關(guān)于人教版教材中因數(shù)與倍數(shù)教學(xué)的困惑與思考

關(guān)于人教版教材中“因數(shù)與倍數(shù)”教學(xué)的困惑與思考

人教版數(shù)學(xué)教材中“因數(shù)與倍數(shù)”單元主要涉及“倍數(shù)與因數(shù)”“2、5、3的倍數(shù)的特征”“質(zhì)數(shù)和合數(shù)”三個(gè)小節(jié)的教學(xué)內(nèi)容。這一單元是傳統(tǒng)內(nèi)容，似乎應(yīng)該是教師駕輕就熟的，然而由于實(shí)驗(yàn)教材的變化較大，教師在教學(xué)時(shí)出現(xiàn)了很多困惑。本文擬從解讀教材入手，提出若干教學(xué)實(shí)施建議，以供廣大教師參考。一、教材變化引發(fā)的教學(xué)困惑這一單元的教學(xué)，無論是編排思路、呈現(xiàn)方式、例題練習(xí)，還是目標(biāo)要求，較之于原教材均有較大改變。由此引發(fā)的教學(xué)困惑是：①課時(shí)減少，是否會(huì)影響學(xué)生知識(shí)的掌握、技能的形成、能力的發(fā)展？②不出現(xiàn)“整除”“互質(zhì)數(shù)”概念，是否會(huì)出現(xiàn)教學(xué)尷尬？③技能要求降低，會(huì)對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響嗎？④“最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)”教學(xué)后移，導(dǎo)致知識(shí)難以銜接怎么辦？二、思考與建議面對(duì)這些困惑，會(huì)有兩種極端的做法。一種認(rèn)為教材是專家編寫的，完全照搬教材思路即可；另一種則認(rèn)為，不管教材怎么變，按老教材老教法教就不會(huì)出現(xiàn)偏差。筆者以為，用“接納、布白、完善、拓展”的思路，不失為“因數(shù)與倍數(shù)”單元教材處理的好策略。1.接納——尊重教材，回歸本質(zhì)尊重教材、接納教材是我們教材研讀的基本理念。深入研讀教材，理清編排意圖，才能將教材提供的教學(xué)思路轉(zhuǎn)化為自己的教學(xué)策略。(1)尊重教材，不隨意增加概念以因數(shù)與倍數(shù)的教學(xué)為例，因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)積累了豐富的區(qū)分整除和有余數(shù)除法的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)整除的含義能夠清晰地理解，不出現(xiàn)“整除”的定義并不會(huì)影響對(duì)其他概念的理解。［案例］“因數(shù)與倍數(shù)”教學(xué)片段①拼組長(zhǎng)方形，引出乘法算式。a。布置活動(dòng)要求。師：請(qǐng)同學(xué)們拿出信封，里面有12個(gè)小正方形，請(qǐng)你們用這12個(gè)小正方形擺成不同的長(zhǎng)方形，再用乘法算式表示你擺的圖形。b.學(xué)生擺長(zhǎng)方形，寫乘法算式。c.匯報(bào)。算式是：12×1=12或1×12=12。②結(jié)合算式，引出因數(shù)和倍數(shù)的概念。師：同學(xué)們用12個(gè)正方形擺出了三個(gè)長(zhǎng)方形。先看第一個(gè)，用12個(gè)小正方形可以擺2行，每行6個(gè)，算式是2×6＝12，6×2＝12。我們就可以說2和6是12的因數(shù)；12是2的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)。（板書：2和6是12的因數(shù)。12是2的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)）今天這節(jié)課我們就學(xué)習(xí)“因數(shù)和倍數(shù)”。（出示課題）師：第二個(gè)長(zhǎng)方形，擺了3行，每行4個(gè)。同學(xué)們，你們能像這樣來說說嗎？生：3和4是12的因數(shù)，12是3的倍數(shù)，也是4的倍數(shù)。師：繼續(xù)觀察第三種情況，全班一起說一說。師：現(xiàn)在知道12的因數(shù)有哪些呢？生：2、6、3、4、1、12。（師板書）③呈現(xiàn)變式，加深理解。用剛才的話說一說誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)。出示：5×6=30;72÷9=8;0.5×4=2;a×b=c（a、b、c均為不等于0的整數(shù)）。［分析］這一案例中，倍數(shù)與因數(shù)的概念是在自然數(shù)（一般不包括0）的乘法算式上教學(xué)的。通過三道乘法算式，學(xué)生明白了倍數(shù)關(guān)系和因數(shù)關(guān)系。尤其值得我們學(xué)習(xí)的是，此案例中，教師通過一組變式題的辨析，加深了因數(shù)與倍數(shù)意義的理解。通過“72÷9=8”，讓學(xué)生在除法算式中理解被除數(shù)是除數(shù)和商的倍數(shù)，除數(shù)和商都是被除數(shù)的因數(shù)；通過“0.5×4=2”讓學(xué)生明白乘法算式中的三個(gè)數(shù)都必須是整數(shù)：通過“a×b=c”，進(jìn)行抽象概括，使概念的建立從特殊走向一般，從具體走向抽象。這樣，通過這一組算式的辨析，大大擴(kuò)大了倍數(shù)與因數(shù)概念的背景，學(xué)生對(duì)倍數(shù)關(guān)系和因數(shù)關(guān)系的認(rèn)識(shí)得到進(jìn)一步深入，彌補(bǔ)了不出現(xiàn)“整除”概念帶來的弊端。(2)尊重教材，不隨意拔高要求降低技能要求，不出現(xiàn)用短除法“分解質(zhì)因數(shù)”、用短除法求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)等教學(xué)思路，筆者以為都是正確的，意在重質(zhì)因數(shù)、公因數(shù)、公倍數(shù)、最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)等概念意義的本質(zhì)理解。以往的教學(xué)，很多學(xué)生雖能熟練地用短除法求得結(jié)果，對(duì)于什么是最大公因數(shù)，為什么這樣除，不知其然，更不知其所以然。至于用枚舉方法費(fèi)時(shí)費(fèi)力，其原因是由于教師往往按照教學(xué)慣性，超越教材難度，出一些數(shù)據(jù)較大的分?jǐn)?shù)加減法，致使學(xué)生陷入困境。事實(shí)上，如果遵照教材要求，只需掌握較簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)加減法即可，因此，并不存在影響后續(xù)學(xué)習(xí)的問題。當(dāng)然，如果基于意義理解，著眼于質(zhì)數(shù)合數(shù)的意義，掌握分解質(zhì)因數(shù)的方法，也是一種較好的思路。在質(zhì)數(shù)合數(shù)的意義教學(xué)之后，引導(dǎo)學(xué)生將30寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式，對(duì)于質(zhì)數(shù)意義的理解是十分有利的，此時(shí)，適時(shí)提煉為“分解質(zhì)因數(shù)”。這樣的教學(xué)處理依然是倡導(dǎo)的，而不是讓學(xué)生機(jī)械地操練短除法。2.布白——提供空間，探索互動(dòng)毋庸置疑，實(shí)驗(yàn)教材較之于老教材，例題和練習(xí)的思考性大大增加。［案例］質(zhì)數(shù)合數(shù)的教學(xué)，要求找出100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，做一個(gè)質(zhì)數(shù)表。這樣具有探索性、開放性的任務(wù)，為學(xué)生鞏固知識(shí)，促進(jìn)交流提供了很好的素材。需要我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)給予學(xué)生充分的思考、交流時(shí)間。下面是學(xué)生獨(dú)立解決問題之后的反饋交流：師：說說你們是怎樣找的？生：我是按照質(zhì)數(shù)的概念一個(gè)一個(gè)地進(jìn)行判斷，是質(zhì)數(shù)的用一種符號(hào)，是合數(shù)的用另一種符號(hào)。（展示學(xué)生作業(yè)：質(zhì)數(shù)用○標(biāo)示，合數(shù)用△）生：我是將質(zhì)數(shù)留下，其余都劃去。（展示作業(yè)）師：你是把質(zhì)數(shù)留下，其余的數(shù)都劃去。你是怎么劃的呢？生：我先把所有的偶數(shù)劃去。學(xué)生話沒說完，其余紛紛舉手：不對(duì)，2不能劃去。生糾正：我剛才說錯(cuò)了，應(yīng)該把2留下，因?yàn)?是質(zhì)數(shù)，其余的偶數(shù)都劃去；接著把3留下，因?yàn)?是質(zhì)數(shù)，其他3的倍數(shù)都劃去；把5留下，其他5的倍數(shù)都劃去；把7留下，其他7的倍數(shù)都劃去……生：把11留下，其他11的倍數(shù)都劃去。生：22、33、44、55、66、77、88、99前面都已經(jīng)劃去了。生：不用了！（師根據(jù)學(xué)生回答點(diǎn)擊課件）師：現(xiàn)在我們已經(jīng)完成了100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表，你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？生：我發(fā)現(xiàn)，除了2和3，其余的質(zhì)數(shù)都在第一列和三列、第七列和第九列。生：我發(fā)現(xiàn)1到20有8個(gè)質(zhì)數(shù)，可80到100只有3個(gè)質(zhì)數(shù)，以后的質(zhì)數(shù)會(huì)不會(huì)越來越少？師：是不是有這樣的規(guī)律呢，同學(xué)們下課后可以繼續(xù)研究。［分析］在質(zhì)數(shù)表的制作中，布置了較為整合的任務(wù)，學(xué)生由低層次的根據(jù)概念逐個(gè)判斷，到利用“2、3、5整除數(shù)的特征”巧妙劃去合數(shù)，方法層次逐級(jí)提高。制作完質(zhì)數(shù)表之后，又引導(dǎo)學(xué)生觀察質(zhì)數(shù)表的規(guī)律，從而培養(yǎng)學(xué)生觀察、推理的能力。由此可以發(fā)現(xiàn)，整體的任務(wù)、有效的思考與交流，既著力于鞏固知識(shí)（質(zhì)數(shù)、合數(shù)概念的本質(zhì)），又培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。3.完善——調(diào)整補(bǔ)充，彌補(bǔ)不足當(dāng)然，教材編寫時(shí)往往只是對(duì)學(xué)生做共性化的考慮，教學(xué)時(shí)，教師完全可以結(jié)合所教學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行個(gè)性化的處理?；蚋鼡Q例題，或調(diào)整順序，或增加補(bǔ)充，或刪減處理，使教學(xué)更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。(1)調(diào)整順序根據(jù)幾輪的教學(xué)實(shí)踐，教師們經(jīng)過實(shí)驗(yàn)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)將最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)提前教學(xué)是十分有利的。原因有三：首先，最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)在分?jǐn)?shù)單元教學(xué)難度加大；其次，求因數(shù)、倍數(shù)的練習(xí)中已有所滲透，學(xué)生已有了充分感知，可謂水到渠成，是否有必要后置？第三，更有利于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善。原因之一前面已有說明，不再贅述。原因之二，在求因數(shù)、倍數(shù)的練習(xí)中（見人教版五年級(jí)下冊(cè)P.15練習(xí)二）學(xué)生求得36的因數(shù)、60的因數(shù)之后，只需順勢(shì)提問：這兩個(gè)數(shù)公有的因數(shù)是幾。“公因數(shù)”的概念可謂呼之欲出，卻要按下不表，“且聽下回分解”。公倍數(shù)的教學(xué)也是如此。更為重要的是，因數(shù)與倍數(shù)、公因數(shù)與公倍數(shù)、最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)幾組概念之間具有緊密聯(lián)系。將這些概念分多個(gè)階段教學(xué)，顯然人為割裂了知識(shí)結(jié)構(gòu)，并不利于知識(shí)的遷移與建構(gòu)。(2)習(xí)題完善部分練習(xí)與例題的匹配性不強(qiáng)，練習(xí)時(shí)機(jī)欠妥，根據(jù)教學(xué)需要，也可進(jìn)一步完善。如人教版五年級(jí)下冊(cè)P21練習(xí)三第6題：分析學(xué)生的解決思路，究竟是運(yùn)用3的倍數(shù)特征解決問題，還是運(yùn)用余數(shù)知識(shí)解決問題？顯然，由于數(shù)據(jù)較小，運(yùn)用口算“22÷3=7……1”，就可以得出“至少來2人才能正好分完”的結(jié)論，3的倍數(shù)特征在解決此問題時(shí)毫無用武之地。因此，我們可以將情境、數(shù)據(jù)進(jìn)行更換。只有數(shù)據(jù)足夠大時(shí)，利用3的倍數(shù)特征解決問題才更具有必要性。同樣是3的倍數(shù)特征教學(xué)，新課教學(xué)之后，“做一做”中出現(xiàn)“既是2和5的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)的最小三位數(shù)是多少”一題。這不失為一個(gè)綜合應(yīng)用知識(shí)的好練習(xí)，但是，教學(xué)時(shí)機(jī)的把握顯然欠妥。學(xué)生探究特征之后，基本技能尚未形成，知識(shí)能力并不具備解決此綜合性強(qiáng)的問題，建議在練習(xí)課中作為綜合練習(xí)進(jìn)行。這也引導(dǎo)我們?cè)诮滩难凶x與使用時(shí)，要關(guān)注習(xí)題與例題的匹配性，分清習(xí)題的層次。4.拓展——豐富目標(biāo)，發(fā)展思維在達(dá)成基本目標(biāo)的同時(shí)，如何豐富教學(xué)目標(biāo)？如何發(fā)展學(xué)生的思維？如何對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)有一定的滲透？這依然是“因數(shù)與倍數(shù)”單元需要思考的問題。以“因數(shù)與倍數(shù)”教學(xué)為例。在掌握倍數(shù)概念及求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法之后，我們可以設(shè)計(jì)如下練習(xí)。在下表中，把4的倍數(shù)涂上顏色。從表中可知，9的倍數(shù)都是()的倍數(shù)。完成以上任務(wù)之后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)反思：完成以