數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出

數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出第1頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六本篇主要內(nèi)容：二階線性偏微分方程的建立和求解重點：數(shù)學(xué)物理方程求解方法中的分離變量法。特點：加強物理模型和數(shù)學(xué)物理思想的介紹，以便充分了解模型的物理意義，有利于根據(jù)數(shù)學(xué)物理模型建立數(shù)學(xué)物理方程。

第2頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六第二篇緒論數(shù)學(xué)物理思想數(shù)學(xué)物理方程（簡稱數(shù)理方程）是指從物理學(xué)及其它各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所導(dǎo)出的函數(shù)方程，主要指偏微分方程和積分方程。數(shù)學(xué)物理方程所研究的內(nèi)容和所涉及的領(lǐng)域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的許多物理現(xiàn)象和普遍規(guī)律。第3頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)實際中，經(jīng)常要研究空間連續(xù)分布的各種物理場的狀態(tài)和物理過程，例如電磁波在空間和時間中的變化，半導(dǎo)體擴散工藝中雜質(zhì)濃度在硅片中的分布和隨時間變化關(guān)系等等?？傊?，是研究某個物理量在空間某個區(qū)域的分布以及它怎樣隨時間變化。其中的自變數(shù)不僅僅是時間，而且還必須包括空間坐標(biāo)。解決這些問題，首先必須掌握所研究的物理量在空間中的分布規(guī)律和時間中的變化規(guī)律，這就是物理課題中所研究并加以討論的物理規(guī)律。物理規(guī)律反映同一物理現(xiàn)象的共同規(guī)律，即普遍性，亦即共性。第4頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六個性：同一類物理現(xiàn)象中，各個具體問題又各有其特殊性，即個性。物理規(guī)律不反映這種個性。

例如，半導(dǎo)體擴散工藝中，有“恒定表面濃度擴散”和“限定源擴散”。前者是表面雜質(zhì)濃度一定，后者是雜質(zhì)總量一定，雖擴散規(guī)律一樣，但其結(jié)果顯然不同。又如電磁波在空間的傳播。因此，為解決具體問題，必須考慮“環(huán)境”的影響，即邊界所處的物理狀況——邊界條件。第5頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六同時，研究問題還不能割斷歷史。

例如同一根琴弦，用不同的東西去敲，發(fā)出的聲音是不一樣的。雖然其振動是按照同一規(guī)律進行，但是由于所謂“初始”時刻的振動是不一樣的，故后來振動也不一樣。又如，不同初始濃度的硅片雜質(zhì)擴散，在相同的工藝條件下，其擴散結(jié)果也是不一樣的。故還必須考慮研究對象特定“歷史”，即初始時刻的狀態(tài)——初始條件。第6頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六邊界條件和初始條件反映了具體問題的特定環(huán)境和歷史，即問題的特殊性。在數(shù)學(xué)上，邊界條件和初始條件合稱為定解條件。物理規(guī)律用數(shù)學(xué)的語言“翻譯”出來，往往是偏微分方程——數(shù)學(xué)物理方程。數(shù)學(xué)物理方程，作為同一類物理現(xiàn)象的共性，跟具體條件無關(guān)。在數(shù)學(xué)上，數(shù)學(xué)物理方程本身（不連帶定解條件）叫作泛定方程。第7頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六聲振動是研究聲源與聲波場之間的關(guān)系熱傳導(dǎo)是研究熱源與溫度場之間的關(guān)系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法國數(shù)學(xué)家）方程表示的是電勢（或電場）和電荷分布之間的關(guān)系定解問題從物理規(guī)律角度來分析，數(shù)學(xué)物理定解問題表征的是場和產(chǎn)生這種場的源之間的關(guān)系．第8頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六根據(jù)分析問題的不同出發(fā)點，把數(shù)學(xué)物理問題分為正向問題和逆向問題.不同出發(fā)點

正向問題，即為已知源求場

逆向問題，即為已知場求源.

前者是經(jīng)典數(shù)學(xué)物理所討論的主要內(nèi)容。后者是高等數(shù)學(xué)物理（或稱為現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理）所討論的主要內(nèi)容。第9頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六多數(shù)為二階線性偏微分方程振動與波（振動波，電磁波）傳播滿足波動方程熱傳導(dǎo)問題和擴散問題滿足熱傳導(dǎo)方程靜電場和引力勢滿足拉普拉斯方程或泊松方程數(shù)學(xué)物理方程的類型和所描述的物理規(guī)律第10頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六三類典型的數(shù)學(xué)物理方程三類典型的數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動方程為代表拋物型方程熱傳導(dǎo)方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程第11頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六第七章數(shù)學(xué)物理定解問題1、數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出2、定解條件3、數(shù)學(xué)物理方程的分類4、達(dá)朗貝爾公式第12頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六7.1.1波動方程的建立1、弦的微小橫振動考察一根長為且兩端固定、水平拉緊的弦．討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問題．要確定弦的運動方程，需要明確：確定弦的運動方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律

（3）按物理定理寫出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程）

要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

7.1數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出第13頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六注意：物理問題涉及的因素較多，往往還需要引入適當(dāng)假設(shè)才能使方程簡化。數(shù)學(xué)物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點不能取在端點上，但可以取除端點之外的任何位置作為考察點。圖7.1第14頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六

根據(jù)牛頓第二定律方向運動的方程可以描述為

作用于小段的縱向合力應(yīng)該為零：

(7.1.2)僅考慮微小的橫振動，

夾角為很小的量，忽略及其以上的高階小量，則根據(jù)級數(shù)展開式有（7.1.1）

第15頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六注意到:故由圖7.1得這樣，(7.1.1)和(7.1.2)簡化為(7.1.3)(7.1.4)第16頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六因此在微小橫振動條件下，可得出

，弦中張力不隨而變，

可記為

故有

(7.1.5)變化量可以取得很小，根據(jù)微分知識有下式成立

這樣，段的運動方程(7.1.5)就成為

(7.1.6)第17頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六即為討論：（1）設(shè)弦的重量不能忽略不計，則弦振動方程為怎樣形式？

（7.1.7）上式即為弦作微小橫振動的運動方程，簡稱為弦振動方程．

其中（7.1.8）

第18頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六(2)如果在弦的單位長度上還有橫向外力作用，則式(7.1.7)應(yīng)該改寫為

(7.1.9)式中稱為力密度

，為時刻作用于處單位質(zhì)量上的橫向外力式（7.1.9）稱為弦的受迫振動方程。第19頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六2、均勻桿的縱振動（7.1.10）可得

（7.1.11）

這就是桿的縱振動方程。圖7.2從圖容易得到B段的伸長為而相對伸長則為確切的說，相對伸長隨地點而異，B的兩端相對伸長不一樣。根據(jù)胡克定理，B段的運動方程為：第20頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六討論(1)對于均勻桿，和是常數(shù)，(7.１.11）可以改寫成（7.１.12）

其中這與弦振動方程（7.１.8）具有完全相同的形式．（2）桿的受迫振動方程跟弦的受迫振動方程（7.１.9）完全一樣，只是其中應(yīng)是桿的單位長度上單位橫截面積所受縱向外力第21頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六第22頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六3*、傳輸線方程（電報方程）

（7.1.13）

同理可得：

(7.1.14)

式（7.1.13）及（7.1.14）即為一般的傳輸線方程。圖7.3第23頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六(1)無失真線

(7.1.15)

其中(2)無損耗線（7.1.16）

(7.1.17)

具有與振動方程類似的數(shù)學(xué)形式，盡管它們的物理本質(zhì)根本不同第24頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六(3)無漏導(dǎo)，無電感線（7.1.18）

(7.1.19)它們具有與下節(jié)將討論的一維熱傳導(dǎo)方程類似的數(shù)學(xué)形式，盡管它們的物理本質(zhì)根本不同．第25頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六7.1.2

熱傳導(dǎo)類型方程的建立

1、熱傳導(dǎo)方程

第26頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六圖7.3第27頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六或?qū)懗?/p>

(7.1.21)第28頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六第29頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六

2、擴散方程

(7.1.24)

其中將一維推廣到三維，即得到

(7.1.25)上述方程與熱傳導(dǎo)方程具有完全類似的形式

第30頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六若外界有擴散源，且擴散源的強度為這時，擴散方程應(yīng)為（7.1.26）

從上面的推導(dǎo)可知，熱傳導(dǎo)和擴散這兩種不同的物理現(xiàn)象，但可以用同一類方程來描述。第31頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六7.1.3靜電場的電勢方程上兩方程分別稱為泊松方程和拉普拉斯方程。第32頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六2、穩(wěn)定溫度分布導(dǎo)熱物體內(nèi)的熱源分布和邊界條件不隨時間變化故熱傳導(dǎo)方程中對時間的偏微分項為零，從而熱傳導(dǎo)方程（7.1.22)，(7.1.23)即為下列拉普拉斯方程和泊松方程.

(7.1.29)

(7.1.30)第33頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六總結(jié)三類典型的數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動方程為代表拋物型方程熱傳導(dǎo)方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程第34頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六作業(yè)P1521,4（7.1.8）

推導(dǎo)不忽略重力時的弦振動方程第35頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六7.2定解條件7.2.1初始條件對于隨著時間發(fā)展變化的問題，必須考慮到研究對象的特定“歷史”，也就是某個所謂“初始”時刻的狀態(tài)，即初始條件。1、波動方程的初始條件

第36頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六例7.2.1

一根長為的弦，兩端固定于和,在距離坐標(biāo)原點為的位置將弦沿著橫向拉開距離

，如圖7.4所示，然后放手任其振動，試寫出初始條件。

b

xuolh圖7.4

解:初始時刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有初始位移如圖所示

第37頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六2、熱傳導(dǎo)方程的初始條件對于輸運過程（擴散，熱傳導(dǎo)），初始狀態(tài)指的是研究的物理量的初始分布（初始濃度分布、初始溫度分布）。因此，初始條件為（7.2.2）

其中是已知函數(shù)。3、沒有初始條件的問題在周期性外源引起的輸運問題或周期性外力作用下的振動問題中，經(jīng)過很多周期后，初始條件引起的自由運輸或自由振動可以認(rèn)為消失，這樣就完全可以忽略初始條件的影響，這類問題稱為沒有初始條件的問題。穩(wěn)定場問題（靜電場、穩(wěn)定濃度分布，穩(wěn)定溫度分布等）根本就不存在初始條件問題，無需多說。第38頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六7.2.2邊界條件研究具體的物理系統(tǒng)，還必須考慮研究對象所處的特定“環(huán)境”，二周圍環(huán)境的影響通常體現(xiàn)為邊界上的物理情況，即邊界條件。常見的線性邊界條件分為三類：第一類邊界條件

直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值（7.2.3）

第39頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六第二類邊界條件

規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的數(shù)值（7.2.4）

第40頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六第三類邊界條件

規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值（7.2.5）

其中是時間的已知函數(shù)，為常系數(shù)．

第41頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六第42頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六第43頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六7.2.3銜接條件由于某些原因，研究的區(qū)域里出現(xiàn)躍變點，泛定方程在躍變點失去意義，把躍變點兩邊連接起來需要滿足的條件稱為銜接條件。第44頁，共50頁，2023年，2月20日，星期六例7.2.2

長為的弦在端固定，另一端自由，且在初始時刻時處于水平狀態(tài)，初始速度為，且已知弦作微小橫振動，試寫出此定解問題.

【解】（1）確定泛定方程：取弦的水平位置為軸，為原點，弦作自由（無外力）橫振動，所