概率統(tǒng)計(jì)-第四章

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望方差協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣1§1.數(shù)學(xué)期望引例1

分賭本問(wèn)題(產(chǎn)生背景)

A,B兩人賭技相同,各出賭金100元,并約定先勝三局者為勝,取得全部200元。由于出現(xiàn)意外情況，在A勝2局B

勝1局時(shí),不得不終止賭博。如果要分賭金,該如何分配才算公平?一、數(shù)學(xué)期望的概念2A勝2局B勝1局前三局:后二局:把已賭過(guò)的三局(A勝2局B勝1局)與上述結(jié)果相結(jié)合，即：A、B賭完5局，并且AAAB

BABBA勝B勝分析假設(shè)繼續(xù)賭兩局,則結(jié)果有以下四種情況:AAA

B

BABBA勝B負(fù)

A勝B負(fù)

A勝B負(fù)

B勝A負(fù)

B勝A負(fù)A勝B負(fù)B勝A負(fù)

B勝A負(fù)3因此,A能“期望”得到的數(shù)目應(yīng)為而B(niǎo)能“期望”得到的數(shù)目為在賭技相同的情況下,

A,B最終獲勝的可能性大小之比為

4因而A期望所得的賭金即為X的“期望”值，它等于即為X所有可能值與其概率之積的累加。若設(shè)隨機(jī)變量X為“在A勝2局B勝1局的前提下,繼續(xù)賭下去A最終所得的賭金”,則X所取可能值為：其概率分別為:

5

設(shè)某射擊手在同樣的條件下,瞄準(zhǔn)靶子相繼射擊90次,(命中的環(huán)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量)。射中次數(shù)記錄如下：引例2

射擊問(wèn)題試問(wèn)：該射手平均命中環(huán)數(shù)是多少?命中環(huán)數(shù)k命中次數(shù)頻率6解：平均射中環(huán)數(shù)隨機(jī)變量Y表示“射手射中的環(huán)數(shù)”加權(quán)平均7

平均射中環(huán)數(shù)頻率隨機(jī)波動(dòng)隨機(jī)波動(dòng)隨機(jī)波動(dòng)

穩(wěn)定值

“平均射中環(huán)數(shù)”的穩(wěn)定值射中環(huán)數(shù)的可能值與其概率之積的累加Y

的“數(shù)學(xué)期望”8離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義4.1.19分賭本問(wèn)題A期望所得的賭金即為X的數(shù)學(xué)期望射擊問(wèn)題“平均射中環(huán)數(shù)”的穩(wěn)定值應(yīng)為隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望

10關(guān)于定義的兩點(diǎn)說(shuō)明（1）E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的真正的平均值,也稱(chēng)均值。（2）級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性保證了級(jí)數(shù)的值不隨級(jí)數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變。之所以這樣要求是因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X所有可能取值的平均,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變。11例4.1.1（射擊問(wèn)題）甲、乙兩個(gè)射手，他們射擊的分布律分別為問(wèn)：哪個(gè)射手技術(shù)更好？甲射手乙射手

12例4.1.2（彩票發(fā)行）某一彩票中心發(fā)行彩票10萬(wàn)張,每張2元。設(shè)頭等獎(jiǎng)1個(gè),獎(jiǎng)金1萬(wàn)元；二等獎(jiǎng)2個(gè),獎(jiǎng)金各5千元；三等獎(jiǎng)10個(gè),獎(jiǎng)金各1千元；四等獎(jiǎng)100個(gè),獎(jiǎng)金各100元；五等獎(jiǎng)1000個(gè),獎(jiǎng)金各10元。已知每張彩票的成本費(fèi)為0.3元，試計(jì)算彩票發(fā)行單位的創(chuàng)收利潤(rùn)。解：X表示“每張彩票的中獎(jiǎng)?lì)~”，X的分布律為每張彩票平均能得到的獎(jiǎng)金為

E(X)=0.5元13例4.1.3（候車(chē)時(shí)間）按規(guī)定，某車(chē)站每天8:00~9:00，9:00~10:00都恰有一輛客車(chē)到站，但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的，并且到站的事件都相互獨(dú)立，其規(guī)律為一旅客8:20到車(chē)站，求他候車(chē)時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。到站時(shí)刻概率※關(guān)鍵是求出候車(chē)時(shí)間T的分布律14例4.1.4（分組驗(yàn)血）在一個(gè)人數(shù)很多的團(tuán)體中普查某種疾病，為此需要抽驗(yàn)N個(gè)人的血，可用兩種方法進(jìn)行：(i)將每個(gè)人的血分別取驗(yàn)，這需要檢驗(yàn)N次。(ii)按k個(gè)人一組進(jìn)行分組，把k個(gè)人抽來(lái)的血混合之后檢驗(yàn)，如果這組混合血液呈陰性反應(yīng)，就說(shuō)明k個(gè)人的血都呈陰性反應(yīng)，這樣只需化驗(yàn)一次；若呈陽(yáng)性，則再對(duì)k個(gè)人的血分別化驗(yàn)，這樣需要化驗(yàn)k+1次。假設(shè)每個(gè)人化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為p，且這些人的試驗(yàn)反應(yīng)是相互獨(dú)立的。試說(shuō)明當(dāng)p較小時(shí)，選取適當(dāng)?shù)膋，按第二種方法可以減少化驗(yàn)次數(shù)，并說(shuō)明k取什么值的時(shí)候最適宜。15解：X表示按第二種方法，組內(nèi)每人需要化驗(yàn)血的次數(shù)

16若取p=0.1,則當(dāng)k=4時(shí),對(duì)應(yīng)的f(k)取到極小值,最適宜.17例4.1.5（泊松分布）設(shè)X服從指數(shù)為λ的泊松分布，求X的數(shù)學(xué)期望。解：18連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義4.1.219例4.1.6（均勻分布）設(shè)X~U(a,b)，求X的數(shù)學(xué)期望E(X)。20

二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望21

推廣

設(shè)Z是隨機(jī)變量X和Y的函數(shù)Z=g(X,Y),

其中g(shù)是連續(xù)函數(shù),那么問(wèn)：已知(X,Y)的聯(lián)合概率密度,

如何計(jì)算E(X)？

22例4.1.9

設(shè)(X,Y)的分布律為20-1/15523

=124

線(xiàn)性性質(zhì)注：性質(zhì)③④可推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形。反之不成立！25例4.1.12（將復(fù)雜的隨機(jī)變量進(jìn)行分解）設(shè)一機(jī)場(chǎng)巴士載有20位乘客，共有10個(gè)車(chē)站可以下車(chē)。如果到達(dá)一個(gè)車(chē)站沒(méi)人下車(chē)就不停車(chē)，以X表示停車(chē)的次數(shù)，試求X的數(shù)學(xué)期望E(X)。解：

26

解：設(shè)生產(chǎn)x件,

獲得的利潤(rùn)用隨機(jī)變量Q=Q(x)表示,那么

27例4.1.14(競(jìng)拍問(wèn)題)設(shè)甲與其他三人參與一個(gè)項(xiàng)目的競(jìng)拍，價(jià)格以千美元計(jì)，價(jià)格高者獲勝。若甲中標(biāo)，他就將此項(xiàng)目以10千美元轉(zhuǎn)讓給他人?？烧J(rèn)為其他三人的競(jìng)拍價(jià)是相互獨(dú)立的，且都在7~11千美元之間均勻分布。問(wèn)：甲應(yīng)如何報(bào)價(jià)才能使獲益的數(shù)學(xué)期望為最大。G(x)概率E(G(x))的極值問(wèn)題，解得x=37/4.28總結(jié)—數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量。它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的真正的平均值。3.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

29練習(xí):

設(shè)X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布,Y~b(n,p),Z~g(p),求E(X)、E(Y)和E(Z).30§2.方差實(shí)例有兩批燈泡,其平均壽命都是E(X)=1000小時(shí).

※隨機(jī)變量與其均值的偏離程度

方差31一、方差的定義

32二、方差的計(jì)算

33例4.2.1（離散型隨機(jī)變量的方差）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布是P{X=0}=0.2,P{X=1}=0.5,P{X=2}=0.3,求X的方差D(X).解：根據(jù)方差的計(jì)算公式34

解：根據(jù)方差的計(jì)算公式35三、方差的性質(zhì)

※可推廣到n個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量的情形.

36

切比雪夫(Chebyshev)不等式

37

38解例4.2.4

=2945/9

39四、幾種常用隨機(jī)變量的方差兩點(diǎn)分布設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布,那么二項(xiàng)分布設(shè)X~b(n,p),那么泊松分布設(shè)X~P(λ),那么

40

分部積分?。。?/p>

41

42分布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布43總結(jié)—方差方差是用來(lái)體現(xiàn)隨機(jī)變量X取值分散程度的量.如果D(X)大,表示X取值的分散程度大,E(X)的代表性差;如果D(X)小,表示X取值集中,E(X)的代表性好.2.方差的計(jì)算方法443.方差的性質(zhì)前提：X和Y相互獨(dú)立！4.切比雪夫不等式

45§3.協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)若隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立,那么

若隨機(jī)變量X和Y不相互獨(dú)立,那么

X和Y的協(xié)方差46

注②:協(xié)方差是期望值,因此上面提到的變化趨勢(shì)是在平均意義上而言的。一、協(xié)方差注①:

正的協(xié)方差表示兩個(gè)隨機(jī)變量有相同方向的變化趨勢(shì);負(fù)的協(xié)方差表示兩個(gè)隨機(jī)變量有相反方向的變化趨勢(shì)。47協(xié)方差的性質(zhì)

常用計(jì)算公式結(jié)論:若X與Y相互獨(dú)立,則Cov(X,Y)=0.反之不成立！48

49二、相關(guān)系數(shù)

注①:X與Y的相關(guān)系數(shù)又稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差,是一個(gè)無(wú)量綱的量.

X與Y不相關(guān)50

注③:不相關(guān)的意思是不線(xiàn)性相關(guān),也就是不存在線(xiàn)性關(guān)系,但有可能存在其他函數(shù)關(guān)系.獨(dú)立一定不相關(guān),但不相關(guān)不一定獨(dú)立.

在概率為1的意義下51

但X與Y不相互獨(dú)立！

52

解：根據(jù)協(xié)方差的定義

結(jié)論(1)二維正態(tài)分布密度函數(shù)中的參數(shù)ρ代表了X與Y的相關(guān)系數(shù).(2)對(duì)二維正態(tài)隨機(jī)變量(X,Y)來(lái)說(shuō),X與Y相互獨(dú)立ρ=0X與Y不相關(guān)

53

Z的數(shù)學(xué)期望和方差;

Cov(X,Z);

=054§4.矩、協(xié)方差矩陣

55說(shuō)明

(4)若X~N(0,1)或t(n),則X的奇數(shù)階原點(diǎn)矩為零