263實踐與探索第三課時二次函數(shù)與方程不等式之間的關系（一）2021-2022華師大版九年級數(shù)學下冊教案

課題：26.3實踐與探索第三課時二次函數(shù)與方程、不等式之間的關系（一）＆.教學目標：1、會求二次函數(shù)與坐標軸的交點坐標。2、經(jīng)歷探索二次函數(shù)的對稱軸、頂點坐標、最值等情況的研究，掌握、、對于二次函數(shù)所起到的作用。3、了解二次函數(shù)與一元二次方程、一元一次不等式之間的關系。＆.教學重點、難點：重點：靈活地利用、、的性質(zhì)解決二次函數(shù)的相關問題。難點：了解二次函數(shù)與一元二次方程、一元一次不等式之間的關系。＆.教學過程：一、問題引入問題1：請作出下列三個函數(shù)的圖象。（1）；（2）；（3）．問題2：觀察圖象，并解決下列問題。（1）請你說出開口方向、對稱軸、頂點坐標及增減性？（2）圖象與軸的交點個數(shù)，分別是幾個交點？你知道圖象與軸的交點個數(shù)與什么有關嗎？二、探究新知探索：畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象回答下列問題。（1）圖象與軸、軸的交點坐標分別是什么？（2）當取何值時，？這里的取值與方程有什么關系？（3）取什么值時，函數(shù)值？取什么值時，函數(shù)值.教學方法：利用數(shù)形結合的思想，引導學生觀察分析，總結規(guī)律。解析：因為軸上的點的縱坐標為，所以二次函數(shù)的圖象與軸的交點即圖象上縱坐標為的點，它的橫坐標也就是方程的根，也就是說，當取或時，；這里的值就是方程的根；因為軸上的點橫坐標為，這個函數(shù)圖象與軸的交點，即時，求出的的值就是與交點的縱坐標.這個函數(shù)圖象在軸上方的部分的點，它的縱坐標都為正，所以當或時，；同理，當時，.答案：（1）圖象與軸的交點坐標為（，）、（，），與軸的交點坐標為（，）．（2）當或時，，的取值與方程的解相同。（3）當或時，；當時，．思考：通過上述圖象，請你思考下列問題。（1）二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)與、、有什么關系？（2）你能利用二次函數(shù)的圖象尋找方程，不等式或的解？教學方法：結合圖形，學生合作交流，教師引導學生歸納總結?！?歸納二次函數(shù)的性質(zhì)：1.決定拋物線的開口方向，當時，拋物線的開口向上，拋物線有最低點，函數(shù)有最小值，當時，；當時，拋物線的開口向下，拋物線有最高點，函數(shù)有最大值，當時，；2.、共同決定拋物線的對稱軸在軸的左側還是右側。當、同號時，對稱軸在軸的左側；當、異號時，對稱軸在軸的右側；3.決定拋物線與軸的交點情況.當時，拋物線與軸交點在軸正半軸；當時，拋物線經(jīng)過原點；當時，拋物線與軸交點在軸負半軸；4.、、共同決定拋物線與軸的交點情況.當時，拋物線與軸有兩個不同的交點，設一元二次方程（）的兩個實數(shù)根為、，則拋物線（）與軸的兩個交點、坐標分別為（，）、（，），利用根與系數(shù)之間的關系得；當時，拋物線與軸有一個交點；當時，拋物線與軸沒有交點；（拋物線與軸交點的橫坐標就是的根）5.一元二次不等式的解集可觀察對應二次函數(shù)的圖象得到：（）的解集實質(zhì)就是拋物線（）在軸上方的部分對應的自變量取值范圍，（）的解集實質(zhì)就是拋物線（）在軸下方的部分對應的自變量取值范圍。三、講解例題，鞏固新知§.例1、根據(jù)圖象，在下列表格中填上“”、“”、“”.（1）；（2）；（3）；（4）.-1xy圖11解析：觀察圖象的開口方向，對稱軸位置，圖象與軸的交點情況，可以依次確定出、、-1xy圖11解：如圖可得：，，得：由拋物線與軸有兩個交點得：再由，得：.同步練習：二次函數(shù)的圖象過原點，求的值？若拋物線的頂點在軸上，那么的值呢？方法歸納：結合圖象判斷二次函數(shù)的解析式中待定系數(shù)及有關代數(shù)式的符號，通常須觀察開口方向、對稱軸的位置、與軸交點的個數(shù)以及與軸交點的大概位置等?！?例2、已知函數(shù)，其中，，.試問：（1）拋物線的對稱軸在軸的左側還是右側；（2）拋物線同軸有無交點？若有，請求出交點坐標；（3）拋物線同軸的交點在軸上方還是下方。解析：（1）由，，得：對稱軸在軸的左側；（2）由得拋物線同軸有交點，交點坐標為（，）（3）拋物線同軸的交點（，），由得拋物線同軸的交點在軸下方?！?例3、若拋物線的圖象經(jīng)過二、三、四象限，且不過原點。（1）頂點在第幾象限？（2）（，）在第幾象限.解析：（1）第二象限；（2）第一象限。同步練習：拋物線過一、二、三象限，且不過原點。（1）頂點在第幾象限？（2）點（，）在第幾象限.§.例4、二次函數(shù).（1）求證：無論為何值，它們的圖象與軸一定有兩個交點；（2）取何值時，這兩個交點恰在原點左右兩側；（3）取何值時，它的對稱軸是軸；（4）為何值時，它的圖象在軸截取的線段長是.解析：（1）由得無論為何值，它們的圖象與軸一定有兩個交點。（2）設拋物線與軸的兩交點坐標為（，）、（，）若交點在原點的兩側，則得：，解得：（3）若對稱軸為軸，則，解得：.（4）它的圖象在軸截取的線段長是，則，解得.同步練習：已知二次函數(shù).（1）試說明：不論取何值，這個二次函數(shù)的圖象必與軸有兩個交點；（2）為何值時，這個二次函數(shù)的圖象的對稱軸是軸；（3）為何值時，這兩個交點都在原點的左側？§.例5、二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：（1）寫出方程的兩個根；（2）寫出不等式的解集；（3）寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍；（4）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍。xOy圖22312解析：（1）根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關系，結合圖象可得；（2）不等式的解集實際上就是判斷在自變量取什么值時函數(shù)值大于；（3）由二次函數(shù)的圖象特征可判斷；（4）觀察拋物線與平行于軸的直線xOy圖22312解：（1），；（2）；（3）；（4）.變式訓練：拋物線與交于點（，）.（1）求出的值并畫出這條拋物線；（2）求它與軸的交點和拋物線的頂點坐標；（3）取什么值時，拋物線在軸的上方；（4）取什么值時，隨的增大而減小.歸納：拋物線與軸的交點的橫坐標就是對應一元二次方程的根，軸上方的圖象對應的自變量的范圍就是不等式的解集；一元二次方程的解一般是觀察拋物線與軸的交點，也可能觀察拋物線與直線的交點；同一拋物線上縱坐標相等的點關于該拋物線的對稱軸對稱。四、鞏固練習1、教材練習2、解答下列各題.（1）已知拋物線與軸相交于兩點，求的取值范圍。（2）已知二次函數(shù)的圖象的最低點在軸上，求的值。（3）已知拋物線與軸交于兩點（，），（，），且，求的