小學奧數(shù)之排列組合問題

數(shù)問題教學目標.使學生正確理解列、組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問題；.了解排列、排列和組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列或組；.掌握排列組合的算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關系；.會、分析與數(shù)字關的計數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運用，培養(yǎng)學生的抽象能和邏輯思維能力；通過本講的學習對列組合的一些計數(shù)問題進行歸納總結點掌握排列與組合的聯(lián)系和區(qū)別并掌握一些排列組合技巧，如捆綁法、擋板法等。.根據(jù)不同題目靈運用計數(shù)方法進行計數(shù)。知識點撥：例題精講：一、

排列組合的應用【1新阿等個學像分別出下條下多種法（1）個排一；（2）個排一，新須在間（3）個排一，新阿必有人在間.（4）個排一，新阿必都在邊.（5）個排一，新阿都有在上.（6）個戰(zhàn)兩，排人后四.（7）個戰(zhàn)兩，排人后四.小、呆在一排【解析】（1

（（2只需排其余個人站剩下的6個置．P720（.（3先確定中間的位置站誰，冉排剩下的個置．×=1440(種．（4先排兩邊，再排剩下的5位置，其中兩邊的小新和阿呆還可以互換位置．2240(種)．（5先排兩邊，從除小新、阿呆之外的個中選，再排剩下的5個人，P

（種）（6七個人排成一排時7個置就是各不相同的．現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個人個位置還是各不相同的，所以本題實質(zhì)就是7個素的全排列．P

（）（7可以分為兩類情況新前阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后種情況是對等的，所以只要求出其中一種的排法數(shù)，再乘以即可．4××情況再去全排列。

P

×2=種)排隊問題，一般先考慮特殊【212、、、可組多個有復字個是5的三數(shù)【析個位字已知問題變成從從個素中取個素的排列問題已知，m根排列數(shù)公式，一共可以組成

20(個符題意的三位數(shù)?！竟逃?、、、、這個字組多個大且位字是3的重數(shù)的位？【解析】可以兩類來看：⑴把3排最高位上，其余個可以任意放到其余個位上，是4個元素全排列的問題，有P

(種)放，對應24個不同的五位數(shù)；⑵把，4放在最高位上，有3種擇，百位上有除已確定的最高位數(shù)字和3之的個數(shù)字可以選擇，有選擇，其余的個字可以任意放到其余個數(shù)位上，有以組成354(個不的五位數(shù)。由加法原理，可以組成2454(個不的五位數(shù)。

種擇．由乘法原理，可【固用到9個字組沒重數(shù)的位若將這四數(shù)從到的序列則是幾數(shù)【析從高到低位逐層分類：⑴千位排，2，3或4時，千位有種擇而、十、個位可以~中千位已確定的數(shù)字之

2外的9數(shù)字中選擇，因為數(shù)字不重復，也就是從個素中取的排列問題，所以百、十、2有

(種排列方式．由乘法原理，有4504(個)．⑵千上排，位上排4時千位有種擇，百位有種擇，十、個位可以從剩下的八個數(shù)字中選擇．也就是從8素中取2個排列問題，即P(個)．

，由乘法原理，有⑶千上排5，位上排，位上排，2，，4，7時個位也從剩下的七個數(shù)字中選擇，有42(個)．⑷千上排5，位上排，位上排8時，比小數(shù)的個位可以選擇0，，2，3，4共5個綜上所述，比小四位數(shù)有2016280422343(個)，故比小第2344個位數(shù)．【3、、、4、這五數(shù)，許復位不，寫多個3的倍數(shù)【解析】按位來分類考慮：⑴一數(shù)只有個3；⑵兩數(shù)：由與，15，與4，4與四數(shù)字組成，每一組可以組成P兩位數(shù)，共可組成()同的兩位數(shù)；

(個不同的⑶三數(shù)：由1，2與3；1，3與5，4；3，與四組數(shù)字組成，每一組可以組成P(個不的三位數(shù)，共可組成6(個不的三位數(shù)；⑷四數(shù)：可由1，2，，5這四個數(shù)字組成，有

24()不同的四位數(shù)；⑸五數(shù)：可由1，2，，，組，共有(個不的五位數(shù)．由加法原理，一共有24(個)能被3整的數(shù)，即的數(shù)．【固用1、345、六張數(shù)卡，次三卡組三數(shù)一可組多少不的數(shù)【析由于成偶數(shù)個上的數(shù)應從2，4，中一張有種法十和百位的數(shù)可以從剩下的張中選二張，有

20(種選．由乘法原理，一共可以組成(個不同的偶數(shù)．【4管員記自小險的密數(shù)，記是四非數(shù)碼成且個碼和，么保開險至要幾？【解析】四個0數(shù)之和等于組合有1，，，；1，，51，1，3，；1，2，41，2，3，3，，2，種。第一種中，可以組成多少個密碼呢？只要考慮6的置就可以了，6可任意選擇個置中的一個，其余位置放1，有種擇；第二種中慮選擇慮5的置有種選擇的位置放4()選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各種選擇．最后一種，與第一種的情形相似3的置有4選擇，其余位置放2，有種擇．綜上所述，由加法原理，一共可以組成4(個)不同的四位數(shù)，即確保能打開保險柜至少要試56次【5對胞喜逢他圍在桌旁要每人不自的胞妹鄰(同一位置上不同人不的法，么有多種同坐？【解析】第一位置在個中任選一個，有

(種)選，第二個位置在另一胞胎的人任選一個，有種)法．同理，第，4，5個置依次有2，，11種選法．由乘法原理，不同的坐法有PPPPP(種?！?種子在時分秒時的示624，么8時到時段間，此的個數(shù)字都相的刻共多個【解析】設:是足題意時刻，有A8、D應，1，，4，這數(shù)字中選擇兩個不同的DE數(shù)字，所以有P種選法，而、應從剩下的個字中選擇兩個不同的數(shù)字，所以有P種法，所6以共有

P×P7

=1260種法。從到9時段時間里，此表的個數(shù)字都不相同的時刻一共有1260?！?個位能整除它各數(shù)非且互相的將個位的6個字新列最少能出少能11整除六數(shù)【解析】設這六位數(shù)為abcdef，則有()、()均不為，任何一個數(shù)作為首位都是一個六位數(shù)。

的差為0或的數(shù)．且a、c、d、f

先考慮a、c、e偶位內(nèi)b、、奇位內(nèi)的組內(nèi)交換，有

P3×P33

=36種序；再考慮形如badcfe這種奇數(shù)位與偶數(shù)位的組間調(diào)換，也有×=36種序。3所以，用均不為bcdef最可排出+36個能被11除的數(shù)包原來的所以最少還能排出-=個能被11整的六位數(shù)。

)?！?知由、、、、共5名同進的工作賽，出第至第名名．、乙名賽去問績回者甲“遺，和乙未到軍對說你然會是差”這回分，人名排共多種同的況【解析】這道乍一看不太像是列問題，這就需要靈活地對問題進行轉(zhuǎn)化．仔細審題，已知“甲和乙都未拿到冠軍且“乙不是最差的等于人成一排，甲、乙都不站在排頭且乙不站在排尾的排法數(shù)，因為乙的限制最多，所以先排乙，有種排法，再排甲，也有排法，剩下的人隨意排，有P

(種排法．由乘法原理，一共有54(種不同的排法。【94名男，5名女，體成行問列形有少不的法⑴甲在間不兩；⑵甲乙人須在端⑶男女分排一；⑷男相．【析⑴先甲，9個置除了中間和兩端之外的個置都可以，有選擇，剩下的8個隨意排也是個素全排列的問題共有40320(種排法．

(種選乘法原理，⑵甲乙先排，有P

(種排；剩下的7個隨意排，有

(種排．由乘法原理，共有(種)排法．⑶分把男生、女生看成一個整體進行排列，有P(種不同列方法，再別對男生、女生內(nèi)部進行排列，分別是個素與5個素的全排列問題，分別有P24(種和(種排法．由乘法原理，共有5760(種排．⑷先4名生，有P(種排法，再把5女生排到個檔中，有P(種排．由乘法原理，一共有2880(種排法?！竟涛逋鐘W會祥物娃貝晶、歡迎和妮排一表節(jié)目如貝和妮相，有）種同排?！窘馕觥课逦粚W的排列方式共××3××1（種如果將相鄰的貝貝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有×3××1（種因為貝貝和妮妮可以交換位置，所以貝貝和妮妮相鄰的排列方式有24×=(種；貝貝和妮妮不相鄰的排列方式有120-4872種【10一晚上個演節(jié)和個舞節(jié)．：⑴當4舞蹈目排一時有少同安節(jié)的序⑵當求2個舞節(jié)目間少排個唱目，共多不的排目的序【析⑴先4個蹈節(jié)目看成1個目，與個演唱節(jié)目一起排，則是個元素全排列的問題，有【析P

(種)方．第二步再排個蹈目，也就是4個蹈節(jié)【析目排列的問題，有P(種)方．根據(jù)乘法原理，一共有120960()方法．⑵首將6個唱節(jié)目排成一列如下圖中的eq\o\ac(□,“)”)是元素全排列的問題，一共有6!(種)方法．×□×□×□×□×□×□×第二步，再將個蹈節(jié)目在一頭一尾或個唱節(jié)目之(即上圖中“×”的位)這相當于從7個×”中選4個排，一共有840(種)方法．根據(jù)乘法原理，一共有720(種)方法。【固由個不的唱目不的唱目成一晚，求意個唱目相，始最一節(jié)必是唱則臺會目編方共多種？【析先排唱節(jié)目，四個節(jié)目隨意排是個素全排列的問題，有24種排法；其次在獨

唱節(jié)目的首尾排合唱節(jié)目，有三個節(jié)目，兩個位置，也就是從三個節(jié)目選兩個進行排列的問題有

(種)排法；再在獨唱節(jié)之間的個置中排一個合唱節(jié)目有種法．由乘法原理，一共有24432()同的編排方法．【結排中，我們可以先排條件限制不多的元素，然后再排限制多的元素．如本題中，獨唱節(jié)目好之后，合唱節(jié)目就可以采取“插空”的方法來確定排法了．總的排列數(shù)用乘法原理．把若干個排列數(shù)乘，得出最后的答案?！?1⑴，，，8中任個數(shù)成重數(shù)的三數(shù)共多個（要列）⑵位候選中選位別團書組委，傳員，有少不的法⑶位學個座位每座坐1人，有種法⑷個坐個位每座坐1人，共有少坐？⑸火站股道停3列火，多種同停方？⑹種同菜，選種種不土的塊地，多少不的法【析⑴按序，有百位、十位、個位個位置個數(shù)字個元素）取出往上排，有P

種．⑵3種務3個位置，從8位選人（個元素）任取3位往上排，有種⑶3位學看成是三個位置，任取8個位號8元素）中的個上排（座號找人定一種號碼即對應一種坐法，有

種．⑷3個位排號，2三位置，從人任取3個上排（人找座位⑸3列車編為，2號從8股道中任取股上排，共有種．

種．⑹土地編1，，3號，從8種籽中任選3種上排，有種?！竟态F(xiàn)男學3人女學4人(女學有人王)從選男同學，別加學英、樂美四興?。?有少選?)中加術組是同的法多種?)加學組不女學紅選有少種)加學組不女學紅且加術小的女學選有少?【析（）從3個男同學中選出2人有

34=種法。從4個女同學中選出人有=6種選法。22在四個人確定的情況下，參加四個不同的小組有×××種選法。××24432，所以共有種法。（2在四個人確定的情況下，參加美術小組的是女同學時有×××1種選法?！痢?2216，所以其中參加美術小組的是同學的選法有216種（3考慮參加數(shù)學小組的是王紅時的選法，此時的問題相當于從3男同學中選出2人，從女同學中選出人，3個參加3個組時的選法?！痢?×2×154所以參加數(shù)學小組的是王紅時的選法有54，=378所以參加數(shù)學小組的不是女同學王紅的選法有種（4考慮參加數(shù)學小組的是王紅且參加美術小組的是女同學時的選法，此時的問題相當于從3個同學中選出人參加兩個不同的小組，3個同學中選出參加美術小組時的選法。××3，所以參加數(shù)學小組的是紅且參加美術小組的是女同學時的選法有種，21618=198，所以參加數(shù)學小組的不是女同學王紅，且參加美術小組的是女同學的選法有1種?！?2某舉男乒球比，賽成個段行第階：參比賽名手成8個組每人分進行循賽第階：8個小產(chǎn)的2名共人再成4個組每人分進單循賽第階：4小產(chǎn)的個第名行2場決和2決，確至名名．：整賽一需進多場賽【析第一階段中，每個小組內(nèi)部的6個每2人賽一場組內(nèi)賽C

6場共個組，有24120場第二階段中，每個小組內(nèi)人每賽一場，組內(nèi)賽場共4個小組，2有6場；第三階段賽2．根據(jù)加法原理，整個賽程一共有148場賽。【13由字12組五數(shù)求五數(shù)12至各現(xiàn)次么樣五數(shù)有_______個(2007年“春”年組賽)【析這是道組合計數(shù)問題．由于題中僅要2至各出現(xiàn)一次，沒有確，2，出的具體

次數(shù)，所以可以采取分類枚舉的方法進行統(tǒng)計，也可以從反面想，從由組的五位數(shù)中，去掉僅有1個個字組成的五位數(shù)即可．(法1分兩類：⑴1，，3恰有一個數(shù)字出現(xiàn)次這樣的數(shù)有C

(；⑵，2中兩個數(shù)字各出現(xiàn)次這樣的數(shù)有C90(個．符合題意五位數(shù)共有150(個．(法)從反面想，由1，，3組的五位數(shù)共有35

個，由，，3中的某2數(shù)字組成的五位數(shù)共有個，由1，2，3中某個字組成的五位數(shù)共有3個所以符合題意的五位數(shù)共有

150(個。【14人成一，中出個相的，有少不選？【析(1乘法原理．按題意，分別站在每個人的立場，當自己被選中后，另一個被選中的，可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個人都有7種選擇，總共就有770種擇，但是需要注意的是，選擇的過程中，會出現(xiàn)“選了甲、乙，選了乙、甲”這樣的情況本來是同一種選擇而卻算作了兩種，所以最后的結果應該(10)35種．(法)排除法．可以從所的兩人組合中排除掉相鄰的情況，總的組合數(shù)為

，而被選的兩個人相鄰的情況有0種所以共有C45()?！?58個站，冬必站小和奇中（一相小和智能鄰，光大必相，足求站一有少？【析冬冬站在小悅和阿奇的中間意著只要為這三個人選定了三個位置間的位置就一定要留冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇．小慧和大智不能相鄰的互補事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個條件的站法總數(shù)為：

3360（）同時滿足第一、三個條件，滿足小慧和大智必須相鄰的站法總數(shù)為：C960（種）因此同時滿足三個條件的站法總數(shù)為：2400（【16小有10塊大白奶,今起每至少一.么一有少不的法?【析我們將10塊大白兔奶糖從左至右排成一,如果其中9個隙中的某個位置插木棍則將lO塊糖分成了兩部分。我們記從左至右,第分是第1天的第2分是第2吃,…，|○○○不難知曉每一種插入方法對應種吃而9間隙,每個間隙可以插人也可以不插,且相獨立共有2=種不同的插入方,即512種同的吃法。【固小有10塊糖每至吃塊，7天吃，共多種同吃？【析分三情況來考慮：⑴當紅最多一天吃塊，其余每天1，吃塊這天可以是這七天里的任何一天，有種吃法；⑵當紅最多一天吃3塊，必有一天吃塊，其余五每天，先選吃3塊的那天，有7種擇，再選吃塊那天，有6種擇，由乘法原理，有種吃法；⑶當紅最多一天吃2塊，有三天每天吃2，其四天每天吃1塊，從7天中選天有C

7種吃。3根據(jù)加法原理，小紅一共有74284(種不的吃法．還可以用擋板法來解這道題，10塊有個，6個放擋板，有C84(種不的吃法?！竟贪褌€蘋分個朋，人少3個，以多種不的法【解析】(法1先每人2個，還有14個果，每人至少分一個13個插2個，有C(法2也可以按分蘋果最多的人分的個數(shù)分類枚舉。

種法．【固有粒糖分天完每至吃粒，有少不的法【析如圖○|○○|○○○○將10粒如下圖所示排成一排，這樣每兩顆之間共有9個，從頭開始吃相兩塊糖是分在兩吃的在其間畫一條豎線隔開表示之前的糖和之后的糖不是在一天吃掉的，九個空中畫兩條豎線，一共有936方法．【17某塘有、、C只船A可坐人船乘人，船可乘1人，有個成和個童分這游為全見有兒童坐游上須少個人同那么他5人乘這支船所安乘方共多種

【析由于兒童乘坐的游船上必須至1個人陪同，所以兒童不能乘坐船⑴若這都不乘坐船恰坐滿、兩船①若兩個兒童在同一條船能船上時A船上還必須有個人有C

種法②兩兒童不在同一條船上分別在A、兩上則B船上有1個童和1個人，1個童有選擇，個人有C法．故都不乘坐船3種全方法；

種選擇，所以有種⑵若這5人中有1人乘坐C船這個人必定是個成人，有

選擇．其余的2個人與個童①若兩個兒童在同一條船上，只能在船上，此時A船還必須有1個人，有2種法，所以此時有3種法；②若兩個兒童不在同一條船上，那么B船上有兒童和1成人，此時個童和1個成人均有C2種擇，所以此種情況下有種法；故人有1乘坐船種全方法．所以，共有種安全乘法．【18從0名生8名女生選人參加泳賽在列件，別多少選？【19⑴有名生選；至有名生選⑶兩女，兩男必須選【20⑷兩女，兩名生能時選⑸兩女，兩男最入選人【析⑴恰3名女生入選，說明男生有人選，應為C14112種；⑵要求至少兩名女生人選，那么“只有一名女生入選”和“沒有女生入選”都不符合要求．運包含與排除的方法，從所有可能的選法中減去不符合要求的情況：C

；⑶人須入選則從剩下的1人中再選出另外4，有1001種⑷從所有的選法C

種中減去這4個人同時入選的

種：C

42757．⑸分三類情況：4無人入選；僅有1入選；人有入選，共：

C

34749?！竟淘?名科生4名科生，科任和科任一，要成5人療小送下，按下條各多種派法【固⑴有3內(nèi)醫(yī)生名外科生【固⑵既有內(nèi)醫(yī)，有科生【固⑶至少有名任加【固⑷既有主，有科生【析⑴先6名科醫(yī)生中選3名有C

620種法；再從4名科醫(yī)生中選名34共有種法．根據(jù)乘法原理，一共有選派方法2種．2⑵用去雜法”較方便，先考慮從10醫(yī)生中任意選派人有

5

種選派方法；再考慮只有外科醫(yī)生或只有內(nèi)科醫(yī)生的情況．由于外科醫(yī)生只有4，所以不可能只派外科醫(yī)生．如果只派內(nèi)科醫(yī)生，有種選派方法．所以，一共有252246種有內(nèi)科醫(yī)生又有外科醫(yī)生的選派方法。⑶如選1名任則不是主任的名醫(yī)生要選4人有2

84

種選派方法如選

8名任不主任的8名醫(yī)生要選3人1種選派方法據(jù)法原理，3一共有140選派方法．⑷分類討論：①若選外科主任，則其余人任意選取，有

94

種取方法；②若不選外科主任，則必選內(nèi)科主任，且剩余4人不能全選內(nèi)科醫(yī)生，用“去雜法”有

8565種取法．4根據(jù)加法原理，一共有2665191種派方法。

【21在名生，5人會電，人會裝響備其2既會裝腦又安音設，選由人組成安小，內(nèi)裝腦3人，裝響備人，共多種同的人案【析按具雙項技術的學生分類：⑴兩都不選派，有

5(種選派方法；3⑵兩中選派人有2種法．而針對此人的任又分兩類：若此人要安裝電腦還2人裝電腦C(選法另會安裝音響設備的人全選派上，只有種法．由乘法原理，有0(種選；若此人安裝音響設備，則還需從人選人裝音響設備，有

3(種選，需從5人中2選3人安裝電腦，有C

種)選法．由乘法原理，有(種選法．根據(jù)加法原理，有030(種)選法；綜上所述，一共有80(種選派方法．⑶兩全派，針對兩人的任務可分類討論如下：①兩人全安裝電腦，則還需要5人選1人裝電腦，另外會安裝音響設備的人選上安裝音設備，有5(種)選方案；②兩人一個安裝電腦，一個安裝音響設備，有C

5(種選方案；22③兩人全安裝音響設備，有3

530(選派方案．3根據(jù)加法原理，共有56095(種選方案．綜合以上所述，符合條件的方案一共185()．【22有11名外翻人，中名是語譯，4名日翻員另兩英、語精．中出8人使們成個譯組其人翻英，4人翻日，兩個組同工作問樣分名共以出少？【析針對名英語、日語都精通人(以稱多面)的參考情況分成三類：⑴多手不參加，則需從名語翻譯員中選出人有C種擇，需從名日語翻譯員中選出人有1種擇．由乘法原理，有5種擇．⑵多手中有一人入選，有2種擇，而選出的這個人又有參加英文或日文翻譯兩種可能：如果參加英文翻譯，則需從5名語翻譯員中再選出3人，有

5種擇，需從4名3語翻譯員中選出人有種選擇．由乘法原理，有種選擇；如果參加日文翻譯，則需從英語翻譯員中選出人有選擇，需從名語譯員中再選出名有C種擇．由乘法原理，有40選擇．根據(jù)加法原理，多面手中有一人入選，有4060種擇．⑶多手中兩人均入選，對應一種選擇，但此時又分三種情況：①兩人都譯英文；②兩人都譯日文；③兩人各譯一個語種．情況①中需從5名英語翻譯員中選出2人C

52

選擇從4名語翻譯員中選人，種擇．由乘法原理，有1種擇．情況②中需5名語翻譯員中選出有選擇還從4名日語翻譯員中選出24人，有C種選擇．根據(jù)乘法原理，共有130選擇．2情況③中，兩人各譯一個語種，有兩種安排即兩種選擇．剩下的需從5名語翻譯員中選出3人有C

5選擇，需從名語翻譯員中選出人有3

種擇．由乘法原理，二、

有80種擇．根據(jù)加法原理，多面手中兩人均入選，一共130種選擇．綜上所述，由加法原理，這樣的分配名單共可以開出5張幾何計數(shù)

11112111111【23下中有____正形11112111111【析每個正方形中有長為的方形有4

個長2的方形有3

個；邊為的正方形有

個；邊長為4的方形有個總共有4()方形．現(xiàn)有個4的正方形，它們重疊部分是2的方形．此，圖中正方形的個數(shù)是3。【24在中單位：米：①共幾長形②有些方面的是少【析①一有(4100(個長方形；②所求的和是(512)8)8)(12(2(47)(7(2(4(212384(平方厘米。

【25由20個邊為1的正形成個4長方中一有☆圖含“”所長(正形共個，們面總是。第屆美賽題)【析含☆的行內(nèi)所有可能的長方形有：(八種)含☆☆☆☆☆內(nèi)所有可能的

☆

☆☆

的一列長方形有：(六種

☆所☆☆

以總共長方形有648個面積總

和

為

☆

☆☆(1360。

☆【固圖共多個角？【解析】顯然角形可分為尖向與尖向下兩大類類中三角形的個數(shù)相等尖向上的三角形又可分為6類（1最大的三角形(△ABC，（2第二大的三角形有3個（3第三大的三角形有6個（4第四大的三角形有10個（5第五大的三角形有15個（6最小的三角形有個所以尖向上的三角形共有++6+1524=（個）圖中共有三角形2=118（【26一圓有個點A，，A，，A，．以們頂連角，使個恰是個角形頂，各三形邊不交問有少不的法【析我們采用遞推的方法．I如圓上只有3個，那么只有一種連法Ⅱ如果圓上有6個，除點在三角形的三頂點外，剩下的三個點一定只能在A所三角形一條邊所對應的圓弧上，表1給這時有可能的連法。Ⅲ如果圓上有9個，考慮所的三角形．此時，其余的6點可能分布在：①所三角形的一個邊所對的弧上；②也可能三個點在一個邊所對應的弧上，另三個點在另一邊所對的弧上．在表中用“”表示它們分布在不同的邊所對的?。绻乔樾微?，則由Ⅱ，這六個點有三種連法；如果是情形②，則由①，每三個點都只能有一種連法．共有12種法．Ⅳ最后考慮圓周上有個．同樣考慮所三形，剩下點的分布有三種可能：①9個都在同一段弧上：②有個點是在一段弧上，另三點在一段弧上；③每三個點在A所三角形一條邊對應的弧上．得到表3共有12+3×+＝55種．

所以當圓周上有12個時，滿足題意的連法有種。課后練習：練1.用24排四數(shù)（1）有少四數(shù)（2）重數(shù)的位有少？（3）重數(shù)的位數(shù)多個（4）2在3的左的重復字四數(shù)多個（5）2在千上無復字四數(shù)多少？（6）5不在位個上無復字四位有少？【析⑴條中未限制“無重復數(shù)字以數(shù)字可以重復出現(xiàn)，如2555等依分步計數(shù)乘法原理共有⑵24（個）

（個）⑶個位上只能是或，P（）⑷所有四位數(shù)中，2在3的邊或2在的邊的數(shù)各占一半，共有

個）⑸2在千位上，只有種法，此后在外的個置上排列，有

（）⑹法一：5不十位、個位上，所以5只在千位上或百位上，有2P

（）法二：從中減去不合要求的（十位上、個位上PP（練2.如，中每條段是平或直，界各線的度次為厘米7厘米9厘米厘米4厘、厘、厘、厘．圖長形個，及有長形積和【析利用方形的計數(shù)公式：橫邊上有n條段，縱邊上共有m條段，則圖中共有長方（平行四邊形）mn個所以(+3++1)×（43++）=100這些長方形的面積和為79+2+161121++）×（++51+++6++）=1248610664。練3.有粒糖每至吃粒吃為止共多種同吃？【析初看題似乎覺得很好入手，比可以按天數(shù)進行分類枚舉：吃完的有1種法，這天吃塊；2天完的有方法=19=+8…9+；當枚舉到天吃完的時，情況就有點綜復雜了，叫人無所適從……所以我們必須換一種角度來思考不妨從具體的例子入手來分析，比如這塊分天完：第吃2塊第2天吃3塊；第3天；第天吃4塊．我們可以將10個○”代表粒糖，把個“○”排成一排eq\o\ac(○,)之間共有空位，若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎如下圖．○eq\o\ac(○,○)|○○○○比如上圖就表示“第天；第吃3塊；第吃塊；第吃4塊這樣一來，每一種吃糖的方法就對應