有效數(shù)字修約規(guī)則

有效數(shù)字修約規(guī)則第1頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)值修約一、數(shù)值修約的概念及意義二、數(shù)值修約的基礎(chǔ)知識(shí)三、數(shù)值修約規(guī)則及注意事項(xiàng)四、數(shù)值運(yùn)算規(guī)則第2頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、數(shù)值修約的概念及意義測(cè)量及測(cè)量結(jié)果數(shù)值修約的概念及意義第3頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.測(cè)量、測(cè)量結(jié)果（1）測(cè)量、測(cè)量結(jié)果測(cè)量是以確定量值為目的的一組操作。量值是由一個(gè)數(shù)（值）乘以測(cè)量單位所表示的特定量的大小。測(cè)量有間接和直接之分：直接測(cè)量的結(jié)果可直接測(cè)到而不必通過(guò)函數(shù)計(jì)算；而間接測(cè)量的結(jié)果需將直接測(cè)量的結(jié)果代入函數(shù)計(jì)算才能得到。第4頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由測(cè)量所得的賦予被測(cè)量的值稱為測(cè)量結(jié)果。例如，用分析天平稱得一個(gè)試樣的質(zhì)量為1.1080g，1.1080g就是一個(gè)測(cè)量結(jié)果。由測(cè)量與測(cè)量結(jié)果的概念可看出，測(cè)量結(jié)果可表示如下：測(cè)量結(jié)果=數(shù)（值）×單位量值根據(jù)誤差公理，測(cè)量總是存在誤差的，測(cè)量結(jié)果只能是接近于測(cè)量真值的估計(jì)值，因而表示測(cè)量結(jié)果的數(shù)（值）是含有誤差的數(shù)（值），就是說(shuō)，表示測(cè)量結(jié)果的的數(shù)值是一個(gè)近似值。第5頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（1）數(shù)值修約的概念對(duì)某一表示測(cè)量結(jié)果的數(shù)值（擬修約數(shù)），根據(jù)保留位數(shù)的要求，將多余的數(shù)字進(jìn)行取舍，按照一定的規(guī)則，選取一個(gè)近似數(shù)（修約數(shù)）來(lái)代替原來(lái)的數(shù)，這一過(guò)程稱為數(shù)值修約。2.數(shù)值修約的概念及意義第6頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（2）數(shù)值修約的意義a.出于準(zhǔn)確表達(dá)測(cè)量結(jié)果的需要。測(cè)量結(jié)果大都是通過(guò)間接測(cè)量得到的，間接測(cè)量的結(jié)果通常是通過(guò)計(jì)算得出的，其組成數(shù)字往往較多，但具體測(cè)量的精度是確定的，就是說(shuō)表示合理表征測(cè)量結(jié)果的數(shù)字個(gè)數(shù)應(yīng)是確定的，最終提供的測(cè)量結(jié)果應(yīng)合理反映這一點(diǎn)，故此，通過(guò)對(duì)計(jì)算方法和直接測(cè)量得到的數(shù)據(jù)的分析，得到合理的保留位數(shù)，將多余的數(shù)字進(jìn)行取舍以得到合理反映測(cè)量精度的測(cè)量結(jié)果，即進(jìn)行數(shù)值修約就非常必要。另外，即使采用直接測(cè)量，有時(shí)在提供測(cè)量程序要求的但高于實(shí)際測(cè)量精度的測(cè)量結(jié)果時(shí)也需要進(jìn)行合理的數(shù)值修約。第7頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六b.在進(jìn)行具體的數(shù)值計(jì)算前，對(duì)參加計(jì)算的數(shù)值進(jìn)行修約，可簡(jiǎn)化計(jì)算，降低計(jì)算出錯(cuò)的機(jī)會(huì)。如：4.78961×2.13×102.4387926=?若不先進(jìn)行數(shù)值修約就直接計(jì)算，繁瑣且容易出錯(cuò)。若在計(jì)算前先按數(shù)值修約規(guī)則進(jìn)行修約，舍去多余參與計(jì)算的數(shù)值之中沒(méi)有意義的數(shù)字，則計(jì)算會(huì)簡(jiǎn)單得多，計(jì)算也就不容易出錯(cuò)。第8頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、數(shù)值修約的基礎(chǔ)知識(shí)1.有效數(shù)字2修約間隔3.修約數(shù)位及確定修約位數(shù)的表達(dá)方式

第9頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.有效數(shù)字1.1有效數(shù)字有效數(shù)字是指在分析和測(cè)量中所能得到的有實(shí)際意義的數(shù)字。測(cè)量結(jié)果是由有效數(shù)字組成的（前后定位用的“0”除外）。我們來(lái)看前面的測(cè)量結(jié)果1.1080g，組成數(shù)字1、1、0、8、0都是實(shí)際測(cè)讀到的，它們是表示試樣質(zhì)量大小的，因而都是有實(shí)際意義的。有效數(shù)字的前幾位都是準(zhǔn)確數(shù)字，只有最后一位是可疑數(shù)字。如前述的1.1080，前幾位數(shù)字1、1、0、8都是稱量讀到的準(zhǔn)確數(shù)字，而最后一位數(shù)字0則是在沒(méi)有刻度的情況下估讀出來(lái)的，是不準(zhǔn)確的或者說(shuō)可疑的。第10頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六有效數(shù)字是處于表示測(cè)量結(jié)果的數(shù)值的不同數(shù)位上。所有有效數(shù)字所占有的數(shù)位個(gè)數(shù)稱為有效數(shù)字位數(shù)。例1：數(shù)值3.5，有兩個(gè)有效數(shù)字，占有個(gè)位、十分位兩個(gè)數(shù)位，因而有效數(shù)字位數(shù)為兩位；3.501有四個(gè)有效數(shù)字，占有個(gè)位、十分位、百分位等四個(gè)數(shù)位，因而是四位有效數(shù)字。測(cè)量結(jié)果的數(shù)字，其有效位數(shù)反映了測(cè)量結(jié)果的精確度，它直接與測(cè)量的精密度有關(guān)。這也是有效數(shù)字實(shí)際意義的體現(xiàn)，是非常重要的體現(xiàn)。例如前述例子中，若測(cè)量結(jié)果為1.1080g，則表示測(cè)量值的誤差在10-4量級(jí)上，天平的精度為萬(wàn)分之一；若測(cè)量結(jié)果為1.108g，則表示測(cè)量值的誤差在10-3量級(jí)上，天平的精度為千分之一。第11頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

2.2有效數(shù)字位數(shù)的確定原則由于有效數(shù)字的位數(shù)反映了測(cè)量結(jié)果的精確度，它直接與測(cè)量的精密度有關(guān)。因此，在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)活動(dòng)中正確記錄有效數(shù)字，不能多寫或少寫，多寫了不能正確反映測(cè)量精度，則該數(shù)據(jù)不真實(shí)，因而也就不可靠；少寫損失測(cè)量精度度。另外，能夠正確判定表示測(cè)量結(jié)果的數(shù)中那些數(shù)字是有效數(shù)字，確定有效數(shù)字位數(shù)就顯得非常重要。這也是在計(jì)量認(rèn)證過(guò)程中，有效數(shù)字位數(shù)的確定往往成為考核內(nèi)容之一的原因。第12頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六在確定有效數(shù)字位數(shù)時(shí)應(yīng)遵循下列原則：（1）數(shù)值中數(shù)字1～9都是有效數(shù)字。（2）數(shù)字“0”在數(shù)值中所處的位置不同，起的作用也不同，可能是有效數(shù)字，也可能不是有效數(shù)字。判定如下：1）“0”在數(shù)字前，僅起定位作用，不是有效數(shù)字。如，0.0257中，“2”前面的兩個(gè)“0”均非有效數(shù)字。0.123、0.0123、0.00123中“1”前面的“0”也均非有效數(shù)字。第13頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2）數(shù)值末尾的“0”屬于有效數(shù)字。如0.5000中，“5”后面的三個(gè)“0”均為有效數(shù)字；0.5000中，“5”后面的一個(gè)“0”也是有效數(shù)字。

特例：見(jiàn)第4）條。3）數(shù)值中夾在數(shù)字中間的“0”是有效數(shù)字。如數(shù)值1.008中的兩個(gè)“0”是均是有效數(shù)字；數(shù)值8.01中間的“0”也是有效數(shù)字。

第14頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4）以“0”結(jié)尾的正整數(shù)，“0”是不是有效數(shù)字不確定，應(yīng)根據(jù)測(cè)試結(jié)果的準(zhǔn)確度確定。如3600，后面的兩個(gè)“0”如果不指明測(cè)量準(zhǔn)確度就不能確定是不是有效數(shù)字。測(cè)量中遇到這種情況，最好根據(jù)實(shí)際測(cè)試結(jié)果的精確度確定有效數(shù)字的位數(shù)，有效數(shù)字用小數(shù)表示，把“0”用10的乘方表示。如將3600寫成3.6×103表示此數(shù)有兩位有效數(shù)字；寫成3.60×103表示此數(shù)有三位有效數(shù)字；寫成3.600×103表示此數(shù)有四位有效數(shù)字。第15頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六試看下面各數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)：1.000843383五位有效數(shù)字0.500020.76%四位有效數(shù)字0.0257154×10-10三位有效數(shù)字530.0070二位有效數(shù)字0.022×10-10一位有效數(shù)字3600100有效數(shù)字位數(shù)不定第16頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.修約間隔修約間隔又稱修約區(qū)間或化整間隔，系確定修約保留位數(shù)的一種方式。修約間隔一般以k×10n（k=1，2，5；n為整數(shù)）的形式表示，將同一k值的修約間隔，簡(jiǎn)稱為“k”間隔。修約間隔的數(shù)值一經(jīng)確定，修約值即應(yīng)為該數(shù)值的整數(shù)倍。例1：如指定修約間隔為0.1，修約值即應(yīng)在0.1的整數(shù)倍中選取，相當(dāng)于將數(shù)值修約到一位小數(shù)。例2：如指定修約間隔為100，修約值即應(yīng)在100的整數(shù)倍中選取，相當(dāng)于將數(shù)值修約到“百”數(shù)位。第17頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.修約數(shù)位及確定修約位數(shù)的表達(dá)方式修約時(shí)擬將擬修約數(shù)的哪一位數(shù)位后部分按修約規(guī)則舍去，則該數(shù)位就是修約數(shù)位。數(shù)值修約時(shí)需要先明確修約數(shù)位，確定修約位數(shù)的表達(dá)方式如下：（1）指明具體的修約間隔。如指明將某數(shù)按0.2（2×10-1）修約間隔修約、100（1×102）修約間隔修約等。（2）指定將擬修約數(shù)修約至某數(shù)位的0.1、0.2或0.5個(gè)單位。（3）指明按“k”間隔將擬修約數(shù)修約為幾位有效數(shù)字，或修約至某數(shù)位。這時(shí)“1”間隔可不必指明，但“2”間隔和“5”間隔必須指明。第18頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、數(shù)值修約規(guī)則1.GB8170-87《數(shù)值修約規(guī)則》2.通用修約方法第19頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.GB8170-87《數(shù)值修約規(guī)則》測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理是測(cè)量過(guò)程的最后環(huán)節(jié)，由于測(cè)量結(jié)果含有測(cè)量誤差，測(cè)量結(jié)果的有效位數(shù)應(yīng)保留適宜，太多會(huì)使人誤認(rèn)為測(cè)量精度很高，同時(shí)也會(huì)帶來(lái)計(jì)算上的繁瑣；太少則會(huì)損失測(cè)量準(zhǔn)確度。測(cè)量、計(jì)算結(jié)果的數(shù)值應(yīng)按《數(shù)值修約規(guī)則》（GB8170-87）規(guī)定進(jìn)行修約。第20頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六GB8170-87《數(shù)值修約規(guī)則》規(guī)定的修約規(guī)則如下：3.1擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字小于5時(shí)，則舍去，即保留的各位數(shù)字不變。例1：將12.1498修約到一位小數(shù)，得12.1。例2：將12.1498修約成兩位有效位數(shù)，得12。第21頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.2擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字大于5；或者是5，而其后跟有并非全部為0的數(shù)字時(shí)，則進(jìn)一，即保留的末位數(shù)字加1。例1：將1268修約到“百”數(shù)位，得13×102（特定時(shí)可寫為1300）。例2：將1268修約成三位有效位數(shù)，得127×10（特定時(shí)可寫為1270）。例3：將10.502修約到個(gè)數(shù)位，得11。注：“特定時(shí)”的涵義系指修約間隔或有效位數(shù)明確時(shí)。第22頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.3擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字為5，而右面無(wú)數(shù)字或皆為0時(shí)，若所保留的末位數(shù)字為奇數(shù)(1,3,5,7,9）則進(jìn)一，為偶數(shù)（2,4,6,8,0）則舍棄。例1：修約間隔為0.1（或10-1)擬修約數(shù)修約值1.0501.00.3500.4第23頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例2：修約間隔為1000（或103)

擬修約數(shù)修約值

2500

2×103

（特定時(shí)可寫為2000)3500

4×103

（特定時(shí)可寫為4000)

例3：將下列數(shù)字修約成兩位有效位數(shù)擬修約數(shù)修約值0.03250.0323250032×103(特定時(shí)可寫為32000)第24頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.4負(fù)數(shù)修約時(shí)，先將它的絕對(duì)值按上述3.1-3.3規(guī)定進(jìn)行修約，然后在修約值前面加上負(fù)號(hào)。例1：將下列數(shù)修約到“十”數(shù)位擬修約數(shù)修約值-355-36×10（特定時(shí)可寫為-360)-325-32×10（特定時(shí)可寫為-320)例2：將下列數(shù)修約成兩位有效位數(shù)擬修約數(shù)修約值-365-36×10（特定時(shí)可寫為-360)-0.0365-0.036注：以上4條為修約間隔為“1”時(shí)的修約規(guī)則。第25頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六50.5單位修約與0.2單位修約必要時(shí)，可采用0.5單位修約和0.2單位修約。5.10.5單位修約將擬修約數(shù)乘以2，按指定數(shù)位依3.1-3.4規(guī)則修約，所得數(shù)再除以2。例如：將下列數(shù)修約到個(gè)數(shù)位的0.5單位（或修約間隔為0.5）

擬修約數(shù)乘22A修約值A(chǔ)修約值(A)（2A）（修約間隔為1）（修約間隔為0.5)60.25120.5012060.060.38120.7612160.5-60.75-121.50-122-61.0第26頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.20.2單位修約將擬修約數(shù)乘以5，按指定數(shù)位依3.1-3.4規(guī)則修約，所得數(shù)值再除以5。例如：將下列數(shù)修約到“百”數(shù)位的0.2單位（或修約間隔為20）

擬修約數(shù)乘55A修約值A(chǔ)修約值（A）（5A）（修約間隔為100）（修約間隔為20）8304150420084084242104200840-930-4650-4600-920第27頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.通用數(shù)值修約方法GB8710-87《數(shù)值修約規(guī)則》分別規(guī)定了“1”、“2”和“5”間隔的修約規(guī)則。但計(jì)算比較繁瑣，對(duì)“2”和“5”間隔的的修約還需進(jìn)行計(jì)算。這里介紹一種適用于所有修約間隔的修約方法，只需直觀判斷簡(jiǎn)單易行。第28頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六該方法如下所述：①如果為修約間隔整數(shù)培的一系列數(shù)中，只有一個(gè)數(shù)最接近于擬修約數(shù)，則該數(shù)就是修約數(shù)。例如，將1.150001按0.1修約間隔進(jìn)行修約。此時(shí)，與擬修約數(shù)1.150001鄰近的為修約間隔整數(shù)倍的數(shù)有1.1和1.2（分別為修約間隔的11倍和12倍），然而只有1.2最接近于擬修約數(shù)，因此1.2就是修約數(shù)。第29頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六將1.015修約至十分位的0.2單位。修約間隔為0.02。1.00和1.02中，1.2最接近于擬修約數(shù)，因此1.02是修約數(shù)（為修約間隔的51培）。將1.2505按“5”間隔修約至十分位。修約間隔為0.5。1.0和1.5中，1.5是修約數(shù)（為修約間隔的3培）。第30頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六②如果為修約間隔整數(shù)培的一系列數(shù)中，有連續(xù)兩個(gè)數(shù)同等接近于擬修約數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)中，為修約間隔偶數(shù)培的數(shù)就是修約數(shù)。例如，將1150按100修約間隔行修約。此時(shí)，與擬修約數(shù)1150鄰近的為修約間隔整數(shù)倍的數(shù)有1100和1200（分別為修約間隔的11倍和12倍），這兩個(gè)數(shù)同等接近于擬修約數(shù)，然而1200為修約間隔的偶數(shù)培（12倍），因此1200就是修約數(shù)。第31頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六又如：將1.500按0.2修約間隔修約。結(jié)果為1.6。再如：將1.025按“5”間隔修約三位有效數(shù)字。結(jié)果為1.00。第32頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六需要指出的是：一個(gè)數(shù)據(jù)的修約只能進(jìn)行一次，不能分次修約。例如：修約15.4546，修約間隔為1。正確的做法：15.4546→15不正確的做法：15.4546→15.455→15.46→15.5→16第33頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六四、數(shù)值運(yùn)算規(guī)則第34頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六在一個(gè)具體的測(cè)量過(guò)程中，一般都要經(jīng)過(guò)多個(gè)測(cè)量的環(huán)節(jié)，而每個(gè)測(cè)量的環(huán)節(jié)都有具體的測(cè)量數(shù)據(jù)，如砂子表觀密度測(cè)定時(shí)稱量比重瓶與水、試樣的總質(zhì)量，傾出試樣后稱量瓶與水的質(zhì)量；滴定試驗(yàn)時(shí)滴定前滴定管的初始讀數(shù)與滴定至終點(diǎn)時(shí)，溶液體積的讀數(shù)等。

這些測(cè)量所得的數(shù)據(jù)，在參與測(cè)量結(jié)果計(jì)算的過(guò)程中，若要修約應(yīng)怎么修約，計(jì)算得到的結(jié)果怎么修約就是運(yùn)算法則所要解決的問(wèn)題。第35頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.加減運(yùn)算2.乘除運(yùn)算3.乘方和開(kāi)方4.對(duì)數(shù)和反對(duì)數(shù)5.平均值6.方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差第36頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.加減運(yùn)算幾個(gè)數(shù)相加減的結(jié)果，經(jīng)修約后保留有效數(shù)字的位數(shù)，取決于絕對(duì)誤差最大的數(shù)值，計(jì)算結(jié)果應(yīng)以絕對(duì)誤差最大（即小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少）的數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)，來(lái)決定計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)的位數(shù)。在實(shí)際運(yùn)算過(guò)程中，各數(shù)值保留的位數(shù)比各數(shù)值中小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少者多保留一位小數(shù)，而計(jì)算結(jié)果有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)與效數(shù)最少的一數(shù)相同。例如29.2+36.582-3.0281=?按上述規(guī)測(cè)計(jì)算如下：29.2+36.582-3.0281≈29.2+36.58-3.03=62.75最后計(jì)算結(jié)果保留一位小數(shù)，為62.8。第37頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.乘除運(yùn)算幾個(gè)數(shù)據(jù)的乘除運(yùn)算以相對(duì)誤差最大（即有效數(shù)字位數(shù)最少）的數(shù)值為基準(zhǔn)來(lái)決定結(jié)果數(shù)據(jù)的位數(shù)，。在實(shí)際運(yùn)算中，先將各數(shù)值修約至比有效數(shù)字位數(shù)最少者多保留一位有效數(shù)字運(yùn)算，計(jì)算結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)與有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)值相同。（與小數(shù)點(diǎn)位置無(wú)關(guān)）第38頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例如，0.235438×28.6×61.8911≈0.2354×28.6×61.89=414.6707116三個(gè)參與運(yùn)算的數(shù)值的有效數(shù)字位數(shù)分別為六位、三位、六位，所以最終計(jì)算結(jié)果用三位有效數(shù)字表示，為415或4.15×102。第39頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期