中國石油大學(xué)2012-2013(1)線性代數(shù)(A)32答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

中國石油大學(xué)2012-2013(1)線性代數(shù)(A)[32]答案及評分標(biāo)準(zhǔn)PAGEPAGE1頁共6頁第A卷A卷2012—2013學(xué)年第一學(xué)期《線性代數(shù)》答案及評分標(biāo)準(zhǔn)專業(yè)班級姓名學(xué)號開課系室基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系考試日期2013年1月16日頁號一二三四五六總分本頁滿分152124161212本頁得分閱卷人注意事項：1．請在試卷正面答題，反面及附頁可作草稿紙；2．答題時請注意書寫清楚，保持卷面清潔；A線性無關(guān)；B線性相關(guān)；C線性無關(guān)；D線性相關(guān).二．填空題（共5小題，每小題3分，共計15分）本頁滿分21分本頁得分1．設(shè)=44(=256).2．設(shè)四階矩陣與相似，為四階單位陣，矩陣的特征值為2,3,4,5，則24.3．設(shè)矩陣則=.4.設(shè)三階方陣三維列向量，已知與線性相關(guān)，則-1.5.從的基到基的過渡矩陣為.三、論述證明題（6分）請問等價的向量組線性相關(guān)性一定相同嗎？若答案肯定，請給出證明；否則請說明理由或舉出反例.答：不一定.……………(4)例如，向量組與其最大無關(guān)組等價，但線性相關(guān)性不一定相同.……………(6)四．計算下列各題（共5小題，每小題8分，共計40分）本頁滿分24分本頁得分1.計算行列式D=.（8分）解：將行列式的2、3、4列都加到第一列，然后第一列提出公因子，得D=……………(4)將第一列乘以（—2）后加到其余各列，得D=……(8)2.設(shè)矩陣,求矩陣.（8分）解：由，得：……………(4)驗證知矩陣是可逆的，所以……(8)3．設(shè)矩陣有3個線性無關(guān)的特征向量,2是的二重特征值，求，.（8分）解：由已知，得……………(4)又因為，故.……………(8)本頁滿分16分本頁得分4.設(shè)向量組，求該向量組的秩和一個最大無關(guān)組.（8分）解：記………………(4)故知：向量組的秩為3，………(6)是一個最大無關(guān)組.…………(8)5.設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知是它的三個解向量，且，求該方程組的通解.（8分）解：易知，是該方程組的導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系，…………(4)則該方程組的通解為：…………(8)本頁滿分12分本頁得分五、（12分）設(shè)有三維向量組問取何值時，（1）可由線性表示，且表達式唯一？（2）可由線性表示，但表達式不唯一？（3）不能由線性表示？解：設(shè)，該方程組的增廣矩陣為…………(6)（1）當(dāng)時，，方程組有唯一解，則可由線性表示，且表達式唯一；…………(8)（2）當(dāng)時，，方程組有無窮多解，則可由線性表示，但表達式不唯一；…………(10)（3）當(dāng)時，，方程組無解，則不能由線性表示?！?12)本頁滿分12分本頁得分六、（12分）設(shè)二次型，其中二次型的矩陣的特征值之和為1，特征值之積為-12.求的值；利用正交變換將此二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對應(yīng)的正交矩陣.解：(1)的矩陣為，由已知………………(2)所以.………(4)的矩陣為,特征多項式為：特征值為：?！?6)對于，解齊次線性方程組，得特征向量對于，解齊次線性方程組，得特征向量………(8)容易驗證是正交向量組，單位化得