV=(m+m)V在物塊與鋼板一起下降和上升過程中，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。以鋼板靜止時(shí)的位置為重力勢(shì)能的零位置，用

EP表示彈簧被壓縮X。時(shí)的彈性勢(shì)能。則對(duì)物塊和鋼板在開始下降和回到°點(diǎn)的兩位置有Ep+(2m)V：/2=2mgX。當(dāng)物塊質(zhì)量為2m時(shí)，相碰時(shí)同理有2mV0=(2m+m)V2設(shè)它們回到O點(diǎn)時(shí)具有的向上速度為V,同理由機(jī)械能守恒得Ep+(3m)V22/2=3mgX。+(3m)V2/2物塊和鋼板越過O點(diǎn)后兩者開始分離，物塊向上作初速為V的豎直上拋運(yùn)動(dòng)，它到達(dá)的最高點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為h=V2/2g聯(lián)立解得：h=X/2。三、動(dòng)量守恒定律的獨(dú)立性如果系統(tǒng)所受的合外力不等于零，外力也不遠(yuǎn)小于內(nèi)力(或作用時(shí)間不是極短)這時(shí)系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，也不能認(rèn)為近似守恒。但是只要在某一方向上不受外力或合外力的分量等于零，或者某一方向上的外力遠(yuǎn)小于內(nèi)力，那么在這一方向上系統(tǒng)動(dòng)量近似守恒，這就是動(dòng)量守恒定律的近似性。系統(tǒng)的動(dòng)量是否守恒與參照系的選擇無關(guān)，這是動(dòng)量守恒定律獨(dú)立性的又一表現(xiàn)。例3、放在光滑水平面上的質(zhì)量為M的滑塊，其上表面是光滑曲面。質(zhì)量為m的物體以水平速度V0進(jìn)入滑塊的上表面，如圖所示。物體并未從滑塊上端飛出，求：(1)物體上升的最大高度。(2)物體滑下與滑塊脫離時(shí)的速度。解析：物體沖上曲面后，在豎直方向上先加速后減速，滑塊對(duì)物體彈力的豎直分量先大于重力，到等于重力，再到小于重力，在物體上升的過程中系統(tǒng)豎直方向的動(dòng)量不守恒。由類似分析知，物體返回過程中系統(tǒng)豎直方向的動(dòng)量也不守恒。在相互間彈力的水平分量的作用下，當(dāng)它們具有相同的水平速度時(shí)，物體上升到最高位置。系統(tǒng)在水平方向不受外力，根據(jù)動(dòng)量守恒的獨(dú)立性可知，整個(gè)過程中系統(tǒng)的水平方向動(dòng)量守恒。系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。(1)設(shè)物體上升的最大高度為H，兩者的共同速度為V，則有

mV0=(M+m)VmV2/2=(M+m)V2/2+mgH0聯(lián)立解得：H=MV2/2(M+m)g0(2)設(shè)物體脫離滑塊時(shí)，兩者的速度分別為V1、V2,則有mV0=mV1+MV2mV2/2=mV2/2+MV2/2012聯(lián)立解得：V]=(m—M)V°/(m+M)四、動(dòng)量守恒定律的矢量性由于速度和動(dòng)量都是矢量，因此，系統(tǒng)的動(dòng)量是指系統(tǒng)內(nèi)所有物體動(dòng)量的矢量和。系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，是指系統(tǒng)內(nèi)各物體動(dòng)量矢量和的大小和方向保持不變。動(dòng)量守恒定律的表達(dá)式是一個(gè)矢量式，動(dòng)量守恒定律具有矢量性。當(dāng)動(dòng)量方向都在一條直線上時(shí)，規(guī)定正方向后可用正、負(fù)號(hào)來表示動(dòng)量的矢量性，動(dòng)量守恒方程的矢量式就簡(jiǎn)化為代數(shù)式。對(duì)各矢量前的正、負(fù)號(hào)的選取，通常有兩種方法：一是字母本身帶正、負(fù)號(hào)，該字母既表示大小又表示方向，動(dòng)量守恒定律文字方程中的運(yùn)算符號(hào)一律取“+”號(hào)；二是字母本身不帶正、負(fù)號(hào)，該字母只表示大小不表示方向，動(dòng)量的矢量性則通過方程中運(yùn)算符號(hào)的“+”或“一”來表示。解題時(shí)應(yīng)做到“明確矢量性，坐標(biāo)方向明”。大板與支架發(fā)生沒有機(jī)械能損失的碰撞，碰撞后兩板分離，直到繩繃緊，如圖(b)所示。在繩繃緊的求兩板的共同速度V。例4、有兩塊大小不同的圓形薄板(厚度不計(jì))，質(zhì)量分別為M和m，半徑分別為R和r，兩板之間用一根長(zhǎng)度L=0.4m的繩相連接。開始時(shí)兩板水平放置并疊合在一起，靜止于固定支架C上方h=0.2m處，如圖(a)所示。然后自由下落到支架上，支架上有一半徑為大板與支架發(fā)生沒有機(jī)械能損失的碰撞，碰撞后兩板分離，直到繩繃緊，如圖(b)所示。在繩繃緊的求兩板的共同速度V。瞬間，解析:開始時(shí)兩板自由下落，與固定支架碰撞前的速度為解析:開始時(shí)兩板自由下落，與固定支架碰撞前的速度為^2gk，、—+…V0==2m/s，方向豎直向下。發(fā)生沒有機(jī)械能損失的碰撞后，M以V。作豎直上拋運(yùn)動(dòng)。兩者的相對(duì)速度為2V0，從M與支架碰撞到繩繃緊經(jīng)歷的時(shí)間為t=L/2V0=0.1s。繩繃緊前m的速度V1=V0+gt=3m/s，方向豎直向下。M的速度七=匕一gt=lm/s，方向豎直向上。在繩繃緊的瞬間，繩的拉力遠(yuǎn)大于M和m的重力，兩板和繩組成的系統(tǒng)動(dòng)量近似定恒。規(guī)定豎直向下的方向?yàn)檎较?，因V1、V2只表示速度的大小，動(dòng)量的矢量性則通過運(yùn)算符號(hào)的“+”或“一”來體現(xiàn)，假設(shè)共同速度V的方向與正方向相同，由動(dòng)量守恒定律得mV1—MV2=(M+m)V代入V1、V2值，解得V=(3m—M)/(M+m)由上式可知，在繩繃緊瞬間兩板共同速度V的大小和方向取決于M和m的值。若MV3m，V>0，表示繩繃緊瞬間兩板向下運(yùn)動(dòng)；若M=3m，V=0，表示繩繃緊瞬間兩板靜止；若M>3m，V<0，表示繩繃緊瞬間兩板向上運(yùn)動(dòng)。五、動(dòng)量守恒定律的整體性動(dòng)量守恒定律是對(duì)相互作用的物體系統(tǒng)整體而言的，具有系統(tǒng)的整體性。動(dòng)量守恒是指系統(tǒng)內(nèi)所有物體的總動(dòng)量守恒，并非指系統(tǒng)中每個(gè)物體的動(dòng)量都不變。動(dòng)量守恒定律的整體性表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是對(duì)象的整體性；二是過程的整體性。例5.(2001年全國(guó)高考題)質(zhì)量為M的小船以速度V0行駛，船上有兩個(gè)質(zhì)量皆為m的小孩a和b，分別靜止站在船頭和船尾。現(xiàn)小孩a沿水平方向以速率u(相對(duì)于靜止水面)向前躍入水中，然后小孩b沿水平方向以同一速率u(相對(duì)于靜止水面)向后躍入水中，求小孩b躍出后小船的速度。解析：在解本題時(shí)，若先求小孩a躍出后小船的速度，再求小孩b躍出后小船的速度，采用分步求解，則比較繁雜，會(huì)出現(xiàn)一些不需求解的未知量，而這些未知量必然在方程的求解過程中消去。在參考解答給出的解法中充分體現(xiàn)了動(dòng)量守恒的對(duì)象整體性和過程整體性。設(shè)小孩b躍出后小船向前行駛的速度為V，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有(M+2m)V=MV+mu—mu0解得：V=[1+(2m/M)]V0六、動(dòng)量守恒定律的階段性如果系統(tǒng)與外界存在間斷的相互作用，則整個(gè)過程系統(tǒng)的動(dòng)量不守恒。這樣的復(fù)雜過程可分為幾個(gè)階段，如果在某些階段滿足動(dòng)量守恒的條件，則系統(tǒng)在對(duì)應(yīng)的這些階段的動(dòng)量分別守恒或近似守恒，對(duì)這些階段可根據(jù)動(dòng)量守恒定律求解，這就是動(dòng)量守恒定律的階段性。M擔(dān)尸；例6、如圖所示，質(zhì)量M=1kg的平板車左端放有質(zhì)量為m=2kg的鐵塊，鐵塊與車之間的動(dòng)摩擦因數(shù)M=0.5,開始時(shí)車和鐵塊同以V0=6m/s的速度向右在光滑水平面上前進(jìn)，并使車與墻發(fā)生正碰。設(shè)碰撞時(shí)間極短，且碰后車的速率與碰前相等，車身足夠長(zhǎng)，使鐵塊不能與墻相碰，求：鐵塊相對(duì)小車的總位移。小車和墻第一次相碰后所走總路程。解析：(1)因小車與墻發(fā)生多次正碰，系統(tǒng)與外界存在間斷性相互作用，整個(gè)過程系統(tǒng)的動(dòng)量不守恒，但每次小車與墻碰后到下一次碰前小車與鐵塊組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒。由于m>M，且每次碰墻前它們均獲得了相同的速度，所以系統(tǒng)的總動(dòng)量方向始終向右，因此小車最后一定緊靠著墻角停下。由于碰后車的速率與碰前相等，所以車與墻的碰撞無能量損失。整個(gè)系統(tǒng)的初動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，根據(jù)功能關(guān)系有umgs=(M+m)V2/20解得：s=5.4m，故鐵塊相對(duì)小車的總位移為5.4m。(2)設(shè)小車每次與墻相碰后向左運(yùn)動(dòng)的最大距離分別為S「S2、S「……，第一次相碰后對(duì)小車，根據(jù)動(dòng)能定理有umgS=MV2/210解得：S]=MV02/2umg=1.8m。第一次碰后，設(shè)鐵塊與小車獲得的共同向可速度為K，取水平向右方向?yàn)檎较?，根?jù)動(dòng)量守恒定律得mV0-MV0=(M+m)V1解得：V1=(m-M)V0/(m+M)第二次碰后對(duì)小車，根據(jù)動(dòng)能定理有umgS2=MV12/2解得：S2=MV：/2umg=[(m—M)/(m+M)]2S1同理得：S3=MV22/2.mg=[(m—M)/(m+M)]2S2=[(m—M)/(m+M)]4S1所以，小車與墻相碰反彈后向左運(yùn)動(dòng)的最大距離均以q=[(m—M)°/(m+M)]2=1/9的比例減小。小車與墻發(fā)生多次碰撞，所走的路程是一個(gè)無窮等比數(shù)列的和，公比為q。又小車每次碰撞后向左行的路程與向右行的路程相等，故小車與墻第一次相碰后所走的總路程為S=2S1(1+q+q2+)=2S1/(1—q)=4.05m。七、動(dòng)量守恒定律的同系性速度、動(dòng)量的大小和方向都具有相對(duì)性，若系統(tǒng)中不同物體的動(dòng)量相對(duì)不同的慣性參照系，系統(tǒng)的動(dòng)量就不可能守恒。因此，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律列方程時(shí)，應(yīng)注意各物體的動(dòng)量必須是相對(duì)同一慣性參照系的動(dòng)量，這就是動(dòng)量守恒定律的同系性。如果各物體的速度(或動(dòng)量)不是相對(duì)同一慣性參照系，必須轉(zhuǎn)換成同一慣性參照系的速度(或動(dòng)量)，然后才可代入動(dòng)量守恒定律方程。例7、質(zhì)量為M的平板車在光滑水平面上以速度V0勻速運(yùn)動(dòng)，有幾個(gè)質(zhì)量都是m的人，先后以與車速相同方向但比車速快△V的速度跳上平板車后，車速將變?yōu)槎嗌?？解析：本題必須正確理解“先后”和“比車速快△V”的含義，因?yàn)槊刻弦粋€(gè)人后，車速都要增加，而后一個(gè)人“比車速快△V”是指比已被前一個(gè)人增加后的車速快△V。因此，每個(gè)人跳上車之前相對(duì)地面的速度各不相同，不能采用整體法求解。以正在跳上車的人與車(含已經(jīng)跳上車的人)為研究對(duì)象，取車速方向?yàn)檎较?，依次?yīng)用動(dòng)量守恒定律第一個(gè)人跳上車后，有MV0+m(V0+AV)=(M+m)Vi解得：Vi=V0+[mAV/(M+m)]第二個(gè)人跳上車后，有(M+m)Vi+m(Vi+AV)=(M+2m)V2解得：V2=Vi+[mAV/(M+2m)]=V°+{mAV[1/(M+m)+1/(M+2m)]}同理可以推得，當(dāng)?shù)趎個(gè)人跳上車后，車速將變?yōu)閂=V0+{mAV[1/(M+m)+1/(M+2m)+……+1/(M+nm)]}八、動(dòng)量守恒定律的同時(shí)性系統(tǒng)的總動(dòng)量應(yīng)該是同一時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)各物體動(dòng)量的矢量和，系統(tǒng)中各物體在不同時(shí)刻的動(dòng)量矢量和不具有物理意義。動(dòng)量是狀態(tài)量，當(dāng)系統(tǒng)中某一物體的動(dòng)量改變時(shí)，必同時(shí)有另外物體的動(dòng)量改變。動(dòng)量守恒定律中等式兩邊的動(dòng)量必須分別對(duì)應(yīng)開始時(shí)刻和另一時(shí)刻的動(dòng)量，建立方程時(shí)不要隨意移項(xiàng)。若動(dòng)量守恒定律等式的一側(cè)出現(xiàn)了不同時(shí)刻的動(dòng)量，系統(tǒng)的動(dòng)量就不守恒。動(dòng)量守恒定律具有同時(shí)性，解題時(shí)應(yīng)做到“遵循同時(shí)性，始末分得清”。例8、質(zhì)量為M的小車停在光滑水平面上，車的后端站有質(zhì)量均為m的兩個(gè)人。兩人同時(shí)以對(duì)車的速度u向后跳出，小車的速度多大？如果兩人先后以對(duì)車的速度u向后跳出，小車的速度多大?解析：選地面為參照物，取小車的速度方向?yàn)檎较?。根?jù)動(dòng)量守恒定律的同時(shí)性，對(duì)車的速度u應(yīng)是對(duì)跳出后的小車。兩人同時(shí)以對(duì)車速度u向后跳出，車的速度為V1，則人相對(duì)地的速度應(yīng)為V1—u，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有0=MVi+2m(Vi-u)解得：V=2mu/(M+2m)i兩人先后以對(duì)車速度u向后跳出，第一人跳出后車的速度為V2'，第一人對(duì)地的速度為V2‘一u；第二人跳出后車的速度為七，第二人對(duì)地的速度為V2—u。根據(jù)動(dòng)量守恒定律有0=(M+m)V」+m(V」一u)(M+m)V2'=MV2+m(V2—u)解得：V=[2m/(M+2m)+m2/(M+m)(M+2m)]u2比較兩次結(jié)果，兩人先后跳出時(shí)，小車的最終速度大。九、動(dòng)量守恒定律的相對(duì)性由于動(dòng)量具有相對(duì)性，所以選擇不同的慣性參照系，建立的動(dòng)量守恒的方程形式不同，這就是動(dòng)量守恒定律的相對(duì)性。恰當(dāng)?shù)剡x擇參照系，能使方程簡(jiǎn)捷，計(jì)算方便，所以解題時(shí)應(yīng)做到“注意相對(duì)性，明確參照系”。例9、質(zhì)量為M的小車，上面站有質(zhì)量為m的人，一起以速度V0在光滑水平面上向右勻速前進(jìn)。當(dāng)人以相對(duì)于車的速度u向左水平跳出后，車速為多大？解法一：選地面為參照系，以小車和人為系統(tǒng)，取水平向右為正方向。人跳出后車的動(dòng)量為MV，人的動(dòng)量為m(V—u)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有(M+m)V=MV+m(V—u)0解得：V=V0+mu/(M+m)解法二：人跳出車后車對(duì)地的速度由V0增至V，以人跳出車后的車為參照系，則人跳出前系統(tǒng)的總動(dòng)量大小為(M+m)(V—V)，方向向左。人跳出后，車的動(dòng)量為零，人的動(dòng)量大小為mu，方向向左。規(guī)定向左為0正方向