時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型

時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型第1頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六§9.1時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型二、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性三、平穩(wěn)性的圖示判斷四、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)五、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程第2頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型

第3頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六⒈常見的數(shù)據(jù)類型到目前為止，經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有：時(shí)間序列數(shù)據(jù)（time-seriesdata)截面數(shù)據(jù)(cross-sectionaldata)平行/面板數(shù)據(jù)（paneldata/time-seriescross-sectiondata)★時(shí)間序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù)第4頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六⒉經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性經(jīng)典回歸分析暗含著一個(gè)重要假設(shè)：數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ)——“一致性”要求——被破懷。經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量X是非隨機(jī)變量第5頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六依概率收斂：(2)放寬該假設(shè)：X是隨機(jī)變量，則需進(jìn)一步要求：(1)X與隨機(jī)擾動項(xiàng)不相關(guān)∶Cov(X,)=0

第（2）條是為了滿足統(tǒng)計(jì)推斷中大樣本下的“一致性”特性：第（1）條是OLS估計(jì)的需要第6頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六▲如果X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)（如表現(xiàn)出向上的趨勢），則（2）不成立，回歸估計(jì)量不滿足“一致性”，基于大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷也就遇到麻煩。因此：注意：在雙變量模型中：第7頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

表現(xiàn)在:兩個(gè)本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性（有較高的R2)。例如：如果有兩列時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關(guān)系，但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。⒊數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn)“虛假回歸”問題第8頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，實(shí)際的時(shí)間序列數(shù)據(jù)往往是非平穩(wěn)的，而且主要的經(jīng)濟(jì)變量如消費(fèi)、收入、價(jià)格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這樣，仍然通過經(jīng)典的因果關(guān)系模型進(jìn)行分析，一般不會得到有意義的結(jié)果。第9頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

時(shí)間序列分析模型方法就是在這樣的情況下，以通過揭示時(shí)間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來的全新的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論。時(shí)間序列分析已組成現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要內(nèi)容，并廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析與預(yù)測當(dāng)中。第10頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六二、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性第11頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六定義：

假定某個(gè)時(shí)間序列是由某一隨機(jī)過程（stochasticprocess）生成的，即假定時(shí)間序列{Xt}（t=1,2,…）的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率分布中隨機(jī)得到，如果滿足下列條件：

1）均值E(Xt)=是與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù)；2）方差Var(Xt)=2是與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù)；3）協(xié)方差Cov(Xt,Xt+k)=k是只與時(shí)期間隔k有關(guān)，與時(shí)間t無關(guān)的常數(shù)；則稱該隨機(jī)時(shí)間序列是平穩(wěn)的（stationary)，而該隨機(jī)過程是一平穩(wěn)隨機(jī)過程（stationarystochasticprocess）。

第12頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

例9.1.1．一個(gè)最簡單的隨機(jī)時(shí)間序列是一具有零均值同方差的獨(dú)立分布序列：

E(Xt)=0，方差Var(Xt)=2,Cov(Xt,Xt+k)=0該序列常被稱為是一個(gè)白噪聲（whitenoise）。符合古典回歸假定的隨機(jī)擾動項(xiàng)序列是白噪聲序列

由于Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零,由定義,一個(gè)白噪聲序列是平穩(wěn)的。第13頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

例9.1.2．另一個(gè)簡單的隨機(jī)時(shí)間序列被稱為隨機(jī)游走（randomwalk），該序列由如下隨機(jī)過程生成：Xt=Xt-1+t這里，t是一個(gè)白噪聲。

容易知道該序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)為了檢驗(yàn)該序列是否具有相同的方差，假設(shè)Xt的初值為X0，則易知:第14頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六X1=X0+1X2=X1+2=X0+1+2X3=X2+3=X0+1+2+3

……Xt=X0+1+2+…+t

由于X0為常數(shù)，t是一個(gè)白噪聲，因此:Var(Xt)=t2即Xt的方差與時(shí)間t有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序列。第15頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六然而，對X取一階差分（firstdifference）:

Xt=Xt-Xt-1=t由于t是一個(gè)白噪聲，則序列{Xt}是平穩(wěn)的。后面將會看到:如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。第16頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六事實(shí)上，隨機(jī)游走過程是下面我們稱之為1階自回歸AR(1)過程的特例:Xt=Xt-1+t

不難驗(yàn)證:1)||>1時(shí)，該隨機(jī)過程生成的時(shí)間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升(>1)或持續(xù)下降(<-1)，因此是非平穩(wěn)的；2)=1時(shí)，是一個(gè)隨機(jī)游走過程，也是非平穩(wěn)的。第17頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六§9.2中將證明:只有當(dāng)-1<<1時(shí)，該隨機(jī)過程才是平穩(wěn)的。

1階自回歸過程AR(1)又是如下k階自回歸AR(k)過程的特例：Xt=1Xt-1+2Xt-2…+kXt-k該隨機(jī)過程平穩(wěn)性條件將在第二節(jié)中介紹。

第18頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六三、平穩(wěn)性檢驗(yàn)的圖示判斷第19頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六給出一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列，可利用該序列的時(shí)間路徑圖粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動的過程。而非平穩(wěn)序列則往往表現(xiàn)出在不同的時(shí)間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。

第20頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六第21頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六利用樣本自相關(guān)函數(shù)圖判斷時(shí)間序列的平穩(wěn)性

定義隨機(jī)時(shí)間序列的（總體）自相關(guān)函數(shù)（autocorrelationfunction,ACF）如下：

k=k/0

自相關(guān)函數(shù)是關(guān)于滯后期k的遞減函數(shù)(Why?)。

實(shí)際上,對一個(gè)隨機(jī)過程只有一個(gè)實(shí)現(xiàn)（樣本），因此，只能計(jì)算樣本自相關(guān)函數(shù)（Sampleautocorrelationfunction）。第22頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六一個(gè)時(shí)間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)定義為：易知，隨著k的增加，樣本自相關(guān)函數(shù)下降且趨于零。但，從下降速度來看，平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多。第23頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六第24頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六ACFandPACFforaNon-stationaryModel

(i.e.aunitcoefficient):yt=yt-1+ut第25頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六ACFandPACFforaslowlydecayingAR(1)Model:yt=0.9yt-1+ut第26頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六ACFandPACFforamorerapidlydecayingAR(1)Model:yt=0.5yt-1+ut第27頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六ACFandPACFforamorerapidlydecayingAR(1)ModelwithNegativeCoefficient:yt=-0.5yt-1+ut第28頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六注意:

確定樣本自相關(guān)函數(shù)rk某一數(shù)值是否足夠接近于0是非常有用的，因?yàn)樗蓹z驗(yàn)對應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)k的真值是否為0的假設(shè)。

Bartlett曾證明:如果時(shí)間序列由白噪聲過程生成，則對所有的k>0，樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以0為均值，1/n為方差的正態(tài)分布，其中n為樣本數(shù)。即rk

approximatelyN(0,1/n

)

第29頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六檢驗(yàn)對所有k>0自相關(guān)系數(shù)都為0的聯(lián)合假設(shè)，可通過如下Ljung（楊）-Box

統(tǒng)計(jì)量QLB進(jìn)行：該統(tǒng)計(jì)量近似地服從自由度為m的2分布（m為滯后長度）。即因此:如果計(jì)算的Q值大于顯著性水平為的臨界值，則有1-的把握拒絕所有k(k>0)同時(shí)為0的假設(shè)。第30頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

例9.1.3（P325）:

表9.1.1序列Random1是通過一隨機(jī)過程（隨機(jī)函數(shù)）生成的有19個(gè)樣本的隨機(jī)時(shí)間序列。

第31頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六第32頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六第33頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六容易驗(yàn)證：該樣本序列的均值為0，方差為0.0789。

從圖形看：它在其樣本均值0附近上下波動，且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，隨后在0附近波動且逐漸收斂于0。第34頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

由于該序列由一隨機(jī)過程生成，可以認(rèn)為不存在序列相關(guān)性，因此該序列為一白噪聲。

根據(jù)Bartlett的理論：k~N(0,1/19)，因此任一rk(k>0)的95%的置信區(qū)間都將是:第35頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六可以看出:k>0時(shí)，rk的值確實(shí)落在了該區(qū)間內(nèi)，因此可以接受k(k>0)為0的假設(shè)。同樣地，從QLB統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值看，滯后17期的計(jì)算值為26.38，未超過5%顯著性水平的臨界值27.58，因此,可以接受所有的自相關(guān)系數(shù)k(k>0)都為0的假設(shè)。因此，該隨機(jī)過程是一個(gè)平穩(wěn)過程。

第36頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

序列Random2是由一隨機(jī)游走過程Xt=Xt-1+t生成的一隨機(jī)游走時(shí)間序列樣本。其中，第0項(xiàng)即X0,取值為0，t是由Random1表示的白噪聲。第37頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六第38頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六圖形表示出：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關(guān)圖看，雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，但隨著時(shí)間的推移，則在0附近波動且呈發(fā)散趨勢。

樣本自相關(guān)系數(shù)顯示：r1=0.48，落在了區(qū)間[-0.4497,0.4497]之外，因此在5%的顯著性水平上拒絕1的真值為0的假設(shè)。

該隨機(jī)游走序列是非平穩(wěn)的。第39頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六例9.1.4檢驗(yàn)中國支出法GDP時(shí)間序列的平穩(wěn)性。表9.1.21978~2000年中國支出法GDP（單位：億元）

第40頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六第41頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

圖形：表現(xiàn)出了一個(gè)持續(xù)上升的過程，可初步判斷是非平穩(wěn)的。

樣本自相關(guān)系數(shù)：緩慢下降，再次表明它的非平穩(wěn)性。

第42頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

從滯后18期的QLB統(tǒng)計(jì)量看：QLB(18)=57.18>28.86=20.05

拒絕：該時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后1期之后的值全部為0的假設(shè)。

結(jié)論:1978—2000年間中國GDP時(shí)間序列是非平穩(wěn)序列。第43頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六例9.1.5

檢驗(yàn)§2.10中關(guān)于人均居民消費(fèi)與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時(shí)間序列的平穩(wěn)性。原圖樣本自相關(guān)圖第44頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六從圖形上看：人均居民消費(fèi)（CPC）與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPC）是非平穩(wěn)的。

從滯后14期的QLB統(tǒng)計(jì)量看：CPC與GDPPC序列的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算值均為57.18，超過了顯著性水平為5%時(shí)的臨界值23.68。再次表明它們的非平穩(wěn)性。第45頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六就此來說，運(yùn)用傳統(tǒng)的回歸方法建立它們的回歸方程是無實(shí)際意義的。不過，§9.3中將看到，如果兩個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列是協(xié)整的，則傳統(tǒng)的回歸結(jié)果卻是有意義的，而這兩時(shí)間序列恰是協(xié)整的。

第46頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六四、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)

（unitroottest）第47頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

1、DF檢驗(yàn)

隨機(jī)游走序列:

Xt=Xt-1+t是非平穩(wěn)的，其中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機(jī)模型:Xt=Xt-1+t中參數(shù)=1時(shí)的情形。第48頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

（*）式可變形為差分形式：

Xt=(-1)Xt-1+t=Xt-1+t(**)檢驗(yàn)（*）式是否存在單位根=1，也可通過（**）式判斷是否有=0。對式：

Xt=Xt-1+t（*）

進(jìn)行回歸，如果確實(shí)發(fā)現(xiàn)=1，就說隨機(jī)變量Xt有一個(gè)單位根。第49頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六一般地:

檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列Xt的平穩(wěn)性，可通過檢驗(yàn)帶有截距項(xiàng)的一階自回歸模型：Xt=+Xt-1+t（*）中的參數(shù)是否小于1。

或者：檢驗(yàn)其等價(jià)變形式：

Xt=+Xt-1+t（**）中的參數(shù)是否小于0。第50頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

在第二節(jié)中將證明，（*）式中的參數(shù)>1或=1時(shí)，時(shí)間序列是非平穩(wěn)的;

對應(yīng)于（**）式，則是>0或=0。

因此，針對式：

Xt=+Xt-1+t

我們關(guān)心的檢驗(yàn)為：零假設(shè)H0：=0。

備擇假設(shè)H1：<0第51頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六上述檢驗(yàn)可通過OLS法下的t檢驗(yàn)完成。然而，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計(jì)量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t檢驗(yàn)無法使用。

Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計(jì)量服從的分布（這時(shí)的t統(tǒng)計(jì)量稱為統(tǒng)計(jì)量），即DF分布（見表9.1.3）。由于t統(tǒng)計(jì)量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布。第52頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

因此，可通過OLS法估計(jì)：

Xt=+Xt-1+t并計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：第53頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六如果：t<臨界值，則拒絕零假設(shè)H0：=0，認(rèn)為時(shí)間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結(jié)果是相同的。例如：“如果計(jì)算得到的t統(tǒng)計(jì)量的絕對值大于臨界值的絕對值，則拒絕=0”的原假設(shè)，表明原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。第54頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

問題的提出：

在利用Xt=+Xt-1+t對時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)中，實(shí)際上假定了時(shí)間序列是由具有白噪聲隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自回歸過程AR(1)生成的。但在實(shí)際檢驗(yàn)中，時(shí)間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機(jī)誤差項(xiàng)并非是白噪聲，這樣用OLS法進(jìn)行估計(jì)均會表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項(xiàng)出現(xiàn)自相關(guān)（autocorrelation），導(dǎo)致DF檢驗(yàn)無效。

2、ADF檢驗(yàn)第55頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六另外，如果時(shí)間序列包含有明顯的隨時(shí)間變化的某種趨勢（如上升或下降），則也容易導(dǎo)致上述檢驗(yàn)中的自相關(guān)隨機(jī)誤差項(xiàng)問題。

為了保證DF檢驗(yàn)中隨機(jī)誤差項(xiàng)的白噪聲特性，Dicky和Fuller對DF檢驗(yàn)進(jìn)行了擴(kuò)充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）檢驗(yàn)。第56頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六ADF檢驗(yàn)是通過下面三個(gè)模型完成的：第57頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六模型3中的t是時(shí)間變量，代表了時(shí)間序列隨時(shí)間變化的某種趨勢（如果有的話）。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數(shù)項(xiàng)和趨勢項(xiàng)。

檢驗(yàn)的假設(shè)都是：針對H1:<0,檢驗(yàn)H0：=0，即存在一單位根。第58頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

實(shí)際檢驗(yàn)時(shí)從模型3開始，然后模型2、模型1。

何時(shí)檢驗(yàn)拒絕零假設(shè)，即原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列，何時(shí)檢驗(yàn)停止。否則，就要繼續(xù)檢驗(yàn)，直到檢驗(yàn)完模型1為止。

檢驗(yàn)原理與DF檢驗(yàn)相同，只是對模型1、2、3進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，有各自相應(yīng)的臨界值。表9.1.4給出了三個(gè)模型所使用的ADF分布臨界值表。第59頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六2.202.182.172.162.162.162.612.562.542.532.522.522.972.892.862.842.832.833.413.283.223.193.183.182550100250500〉500-2.62-2.60-2.58-2.57-2.57-2.57-3.00-2.93-2.89-2.88-2.87-2.86-3.33-3.22-3.17-3.14-3.13-3.12-3.75-3.58-3.51-3.46-3.44-3.432550100250500〉5002-1.60-1.61-1.61-1.61-1.61-1.61-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-2.26-2.25-2.24-2.23-2.23-2.23-2.66-2.62-2.60-2.58-2.58-2.582550100250500〉50010.100.050.0250.01樣本容量統(tǒng)計(jì)量模型表：9.1.4不同模型使用的ADF分布臨界值表ststat第60頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六2.392.382.382.382.382.382.852.812.792.792.782.783.253.183.143.123.113.113.743.603.533.493.483.462550100250500〉5002.772.752.732.732.722.723.203.143.113.093.083.083.593.423.423.393.383.384.053.873.783.743.723.712550100250500〉500-3.24-3.18-3.15-3.13-3.13-3.12-3.603.50-3.45-3.43-3.42-3.41-3.95-3.80-3.73-3.69-3.68-3.66-4.38-4.15-4.04-3.99-3.98-3.962550100250500〉50030.100.050.0250.01樣本容量統(tǒng)計(jì)量模型續(xù)表：9.1.4不同模型使用的ADF分布臨界值表statbt第61頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

同時(shí)估計(jì)出上述三個(gè)模型的適當(dāng)形式，然后通過ADF臨界值表檢驗(yàn)零假設(shè)H0：=0。1）只要其中有一個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果拒絕了零假設(shè)，就可以認(rèn)為時(shí)間序列是平穩(wěn)的；2）當(dāng)三個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時(shí)，則認(rèn)為時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。這里所謂模型的適當(dāng)形式指在每個(gè)模型中選取適當(dāng)?shù)臏蟛罘猪?xiàng)，以使模型的殘差項(xiàng)是一個(gè)白噪聲（保證不存在自相關(guān)）。一個(gè)簡單的檢驗(yàn)過程：第62頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六例9.1.6檢驗(yàn)1978~2000年間中國支出法GDP序列的平穩(wěn)性。1）經(jīng)過償試，模型3取了2階滯后：

通過拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)（Lagrangemultipliertest）對隨機(jī)誤差項(xiàng)的自相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)：LM（1）=0.92，LM（2）=4.16，第63頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六小于5%顯著性水平下自由度分別為1與2的2分布的臨界值，可見不存在自相關(guān)性，因此該模型的設(shè)定是正確的。從的系數(shù)看，t>臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。時(shí)間T的t統(tǒng)計(jì)量小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。第64頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

2）經(jīng)試驗(yàn)，模型2中滯后項(xiàng)取2階：LM檢驗(yàn)表明模型殘差不存在自相關(guān)性，因此該模型的設(shè)定是正確的。從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計(jì)量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。常數(shù)項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量小于ADF分布表中的臨界值，不能拒絕不存常數(shù)項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。第65頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六3)經(jīng)試驗(yàn)，模型1中滯后項(xiàng)取2階：

LM檢驗(yàn)表明模型殘差項(xiàng)不存在自相關(guān)性，因此模型的設(shè)定是正確的。從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計(jì)量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)?？蓴喽ㄖ袊С龇℅DP時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。第66頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六例9.1.7

檢驗(yàn)§2.10中關(guān)于人均居民消費(fèi)與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時(shí)間序列的平穩(wěn)性。

1)對中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC來說，經(jīng)過償試，三個(gè)模型的適當(dāng)形式分別為：第67頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六第68頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

三個(gè)模型中GDPPCt-1的參數(shù)的估計(jì)值的t統(tǒng)計(jì)量均大于各自ADF分布的臨界值，因此不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。

結(jié)論：人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPC）是非平穩(wěn)的。第69頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

2）對于人均居民消費(fèi)CPC時(shí)間序列來說，三個(gè)模型的適當(dāng)形式為：第70頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六第71頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

三個(gè)模型中CPCt-1的參數(shù)估計(jì)量的t統(tǒng)計(jì)量的值均比ADF臨界值表中各自的臨界值大，不能拒絕該時(shí)間序列存在單位根的零假設(shè)。因此,可判斷人均居民消費(fèi)序列CPC是非平穩(wěn)的。第72頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六五、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程第73頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

隨機(jī)游走序列Xt=Xt-1+t經(jīng)差分后等價(jià)地變形為Xt=t，由于t是一個(gè)白噪聲，因此差分后的序列{Xt}是平穩(wěn)的。如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原序列是一階單整（integratedof1）序列，記為I(1)。一般地，如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過d次差分后變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是d階單整（integratedofd）序列，記為I(d)。⒈單整第74頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六顯然，I(0)代表一平穩(wěn)時(shí)間序列?，F(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中:1)只有少數(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，如利率等;2)大多數(shù)指標(biāo)的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，如一些價(jià)格指數(shù)常常是2階單整的，以不變價(jià)格表示的消費(fèi)額、收入等常表現(xiàn)為1階單整。第75頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六大多數(shù)非平穩(wěn)的時(shí)間序列一般可通過一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。但也有一些時(shí)間序列，無論經(jīng)過多少次差分，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱為非單整的（non-integrated）。第76頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六例9.1.8中國支出法GDP的單整性。經(jīng)過試算，發(fā)現(xiàn)中國支出法GDP是1階單整的，適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑椋旱?7頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六例9.1.9中國人均居民消費(fèi)與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的單整性。經(jīng)過試算，發(fā)現(xiàn)中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC是2階單整的，適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑椋?/p>

第78頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六同樣地，CPC也是2階單整的，適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑椋旱?9頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

⒉趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程

前文已指出，一些非平穩(wěn)的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列往往表現(xiàn)出共同的變化趨勢，而這些序列間本身不一定有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這時(shí)對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，盡管有較高的R2，但其結(jié)果是沒有任何實(shí)際意義的。這種現(xiàn)象我們稱之為虛假回歸或偽回歸（spuriousregression）。第80頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六如：用中國的勞動力時(shí)間序列數(shù)據(jù)與美國GDP時(shí)間序列作回歸，會得到較高的R2，但不能認(rèn)為兩者有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，而只不過它們有共同的趨勢罷了，這種回歸結(jié)果我們認(rèn)為是虛假的。

為了避免這種虛假回歸的產(chǎn)生，通常的做法是引入作為趨勢變量的時(shí)間，這樣包含有時(shí)間趨勢變量的回歸，可以消除這種趨勢性的影響。第81頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

然而這種做法，只有當(dāng)趨勢性變量是確定性的（deterministic）而非隨機(jī)性的（stochastic），才會是有效的。換言之，一個(gè)包含有某種確定性趨勢的非平穩(wěn)時(shí)間序列，可以通過引入表示這一確定性趨勢的趨勢變量，將確定性趨勢分離出來。第82頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

1)如果=1，=0，則（*）式成為一帶位移的隨機(jī)游走過程：Xt=+Xt-1+t（**）

根據(jù)的正負(fù)，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為隨機(jī)性趨勢（stochastictrend）?？紤]如下的含有一階自回歸的隨機(jī)過程：Xt=+t+Xt-1+t（*）其中:t是一白噪聲，t為一時(shí)間趨勢。第83頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六2)如果=0，0，則（*）式成為一帶時(shí)間趨勢的隨機(jī)變化過程：Xt=+t+t（***）

根據(jù)的正負(fù)，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為確定性趨勢（deterministictrend）。3)

如果=1，0，則Xt包含有確定性與隨機(jī)性兩種趨勢。第84頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六判斷一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列，它的趨勢是隨機(jī)性的還是確定性的，可通過ADF檢驗(yàn)中所用的第3個(gè)模型進(jìn)行。該模型中已引入了表示確定性趨勢的時(shí)間變量t，即分離出了確定性趨勢的影響。因此：

(1)如果檢驗(yàn)結(jié)果表明所給時(shí)間序列有單位根，且時(shí)間變量前的參數(shù)顯著為零，則該序列顯示出隨機(jī)性趨勢;

(2)如果沒有單位根，且時(shí)間變量前的參數(shù)顯著地異于零，則該序列顯示出確定性趨勢。第85頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

隨機(jī)性趨勢可通過差分的方法消除例如：對式：Xt=+Xt-1+t可通過差分變換為：

Xt=+t該時(shí)間序列稱為差分平穩(wěn)過程（differencestationaryprocess）；第86頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

確定性趨勢無法通過差分的方法消除，而只能通過除去趨勢項(xiàng)消除例如：對式：Xt=+t+t可通過除去t變換為：Xt-t

=+t該時(shí)間序列是平穩(wěn)的，因此稱為趨勢平穩(wěn)過程（trendstationaryprocess）。需要說明的是，趨勢平穩(wěn)過程代表了一個(gè)時(shí)間序列長期穩(wěn)定的變化過程，因而用于進(jìn)行長期預(yù)測更為可靠。第87頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六§9.2隨機(jī)時(shí)間序列分析模型一、時(shí)間序列模型的基本概念及其適用性二、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識別四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì)五、隨機(jī)時(shí)間序列模型的檢驗(yàn)第88頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六說明經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型與時(shí)間序列模型確定性時(shí)間序列模型與隨機(jī)性時(shí)間序列模型第89頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六一、時(shí)間序列模型的基本概念及其適用性第90頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六1、時(shí)間序列模型的基本概念時(shí)間序列模型（timeseriesmodel）是指僅用它的過去值及隨機(jī)擾動項(xiàng)所建立起來的模型，其一般形式為:

Xt=F(Xt-1,Xt-2,…,t)

建立具體的時(shí)間序列模型，需解決如下三個(gè)問題：

第91頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六(1)模型的具體形式(2)時(shí)序變量的滯后期(3)隨機(jī)擾動項(xiàng)的結(jié)構(gòu)

例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機(jī)擾動項(xiàng)（t=t），模型將是一個(gè)1階自回歸過程AR(1)：Xt=Xt-1+t，這里，t特指一白噪聲。

第92頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六一般的p階自回歸過程AR(p)是

Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)

(1)如果隨機(jī)擾動項(xiàng)是一個(gè)白噪聲(t=t)，則稱(*)式為一純AR(p)過程（pureAR(p)process），記為:

Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t

第93頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六(2)如果t不是一個(gè)白噪聲，通常認(rèn)為它是一個(gè)q階的移動平均（movingaverage）過程MA(q)：

t=t-1t-1-2t-2--qt-q該式給出了一個(gè)純MA(q)過程（pureMA(q)process）。第94頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

將純AR(p)與純MA(q)結(jié)合，得到一個(gè)一般的自回歸移動平均（autoregressivemovingaverage）過程ARMA（p,q）：

Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+

t-

1t-1-

2t-2-

-

qt-q

該式表明：（1）一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列可以通過一個(gè)自回歸移動平均過程生成，即該序列可以由其自身的過去或滯后值以及隨機(jī)擾動項(xiàng)來解釋。第95頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六（2）如果該序列是平穩(wěn)的，即它的行為并不會隨著時(shí)間的推移而變化，那么我們就可以通過該序列過去的行為來預(yù)測未來。

這也正是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的優(yōu)勢所在。第96頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六經(jīng)典回歸模型的問題：迄今為止，對一個(gè)時(shí)間序列Xt的變動進(jìn)行解釋或預(yù)測，是通過某個(gè)單方程回歸模型或聯(lián)立方程回歸模型進(jìn)行的，由于它們以因果關(guān)系為基礎(chǔ)，且具有一定的模型結(jié)構(gòu)，因此也常稱為結(jié)構(gòu)式模型（structuralmodel）。

2、時(shí)間序列分析模型的適用性第97頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六然而，如果Xt波動的主要原因可能是我們無法解釋的因素，如氣候、消費(fèi)者偏好的變化等，則利用結(jié)構(gòu)式模型來解釋Xt的變動就比較困難或不可能，因?yàn)橐〉孟鄳?yīng)的量化數(shù)據(jù)，并建立令人滿意的回歸模型是很困難的。有時(shí)，即使能估計(jì)出一個(gè)較為滿意的因果關(guān)系回歸方程，但由于對某些解釋變量未來值的預(yù)測本身就非常困難，甚至比預(yù)測應(yīng)變量的未來值更困難，這時(shí)因果關(guān)系的回歸模型及其預(yù)測技術(shù)就不適用了。第98頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六例如，時(shí)間序列過去是否有明顯的增長趨勢，如果增長趨勢在過去的行為中占主導(dǎo)地位，能否認(rèn)為它也會在未來的行為里占主導(dǎo)地位？或者時(shí)間序列顯示出循環(huán)周期性行為，能否利用過去的這種行為來外推它的未來走向？隨機(jī)時(shí)間序列分析模型，就是要通過序列過去的變化特征來預(yù)測未來的變化趨勢。

另一條預(yù)測途徑：通過時(shí)間序列的歷史數(shù)據(jù)，得出關(guān)于其過去行為的有關(guān)結(jié)論，進(jìn)而對時(shí)間序列未來行為進(jìn)行推斷。第99頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六使用時(shí)間序列分析模型的另一個(gè)原因在于：如果經(jīng)濟(jì)理論正確地闡釋了現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，則這一結(jié)構(gòu)可以寫成類似于ARMA(p,q)式的時(shí)間序列分析模型的形式。第100頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六使用時(shí)間序列分析模型的另一個(gè)原因：如果經(jīng)濟(jì)理論正確地闡釋了現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，則這一結(jié)構(gòu)可以寫成類似于ARMA(p,q)的形式。

例如，對于如下最簡單的宏觀經(jīng)濟(jì)模型：Ct、It、Yt分別表示消費(fèi)、投資與國民收入。Ct與Yt作為內(nèi)生變量，它們的運(yùn)動是由作為外生變量的投資It的運(yùn)動及隨機(jī)擾動項(xiàng)t的變化決定的。第101頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六上述模型可作變形如下：兩個(gè)方程等式右邊除去第一項(xiàng)外的剩余部分可看成一個(gè)綜合性的隨機(jī)擾動項(xiàng)，其特征依賴于投資項(xiàng)It的行為。如果It是一個(gè)白噪聲，則Ct就成為一個(gè)AR(1)過程，而Yt就成為一個(gè)ARMA(1,1)過程。第102頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六二、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件第103頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

自回歸移動平均模型（ARMA）是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的普遍形式，自回歸模型（AR）和移動平均模型（MA）是它的特殊情況。關(guān)于這幾類模型的研究，是時(shí)間序列分析的重點(diǎn)內(nèi)容：主要包括模型的平穩(wěn)性分析、模型的識別和模型的估計(jì)。

1、AR(p)模型的平穩(wěn)性條件第104頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性，可通過它所生成的隨機(jī)時(shí)間序列的平穩(wěn)性來判斷。如果一個(gè)p階自回歸模型AR(p)生成的時(shí)間序列是平穩(wěn)的，就說該AR(p)模型是平穩(wěn)的。否則，就說該AR(p)模型是非平穩(wěn)的。第105頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

考慮p階自回歸模型AR(p)

Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)引入滯后算子（lagoperator）L：

LXt=Xt-1,L2Xt=Xt-2,…,LpXt=Xt-p(*)式變換為：

Xt=1LXt+2L2Xt+…+pLpXt+t

(1-1L-2L2-…-pLp)Xt=t

第106頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六記(L)=(1-1L-2L2-…-pLp),則稱多項(xiàng)式方程：

(z)=(1-1z-2z2-…-pzp)=0為AR(p)的特征方程(characteristicequation)。

可以證明，如果該特征方程的所有根均在單位圓之外（根的模大于1），則AR(p)模型是平穩(wěn)的。

第107頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

例9.2.1AR(1)模型的平穩(wěn)性條件。對1階自回歸模型AR(1)方程兩邊平方再求數(shù)學(xué)期望，得到Xt的方差：由于Xt僅與t相關(guān)，因此，E(Xt-1t)=0。如果該模型穩(wěn)定，則有E(Xt2)=E(Xt-12)，從而上式可變換為：第108頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六在穩(wěn)定條件下，該方差是一非負(fù)的常數(shù)，從而有

||<1。

而AR(1)的特征方程：的根為：z=1/

AR(1)穩(wěn)定，即||<1，意味著特征根的絕對值大于1，即特征根在單位圓之外。第109頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六例9.2.2AR(2)模型的平穩(wěn)性條件。對AR(2)模型：

方程(1)兩邊同乘以Xt，再取期望得：

方程(1)兩邊同乘以εt，再取期望得：(1)(2)(3)第110頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六(3)代入（2）得：

方程（1）兩邊分別同乘以Xt-1、Xt-2，再取期望得從（5）、（6）中解出γ1

、γ2，代入（4）得方差為：（4）（5）（6）（7）第111頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

由平穩(wěn)性的定義，該方差必須是一不變的正數(shù)，于是有1+2<1,2-1<1,|2|<1這就是AR(2)的平穩(wěn)性條件，或稱為平穩(wěn)域。它是一頂點(diǎn)分別為（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。

第112頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六對應(yīng)的特征方程1-1z-2z2=0的兩個(gè)根z1、z2滿足：z1z2=-1/2,

z1+z2=-1/2AR(2)模型：解出1，2：第113頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六由AR(2)的平穩(wěn)性，|2|=1/(|z1||z2|)<1，則至少有一個(gè)根的模大于1，不妨設(shè)|z1|>1，有：于是|z2|>1。由2

-

1

<1可推出同樣的結(jié)果。第114頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

對高階自回模型AR(p)來說，多數(shù)情況下沒有必要直接計(jì)算其特征方程的特征根，但有一些有用的規(guī)則可用來檢驗(yàn)高階自回歸模型的穩(wěn)定性：

(1)AR(p)模型穩(wěn)定的必要條件是：

1+2++p<1

(2)由于i(i=1,2,p)可正可負(fù)，AR(p)模型穩(wěn)定的充分條件是：

|1|+|2|++|p|<1

第115頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六對于移動平均模型MA(q)：Xt=t-

1t-1-

2t-2-

-

qt-q

其中t是一個(gè)白噪聲，于是：2、MA(q)模型的平穩(wěn)性

第116頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六當(dāng)滯后期大于q時(shí)，Xt的自協(xié)方差系數(shù)為0。綜上，有限階移動平均模型總是平穩(wěn)的。

第117頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

由于ARMA(p,q)模型是AR(p)模型與MA(q)模型的組合：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+

t-

1t-1-

2t-2-

-

qt-q3、ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性

而MA(q)模型總是平穩(wěn)的，因此ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性取決于AR(p)部分的平穩(wěn)性。

當(dāng)AR(p)部分平穩(wěn)時(shí)，則該ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的，否則，ARMA(p,q)模型不是平穩(wěn)的。第118頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

4、總結(jié)

（1）一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機(jī)過程或模型；（2）一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列通?？梢酝ㄟ^差分的方法將它變換為平穩(wěn)的，對差分后平穩(wěn)的時(shí)間序列也可找出對應(yīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程或模型。

第119頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六因此，如果我們將一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列通過d次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個(gè)平穩(wěn)的ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，則說原時(shí)間序列是一個(gè)自回歸單整移動平均（autoregressiveintegratedmovingaverage）時(shí)間序列，記為ARIMA(p,d,q)。第120頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六例如，一個(gè)ARIMA(2,1,2)時(shí)間序列在它成為平穩(wěn)序列之前先得差分一次，然后用一個(gè)ARMA(2,2)模型作為它的生成模型。

當(dāng)然，一個(gè)ARIMA(p,0,0)過程表示一個(gè)純AR(p)平穩(wěn)過程；一個(gè)ARIMA(0,0,q)表示一個(gè)純MA(q)平穩(wěn)過程。第121頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識別第122頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

所謂隨機(jī)時(shí)間序列模型的識別，就是對于一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列，找出生成它的合適的隨機(jī)過程或模型，即判斷該時(shí)間序列是遵循一純AR過程、純MA過程或ARMA過程。

所使用的工具主要是時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)（autocorrelationfunction，ACF）及偏自相關(guān)函數(shù)（partialautocorrelationfunction，PACF）。第123頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

1、AR(p)過程

(1)自相關(guān)函數(shù)ACF

1階自回歸模型AR(1)：Xt=Xt-1+t

的k階滯后自協(xié)方差為：k=1,2,…第124頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六因此，AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù)為：

k=1,2,…

由AR(1)的穩(wěn)定性知||<1，因此，k時(shí)，呈指數(shù)形衰減，直到零。這種現(xiàn)象稱為拖尾或稱AR(1)有無窮記憶（infinitememory）。

注意，<0時(shí)，呈振蕩衰減狀。

第125頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

Xt=1Xt-1+2Xt-2+t

該模型的方差0以及滯后1期與2期的自協(xié)方差1,2分別為：

２階自回歸模型AR(2)

類似地,可寫出一般的k期滯后自協(xié)方差：

(k=2,3,…)第126頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六于是,AR(2)的k階自相關(guān)函數(shù)為：

(K=2,3,…)其中:0=1，1=1/(1-2)

如果AR(2)穩(wěn)定，則由1+2<1知|k|衰減趨于零，呈拖尾狀。至于衰減的形式，要看AR(2)特征根的實(shí)虛性，若為實(shí)根，則呈單調(diào)或振蕩型衰減，若為虛根，則呈正弦波型衰減。

第127頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六一般地，p階自回歸模型AR(p)：

Xt=1Xt-1+2Xt-2+…

pXt-p+

tk期滯后協(xié)方差為:

從而有自相關(guān)函數(shù):第128頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

可見，無論k有多大，k的計(jì)算均與其１到p階滯后的自相關(guān)函數(shù)有關(guān)，因此呈拖尾狀。

如果AR(p)是穩(wěn)定的，則|k|遞減且趨于零。

事實(shí)上，自相關(guān)函數(shù)：是一p階廣義差分方程，其通解為：第129頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平穩(wěn)的條件知，|zi|<1;

因此，

當(dāng)1/zi均為實(shí)數(shù)根時(shí)，k呈幾何型衰減（單調(diào)或振蕩）；當(dāng)存在虛數(shù)根時(shí)，則一對共扼復(fù)根構(gòu)成通解中的一個(gè)阻尼正弦波項(xiàng)，k呈正弦波衰減。第130頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

（2）偏自相關(guān)函數(shù)

自相關(guān)函數(shù)ACF(k)給出了Xt與Xt-k的總體相關(guān)性，但總體相關(guān)性可能掩蓋了變量間完全不同的隱含關(guān)系。

例如，在AR(1)隨機(jī)過程中，Xt與Xt-2間有相關(guān)性可能主要是由于它們各自與Xt-1間的相關(guān)性帶來的:第131頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六即自相關(guān)函數(shù)中包含了這種所有的“間接”相關(guān)。與之相反，Xt與Xt-k間的偏自相關(guān)函數(shù)(partialautocorrelation，簡記為PACF)則是消除了中間變量Xt-1，…，Xt-k+1

帶來的間接相關(guān)后的直接相關(guān)性，它是在已知序列值Xt-1，…，Xt-k+1的條件下，Xt與Xt-k間關(guān)系的度量。第132頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

從Xt中去掉Xt-1的影響，則只剩下隨機(jī)擾動項(xiàng)t，顯然它與Xt-2無關(guān)，因此我們說Xt與Xt-2的偏自相關(guān)系數(shù)為零，記為：在AR(1)中，第133頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

同樣地，在AR(p)過程中，對所有的k>p，Xt與Xt-k間的偏自相關(guān)系數(shù)為零。

AR(p)的一個(gè)主要特征是:k>p時(shí)，

k*=Corr(Xt,Xt-k)=0

即k*在p以后是截尾的。一隨機(jī)時(shí)間序列的識別原則：若Xt的偏自相關(guān)函數(shù)在p以后截尾，即k>p時(shí)，k*=0，而它的自相關(guān)函數(shù)k是拖尾的，則此序列是AR(p)序列。第134頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

在實(shí)際識別時(shí)，由于樣本偏自相關(guān)函數(shù)rk*是總體偏自相關(guān)函數(shù)k*的一個(gè)估計(jì)，由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng)k>p時(shí)，rk*不會全為0，而是在0的上下波動。但可以證明，當(dāng)k>p時(shí)，rk*服從如下漸近正態(tài)分布:rk*~N(0,1/n)式中n表示樣本容量。需指出的是，第135頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六我們就有95.5%的把握判斷原時(shí)間序列在p之后截尾。因此，如果計(jì)算的rk*滿足：第136頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

對MA(1)過程：2、MA(q)過程

可容易地推導(dǎo)出它的自協(xié)方差系數(shù)：

于是，MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)為：第137頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六可見，當(dāng)k>1時(shí)，k=0，即Xt與Xt-k不相關(guān)，MA(1)自相關(guān)函數(shù)是截尾的。

MA(1)過程可以等價(jià)地寫成t關(guān)于無窮序列Xt，Xt-1，…的線性組合的形式：或：（*）

(*)是一個(gè)AR()過程，它的偏自相關(guān)函數(shù)非截尾但卻趨于零，因此MA(1)的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但卻趨于零的。

第138頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

注意:

(*)式只有當(dāng)||<1時(shí)才有意義，否則意味著距Xt越遠(yuǎn)的X值，對Xt的影響越大，顯然不符合常理。因此，我們把||<1稱為MA(1)的可逆性條件（invertibilitycondition）或可逆域。

第139頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六其自協(xié)方差系數(shù)為：

一般地，q階移動平均過程MA(q)

相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)為：

第140頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

可見，當(dāng)k>q時(shí)，Xt與Xt-k不相關(guān)，即存在截尾現(xiàn)象，因此，當(dāng)k>q時(shí)，k=0是MA(q)的一個(gè)特征。于是：可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)是否從某一點(diǎn)開始一直為0來判斷MA(q)模型的階。

與MA(1)相仿，可以驗(yàn)證MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但趨于零的。第141頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

MA(q)模型的識別規(guī)則：若隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)截尾，即自q以后，k=0（k>q）；而它的偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則此序列是MA(q)序列。

同樣需要注意的是：在實(shí)際識別時(shí)，由于樣本自相關(guān)函數(shù)rk是總體自相關(guān)函數(shù)k的一個(gè)估計(jì)，由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng)k>q時(shí)，rk不會全為0，而是在0的上下波動。但可以證明，當(dāng)k>q時(shí)，rk服從如下漸近正態(tài)分布:第142頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六rk~N(0,1/n)式中n表示樣本容量。因此，如果計(jì)算的rk滿足：我們就有95.5%的把握判斷原時(shí)間序列在q之后截尾。第143頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù)，可以看作MA(q)的自相關(guān)函數(shù)和AR(p)的自相關(guān)函數(shù)的混合物。

當(dāng)p=0時(shí)，它具有截尾性質(zhì)；

當(dāng)q=0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)；當(dāng)p、q都不為0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)3、ARMA(p,q)過程

第144頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六從識別上看，通常：

ARMA(p，q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）可能在p階滯后前有幾項(xiàng)明顯的尖柱（spikes），但從p階滯后項(xiàng)開始逐漸趨向于零；而它的自相關(guān)函數(shù)（ACF）則是在q階滯后前有幾項(xiàng)明顯的尖柱，從q階滯后項(xiàng)開始逐漸趨向于零。

第145頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六第146頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六第147頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六第148頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六第149頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì)第150頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估計(jì)方法較多，大體上分為3類：

（1）最小二乘估計(jì)；（2）矩估計(jì)；（3）利用自相關(guān)函數(shù)的直接估計(jì)。

下面有選擇地加以介紹。結(jié)構(gòu)階數(shù)模型識別確定估計(jì)參數(shù)第151頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六⒈AR(p)模型的YuleWalker方程估計(jì)在AR(p)模型的識別中，曾得到：

利用k=-k，得到如下方程組：

第152頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

此方程組被稱為YuleWalker方程組。該方程組建立了AR(p)模型的參數(shù)1,2,,p與自相關(guān)函數(shù)1,2,,p的關(guān)系，

利用實(shí)際時(shí)間序列提供的信息，首先求得自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值：

然后利用YuleWalker方程組，求解模型參數(shù)的估計(jì)值：第153頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六由于：

于是,

從而可得2的估計(jì)值

在具體計(jì)算時(shí)，可用樣本自相關(guān)函數(shù)rk替代。第154頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六⒉MA(q)模型的矩估計(jì)

將MA(q)模型的自協(xié)方差函數(shù)中的各個(gè)量用估計(jì)量代替，得到：

(*)第155頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

首先求得自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)值，(*)是一個(gè)包含(q+1)個(gè)待估參數(shù)

的非線性方程組，可以用直接法或迭代法求解。

常用的迭代方法有線性迭代法和Newton-Raphsan迭代法。第156頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

（1）MA(1)模型的直接算法對于MA(1)模型，（*）式相應(yīng)地寫成：于是：

或：有：第157頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六于是有解：

由于參數(shù)估計(jì)有兩組解，可根據(jù)可逆性條件|1|<1來判斷選取一組。

第158頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

（2）MA(q)模型的迭代算法

對于q>1的MA(q)模型，一般用迭代算法估計(jì)參數(shù)：由（*）式得（**）第159頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六第一步，給出的一組初值，比如,代入（**）式，計(jì)算出第一次迭代值，第160頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

第二步，將第一次迭代值代入（**）式，計(jì)算出第二次迭代值

按此反復(fù)迭代下去，直到第m步的迭代值與第m-1步的迭代值相差不大時(shí)（滿足一定的精度），便停止迭代，并用第m步的迭代結(jié)果作為（**）的近似解。

第161頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六⒊ARMA(p,q)模型的矩估計(jì)

在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)個(gè)待估參數(shù)1,2,,p與1,2,,q以及2，其估計(jì)量計(jì)算步驟及公式如下：

第一步，估計(jì)1,2,,p

第162頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六是總體自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值，可用樣本自相關(guān)函數(shù)rk代替。

第二步，改寫模型，求1,2,,q以及2的估計(jì)值

將模型：

第163頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六改寫為：

令，

于是(*)可以寫成：

(*)

構(gòu)成一個(gè)MA模型。按照估計(jì)MA模型參數(shù)的方法，可以得到1,2,,q以及2的估計(jì)值。

第164頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六⒋

AR(p)的最小二乘估計(jì)

假設(shè)模型AR(p)的參數(shù)估計(jì)值已經(jīng)得到，即有，

殘差的平方和為：

(*)第165頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

根據(jù)最小二乘原理，所要求的參數(shù)估計(jì)值是下列方程組的解：

即，j=1,2,…,p(**)解該方程組，就可得到待估參數(shù)的估計(jì)值。

第166頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

為了與AR(p)模型的YuleWalker方程估計(jì)進(jìn)行比較，將(**)改寫成：

j=1,2,…,p由自協(xié)方差函數(shù)的定義，并用自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)值第167頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六代入，上式表示的方程組即為：

或，j=1,2,…,pj=1,2,…,p第168頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六解該方程組，得到：

即為參數(shù)的最小二乘估計(jì)。YuleWalker方程組的解：第169頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六比較發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n足夠大時(shí)，二者是相似的。2的估計(jì)值為：

需要說明的是，在上述模型的平穩(wěn)性、識別與估計(jì)的討論中，ARMA(p,q)模型中均未包含常數(shù)項(xiàng)。如果包含常數(shù)項(xiàng)，該常數(shù)項(xiàng)并不影響模型的原有性質(zhì)，因?yàn)橥ㄟ^適當(dāng)?shù)淖冃危蓪?shù)項(xiàng)的模型轉(zhuǎn)換為不含常數(shù)項(xiàng)的模型。第170頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

下面以一般的ARMA(p,q)模型為例說明。對含有常數(shù)項(xiàng)的模型：方程兩邊同減/(1-1--p)，則可得到：

其中，第171頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六五、模型的檢驗(yàn)第172頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

由于ARMA(p,q)模型的識別與估計(jì)是在假設(shè)隨機(jī)擾動項(xiàng)是一白噪聲的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此，如果估計(jì)的模型確認(rèn)正確的話，殘差應(yīng)代表一白噪聲序列。

如果通過所估計(jì)的模型計(jì)算的樣本殘差不代表一白噪聲，則說明模型的識別與估計(jì)有誤，需重新識別與估計(jì)。

在實(shí)際檢驗(yàn)時(shí)，主要檢驗(yàn)殘差序列是否存在自相關(guān)。1、殘差項(xiàng)的白噪聲檢驗(yàn)

第173頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六

可用QLB的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行2檢驗(yàn)：在給定顯著性水平下，可計(jì)算不同滯后期的QLB值，通過與2分布表中的相應(yīng)臨界值比較，來檢驗(yàn)是否拒絕殘差序列為白噪聲的假設(shè)。若大于相應(yīng)臨界值，則應(yīng)拒絕所估計(jì)的模型，需重新識別與估計(jì)。第174頁，共268頁，2023年，2月20日，星期六2、AIC與SBC模型選擇標(biāo)準(zhǔn)另外一個(gè)遇到的問題是，在實(shí)際識別ARMA(p,q)模型時(shí)，需多次反復(fù)嘗試，有可能存在不止一組（