2022年高一基礎(chǔ)學(xué)科知識競賽

2022年高一基礎(chǔ)學(xué)科知識競賽數(shù)學(xué)時量：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，集合，則（）A.B.C.D.2.設(shè)為兩個平面，“內(nèi)存在一條直線垂直于”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件3.在下列函數(shù)中，最小值是2的函數(shù)有（）A.B.C.D.4.已知冪函數(shù)的圖象過點，設(shè)，，，則（）A.B.C.D.5.已知，則（）A.B.C.D.16.如圖，在平行四邊形中，，相交于點，點在線段上，且，若，則（）A.B.C.D.7.秦九韶是我國南宋數(shù)學(xué)家，其著作《數(shù)書九章》中的大衍求一術(shù)、三斜求積術(shù)和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻.秦九韶把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，三斜求積術(shù)即已知三邊長求三角形面積的方法，用公式表示為：，其中是的內(nèi)角的對邊.已知中，，，則面積的最大值為（）A.B.C.D.8.已知是奇函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.若復(fù)數(shù)滿足（其中是虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A.B.復(fù)數(shù)的虛部是2C.D.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限10.已知函數(shù)，則（）A.其圖象可由的圖象向右平移個單位得到B.在僅有1個零點C.在單調(diào)遞增D.在的最小值為11.先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，表示事件“兩次擲出的點數(shù)之和是4”，表示事件“第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”，表示事件“兩次擲出的點數(shù)相同”，表示事件“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”，則（）A.與互斥B.C.與對立D.與相互獨立12.地球環(huán)境科學(xué)亞歐合作組織在某地舉辦地球環(huán)境科學(xué)峰會，為表彰為保護地球環(huán)境做出卓越貢獻的地球科研衛(wèi)士，會議組織方特別制作了富有地球寓意的精美獎杯，獎杯主體由一個銅球和一個三足托盤組成，如圖①，已知球的表面積為，底座由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊成直二面角所得，如圖②，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與平面所成的角為B.底座多面體的體積為C.平面平面D.球離球托底面的最小距離為三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知向量，，且，則________.14.2022年春天我國東部片區(qū)降水量出現(xiàn)近年新低，旱情嚴(yán)重，城市缺水問題顯得較為突出，某市政府為了節(jié)約生活用水，科學(xué)決策，在全市隨機抽取了100位居民某年的月均用水量（單位：）得到如圖所示的頻率分布直方圖，在統(tǒng)計中我們定義一個分布的分位數(shù)為滿足的，則估計本例中________.（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位有效數(shù)字）15.已知函數(shù)，，若，則________.16.三棱錐中，頂點在底面的射影恰好是內(nèi)切圓的圓心，若三個側(cè)面的面積分別為12，16，20，底面的最長邊長為10，則點到平面的距離為________；三棱錐外接球的直徑是________.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（本小題滿分10分）如圖，在中，，，，，.（1）設(shè)在上的投影向量為，求的值；（2）若，求.18.（本小題滿分12分）已知二次函數(shù)，又.（1）求函數(shù)在上的最小值；（2）若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19.（本小題滿分12分）在中，角所對的邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若，，求的面積.20.（本小題滿分12分）如圖，等腰梯形中，，，，為的中點，將沿折起、得到四棱錐，為的中點，（1）線段上是否存在點，使平面？（2）證明：為直角三角形；（3）當(dāng)四棱錐的體積最大時，求三棱錐的體積.21.（本小題滿分12分）2022年“五一”國際勞動節(jié)期間，我市市場志愿服務(wù)團隊對某“冰橙”線下冷鏈實體加工點作了統(tǒng)計調(diào)查，了解到某種冰橙的成本單價為3元，廠家全程滅菌保鮮包裝，然后按照每箱100杯冰橙裝箱（平均每杯冰橙的包裝費約增加1元），然后以每箱500元的價格整箱出售.結(jié)合市場需求及冰橙的夏季保鮮條件，廠家特制定如下促銷策略：若每天下午4點之前所生產(chǎn)的冰橙沒有售完，則對未售出的冰橙以每箱300元的價格出售（降價后能把剩余冰橙全部處理完畢，且當(dāng)天不再生產(chǎn)該種冰橙），根據(jù)廠家市場調(diào)研暫定每天最多加工7箱.（1）若某天該廠家加工了7箱該種冰橙，且被7家不同的門店購買，其中在下午4點之前售出的有5箱.現(xiàn)從這7家不同的門店中隨機選取2家贈送優(yōu)惠卡，則恰好一家是以500元購買的門店，另一家是以300元購買的門店的概率是多少？（2）該加工點統(tǒng)計了100天內(nèi)該種冰橙在每天下午4點之前的銷售量（單位：箱），結(jié)果如下表（視頻率為概率）：（箱）4567頻數(shù)（天）20302030求每天加工7箱該種冰橙的平均利潤.22.（本小題滿分12分）對于函數(shù).（1）若，且為奇函數(shù)，求的值；（2）若，方程恰有一個實根，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，，若對任意實數(shù)，當(dāng)時，滿足，求實數(shù)的取值范圍.2022年高一基礎(chǔ)學(xué)科知識競賽數(shù)學(xué)參考答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.A【解析】因為集合，所以，又集合，所以，故選A.2.C【解析】內(nèi)存在一條直線垂直于，則，反之也成立，故選C.3.B【解析】對于A：當(dāng)時，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，但當(dāng)時，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故A錯誤；對于B：∵，∴，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時等號成立，故B正確；對于C：由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，顯然不可能取到，故C不正確；對于選項D：∵，∴由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，但最小值不是2，故D錯誤.4.B【解析】因為冪函數(shù)的圖象過點，所以，解得.∴.，所以.因為為上的增函數(shù)，所以，故選B.5.D【解析】因為，所以，即，所以，即，所以，故選D.6.B【解析】平行四邊形中，因為，所以，又因為，所以，又因為，所以，，則，故選B.7.B【解析】∵，∴，∴，即，即，又且，則，∴，∴；∵，∴，則，即，則，∴，∴時，.8.B【解析】∵是奇函數(shù)，∴恒成立，即，則，解得，又∵，∴，則，所以，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性判斷得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減；由恒成立得，恒成立，則恒成立，所以恒成立，解得.故選B.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.ABD【解析】，，∴，故A正確；復(fù)數(shù)的虛部為2，故B正確；，故C錯誤；復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為在第四象限，故D正確.故選ABD.10.AD【解析】.對于A：的血象向右平移個單位得到，故A正確；對于B：當(dāng)時，，由，可得，或，即或，則在有且僅有2個零點.故B錯誤；對于C：由，，可得，則在上不單調(diào)遞增.故C錯誤；對于D：由，可得，則，，則在的最小值為.故D正確.故選AD.11.BD【解析】若兩次擲出的點數(shù)之和是4，由于每次擲出的點數(shù)都在1到6之間，所以第一次擲出的點數(shù)一定小于4，而“兩次擲出的點數(shù)相同”中的“”的點數(shù)之和等于4，故與不一定互斥，故A錯誤；“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”的對立事件是“兩次擲出的點數(shù)都是偶數(shù)點”，所以，故B正確；由于“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”的對立事件是“兩次擲出的點數(shù)都是偶數(shù)點”.故B與D不是對立的，故C錯誤；先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，兩次出現(xiàn)的點數(shù)組有種等可能的不同情況，第二次擲出的點數(shù)為偶數(shù)的情況有，，共18種不同情況，兩擲出的點數(shù)相同的情況有：，，，，，共6種，兩次擲出的點數(shù)相同且第二次擲出的點數(shù)為偶數(shù)的情況有，，，3種情況，所以，，，所以，所以獨立，故D正確.故選BD.12.ABD【解析】根據(jù)圖形的形成可知，三點在底面上的投影分別是三邊中點，，，如圖所示，對于A，面，∴就是直線與平面所成的角，∵是等邊三角形，∴，A正確；對于B，將幾何體補全為直三棱柱，如下圖示，∴多面體的體積為直三棱柱體積減去三個相同的三棱錐，∴由下圖知：，故B正確；對于C，因為且，故四邊形為平行四邊形，故，因為、分別為、的中點，則，故，∵平面，平面，∴平面，∵，平面，平面，∴平面，∵，所以，平面平面，因為過直線有且只有一個平面與平面平行，顯然平面與平面不重合，故平面與平面不平行，故C錯誤；對于D，由上面討論知，設(shè)是球心，球半徑為，由得，則是正四面體，棱長為1，設(shè)是的中心，則平面，又平面，所以，，則，又.所以球離球托底面的最小距離為，D正確.故選ABD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.【解析】由題意可得，，因為，所以，即，解得.14.2.45【解析】由題意可知：就是滿足的橫坐標(biāo)的值，因為對應(yīng)的頻率為，對應(yīng)的頻率為，對應(yīng)的頻率為，對應(yīng)的頻率為，對應(yīng)的頻率為，所以落在內(nèi)，設(shè)距離2.5的距離為，所以，所以，所以.15.【解析】，則，得：；令，得：；所以，分別為和與的圖像交點的橫坐標(biāo)，如圖所示：因為和互為反函數(shù)，所以和的圖像關(guān)于對稱，所以、兩點關(guān)于對稱.又、兩點均在的圖像上，所以，所以.16.（2分）（3分）【解析】不妨設(shè)，，，設(shè)在底面的射影為，分別作于點，于點，于點，則，，.依題意，為的內(nèi)心，則，故，又，，，所以，所以，令，，.底面的最長邊長為10，可得，解得，所以，，.設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，因為，即，解得，故，由，，得，所以，所以.設(shè)點到平面的距離為，由，，所以，所以；∵，∴點在以為直徑的圓上，取中點為，則以為直徑的圓的圓心為點，設(shè)三棱錐的外接球球心為點，連接，易知平面，又平面，則，過點作交于點，∵平面，平面，∴，即，∴四邊形為矩形，則，，在平面上建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，若點在線段上，則，，在直角中，即，解得，故點在線段的延長線上，則，同理可得，解得，所以三棱錐的外接球半徑為，三棱錐的外接球的直徑為.四、解答題（本題共6小題，共70分.，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.【解析】（1）∵在上的投影向量為，………（3分）∴.………………………（5分）（2），，∴.…………………………（10分）18.【解析】（1）二次函數(shù)，由，可得，是的兩個根，…………………（1分）所以，解得，，所以，………………（3分）因為，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，…………（5分）由對稱性可知，所以函數(shù)在上的最小值為.………………（6分）（2）設(shè)，因為，可得，不等式對任意的恒成立，即不等式對任意的恒成立，即不等式對任意的恒成立，…………（8分）所以對任意的恒成立，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以，……………………（10分）即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.…………（12分）19.【解析】（1）由正弦定理得，……（1分）由余弦定理得，…………（3分）所以，因為，所以.…………（5分）（2）由，則，故，，…（6分）而，則，可得，………………（8分）又，整理得，則，可得，……（10分）所以的面積為.…………（12分）20.【解析】（1）存在，取的中點，連接并延長與的延長線交于，則在面內(nèi)，為的中點，則為中點，在中，又面，面，……（3分）所以平面.……………………（4分）（2）設(shè)為中點，連接，，由題設(shè)且，即為平行四邊形，則，所以為等邊三角形，故，又為等腰梯形，則，所以，又，，易知：，……（6分）又，則面，面，故.又，所以，所以為直角三角形.………………（8分）（3）當(dāng)四棱錐的體積最大時，面面，則的高即為四棱錐的高，又為的中點，所以到面的距離，………………（10分）由（2）易知為邊長為4的菱形，又，所以.…………………（12分）21.【解析】（1）設(shè)這7家不同的門店分別是，其中4點前購買的門店是，4點以后購買的門店是，………………（1分）從這7家不同的門店中任選2家有21種選法：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.……………（3分）其中恰好一