文檔：奇偶性中的常見問題

奇偶性中的常見問題函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)，圍繞這個性質(zhì)老師們設(shè)計過很多優(yōu)秀練習(xí)題；而這些題目都有一定的難度；本文列舉與奇偶性有關(guān)的幾類常見問題的求解，望對你的學(xué)習(xí)有所幫助。1、與概念有關(guān)例1、設(shè)集合奇函數(shù)，集合偶函數(shù)，則的元素個數(shù)為（）（A）0（B）1（C）2（D）無數(shù)個分析：設(shè)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則此時，你可能要選（B），且慢，考慮到函數(shù)的解析式與定義域共同決定函數(shù)；我們會發(fā)現(xiàn)，，當(dāng)變化時所得到的函數(shù)不同；故正確答案為（D）評注：函數(shù)的三要素（定義域、解析式、值域）中，定義域與解析式共同決定了函數(shù)；看函數(shù)時，一定要將兩者結(jié)合，不可僅看解析式。本題中的解析式是，而定義域可以是以原點(diǎn)為中心的任意區(qū)間。除了分析中列舉的形式外還可以是等。例2、判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）（2）分析：（1）由此時即，易得函數(shù)為偶函數(shù)（2）由于且故函數(shù)為奇函數(shù)評注：判斷函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的定義域是第一步；在驗(yàn)證或時，有一定的靈活性，有時驗(yàn)證是否成立、有時驗(yàn)證是否成立；2、求解析式例3、若為奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，的解析式為：分析：由得，為奇函數(shù)因此，即當(dāng)時，或設(shè)，則此時，由為奇函數(shù)得因此，即當(dāng)時，評注：上述兩種方法是求解此類問題的基本方法，其特點(diǎn)都是將奇函數(shù)的定義與奇函數(shù)圖象的對稱性結(jié)合起來；例4、函數(shù)為偶函數(shù)，且時，，則時，的解析式為：分析：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以即當(dāng)時，，此時即評注：利用偶函數(shù)發(fā)現(xiàn)了性質(zhì)“”，抓住這個重要性質(zhì)，結(jié)合題目條件促使問題順利獲解。3、求函數(shù)值例5、設(shè)（其中為常數(shù)），若，則的值為（）（A）31（B）17（C）（D）2分析：設(shè)，則為奇函數(shù)，此時由從而選答案（C）評注：從已知的函數(shù)式中，發(fā)現(xiàn)一個奇函數(shù)是求解的關(guān)鍵，它使問題有了轉(zhuǎn)折。注意此類問題的設(shè)計有時會給出一個很復(fù)雜的函數(shù)（隱含了奇偶性），倘若未發(fā)現(xiàn)奇、偶性，求解可能無法進(jìn)行。例6、函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足：是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，若，則分析：由是偶函數(shù)，得，又由是奇函數(shù)，得，那么于是評注：此題有一定的難度，條件較多、又有些亂；看到已知，目標(biāo)求；就應(yīng)該想到：一定可以用表示，但如何表示呢？猜想得用奇、偶函數(shù)的定義，可以產(chǎn)生一個關(guān)于函數(shù)的等式，于是發(fā)現(xiàn)了，問題很快被“攻克”了。4、結(jié)合單調(diào)性例7、如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且有最小值5，則在區(qū)間上（）（A）增函數(shù)且最小值為（B）增函數(shù)且最大值為（C）減函數(shù)且最小值為（D）增函數(shù)且最大值為分析：由于奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的增、減性一致，而在區(qū)間上是增函數(shù)在區(qū)間上也是增函數(shù)又由在區(qū)間上有最小值5，得，即在區(qū)間上的最大值為；故正確答案為（B）；評注：函數(shù)單調(diào)性與奇偶性之間的關(guān)系在課本中是作為重要知識點(diǎn)給出的，細(xì)心的同學(xué)肯定知道，課本中的例題、練習(xí)、習(xí)題中都有類似問題，若把它們集中起來，可以看出它們正好包括了單調(diào)性與奇偶性之間的各種情況。因此，類似問題我們一定要重視。例8、奇函數(shù)滿足，且在上遞減，則（）（A）（B）（C）（D）與的大小不確定分析：由，得又為奇函數(shù)，那么由于及在上遞減，得故正確答案為（A）評注：本題的求解主要抓住及對所給出函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使它們進(jìn)入?yún)^(qū)間，再結(jié)合單調(diào)性產(chǎn)生結(jié)論。5、求范圍例9、若是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又，則滿足的范圍為分析：畫一個草圖，由或或或或即的范圍為或評注：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；在已知奇、偶性后可作草圖幫助求解；例10、偶函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時單調(diào)遞減，若成立，則的范圍為分析：由于偶函數(shù)，得，結(jié)合已知得即的范圍為評注：若為偶函數(shù)，則在解題中靈活代換，會大大降低求解的運(yùn)算量，從而提高運(yùn)算的正確率。6、隱函數(shù)問題例11、設(shè)函數(shù)滿足且不恒為零，當(dāng)時，，求不等式的解集分析：由令得，，那么由，，因此為偶函數(shù)設(shè)，則，由已知得即，因此在上遞增又或或即不等式的解集為或或；評注：隱函數(shù)問題在求解時，一