2016屆湖南省長沙市長郡高考模擬卷（一）數學（理）試題

2016屆湖南省長沙市長郡高考模擬卷（一）數學（理）試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數（是虛數單位）是純虛數，則實數的值為（）A．-4B．-1C．1D．42.以下四個命題，正確的是（）①從勻速傳遞的產品生產流水線上，質檢員每10分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②兩個隨機變量相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1；③在回歸直線方程中，當變量每增加一個單位時，變量一定增加0.2單位；④對于兩分類變量與，求出其統(tǒng)計量，越小，我們認為“與有關系”的把握程度越小.A．①④B．②③C．①③D．②④3.在如圖所示的程序框圖中，若輸出的值是3，則輸入的實數的取值范圍是（）A．B．C．D．4.某幾何體的正（主）視圖和側（左）視圖如圖（1），它的俯視圖的直觀圖是矩形如圖（2），其中，則該幾何體的側面積為（）A．64B．80C．96D．1285.將函數的圖象向左平移個單位后得到函數的圖象，若對滿足的，有，則（）A．B．C．D．6.長郡早上8點開始上課，若學生小典與小方均在早上7:40至8:00之間到校，且兩人在該時間段的任何時刻到校都是等可能的，則小典比小方至少早5分鐘到校的概率為（）A．B．C．D．7.已知函數，函數，若存在實數使得關于的方程有且只有6個實數根，則這6個根的和為（）A．B．6C．12D．8.在菱形中，，，將折起到的位置，若三棱錐的外接球的體積為，則二面角的正弦值為（）A．B．C．D．9.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作圓的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點，且，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．10.已知點，平面區(qū)域由所有滿足的點組成的區(qū)域，若區(qū)域的面積為8，則的最小值為（）A．B．2C．4D．811.已知數列滿足，是其前項和，若，且，則的最小值為（）A．B．3C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知集合，，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍為.14.在等差數列中，為數列的前項和，為數列的公差，若對任意，都有，且，則的取值范圍為.15.設橢圓與函數的圖象相交于兩點，若點在橢圓上，且直線的斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是.16.已知（，且）可以得到幾種重要的變式，如：，將賦給，就得到，…，進一步能得到：.請根據以上材料所蘊含的數學思想方法與結論，計算：.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（本小題滿分12分）已知函數.（1）求函數的單調遞增區(qū)間；（2）在中，內角的對邊為，已知，，求的面積.18.（本小題滿分12分）《環(huán)境空氣質量指標（）技術規(guī)定（試行）》如表1：表1：空氣質量指標分組表表2是長沙市某氣象觀測點在某連續(xù)4天里的記錄，指數與當天的空氣水平可見度的情況.表2：表3是某氣象觀測點記錄的長沙市2016年1月1日至1月30日指數頻數統(tǒng)計表.表3：（1）設，根據表2的數據，求出關于的回歸方程；（2）小李在長沙市開了一家小洗車店，經小李統(tǒng)計：指數不高于200時，洗車店平均每天虧損約200元；指數在200至400時，洗車店平均每天收入約400元；指數大于400時，洗車店平均每天收入約700元.（?。┯嬎阈±畹南窜嚨暝诋斈?月份每天收入的數學期望.（ⅱ）若將頻率看成概率，求小李在連續(xù)三天里洗車店的總收入不低于1200元的概率.（用最小二乘法求線性回歸方程系數公式，.）19.（本小題滿分12分）如圖所示，異面直線互相垂直，，，，，，截面分別與相交于點，且平面，平面.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.20.（本小題滿分12分）如圖，拋物線的焦點為，取垂直于軸的直線與拋物線交于不同的兩點，過作圓心為的圓，使拋物線上其余點均在圓外，且.（1）求拋物線和圓的方程；（2）過點作傾斜角為的直線，且直線與拋物線和圓依次交于，求的最小值.21.（本小題滿分12分）已知函數，，當時，（1）求證：；（2）若恒成立，求實數的取值范圍.請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，是圓的直徑，弦交于，，，.（1）求圓的半徑；（2）求線段的長.23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程已知曲線的極坐標方程是，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數方程是（是參數）.（1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）若直線與曲線相交于兩點，且，求直線的傾斜角的值.24.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講關于的不等式.（1）當時，解此不等式；（2）設函數，當為何值時，恒成立？參考答案選擇題DDACDACCCCDB可求，，即，代入雙曲線可求，則.法二：由定義，，在中，，化簡求得，則.法三：由雙曲線定義得，，設切點為，在中，，過作垂直直線于點，則，，∴，∴，即，則.10．【解析】由，知，設與的夾角為，則，所以，又由題意平面區(qū)域的面積，解得，∴，∴.選C.11．【解析】由已知：，則：，，，，…，，，則：，則：，∴，選D.12．【解析】因為是方程的根，且是重根，則，即得，由，則，又由，則，，則，令，則，當時，，所以在上是減函數，而，當時，，所以在上是減函數，選擇B.填空題13.14.15.16.【解析】由，得，，所以.三、解答題17.令，所以的單調遞增區(qū)間為.（2）由，，又，，因此，解得：.由正弦定理：，得，又由，可得，故.18．【解析】：（1），，，，所以，，所以關于的回歸方程是.（2）由表3知不高于200的頻率為0.1，指數在200至400的頻率為0.2，指數大于400的頻率為0.7.設“洗車店每天虧損約200元”為事件A，“洗車店每天收入約400元”為事件B，“洗車店每天收入約700元”為事件C，則，，，（?。┰O洗車店每天收入為元，則的分布列為則的數學期望為（元）.（ⅱ）由（?。斑B續(xù)三天洗車店收入不低于1200元包含五種情況”，則“連續(xù)三天洗車店收入不低于1200元”的概率：.19．【解析】（1）∵平面，又∵平面，平面平面，∴，同理，∵，∴，∴，同理，∴，同理，又∵是平面內的兩相交直線，∴平面.（2）由（1）及異面直線互相垂直知，直線兩兩垂直，作，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，∵軸平面，∴平面的一個法向量可設為，∵，∴，得：，即，又∵軸平面，∴平面的一個法向量可設為，∴，得，即，設二面角的大小為，那么，∴，∴二面角的正弦值為.20．【解析】（1）因為拋物線的焦點為，所以，解得，所以拋物線的方程為.由拋物線和圓的對稱性，可設圓，∵，∴是等腰直角三角形，則，∴，代入拋物線方程有.由題可知在處圓和拋物線相切，對拋物線求導得，所以拋物線在點處切線的斜率為.由，知，所以，代入，解得.所以圓的方程為.（2）設直線的方程為，且，圓心到直線的距離為，∴，由，得，設，則，由拋物線定義知，，所以，設，因為，所以，所以，所以當時，即時，有最小值.21.要證時，，只需證明.記，則，當時，，因此在上是增函數，故，所以.要證時，，只需證明，記，則，當時，，因此在上是增函數，故，所以，.綜上，，.（2）（解法一）.設，則，記，則，當時，，于是在上是減函數，從而當時，，故在上是減函數，于是，從而，所以，當時，在上恒成立.下面證明，當時，在上不恒成立，.記，則，當時，，故在上是減函數.于是在上的值域為.因為當時，，所以存在，使得此時，即在上不恒成立.綜上，實數的取值范圍是.（解法二）先證當時，.記，則，記，則，當時，，于是在上是增函數，因此當時，，從而在上是增函數，因此.所以當時，.同理可證，當時，.綜上，當時，.因為當時，，所以當時，在上恒成立.下面證明，當時，在上不恒成立，因為.所以存在（例如取和中的較小值）滿足.即在上不恒成立.綜上，實數的取值范