數(shù)學(xué)精神與方法第七講

數(shù)學(xué)精神與方法第七講第1頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六§3.3迭代產(chǎn)生的混沌與分形回顧自然數(shù)的基本原理之一——遞歸原理：第2頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六無限次迭代會發(fā)生什么現(xiàn)象？加法和乘法連同其逆運(yùn)算（減法和除法）的威力在上一講我們已有所感受。想一想，“數(shù)形合一”的實(shí)現(xiàn)，竟然是對自然數(shù)無限次地運(yùn)用簡單四則運(yùn)算的結(jié)果。那么，我們在驚嘆“萬物皆數(shù)”此言不虛的同時，能不感受運(yùn)算——尤其是無限次運(yùn)算——的震撼嗎？！感謝上蒼讓我們，按邏輯給予的啟示，憑借自身心靈的力量就學(xué)會了無限次運(yùn)算。在此，我們提醒大家，不要忘記遞歸原理和數(shù)學(xué)歸納法原理的作用，不要無視“無限”的觀念所蘊(yùn)含的超越性力量。遞歸原理還引出了一種極其重要的數(shù)學(xué)操作——映射的迭代第3頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六迭代與動力系統(tǒng)自然界中的許多現(xiàn)象，是由嚴(yán)格的因果關(guān)系所支配的。例如，月亮的陰晴圓缺、四季的交替更迭、日食和月食的發(fā)生等等。這一類完全由因果關(guān)系支配的系統(tǒng)，叫做決定性系統(tǒng)。研究決定性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)分支，稱作動力系統(tǒng)理論。決定性系統(tǒng)的基本特征是：在這個系統(tǒng)中，今日的種種現(xiàn)象，是昨日種種現(xiàn)象的必然結(jié)果；而明日種種現(xiàn)象，又以今日的種種現(xiàn)象為其原因。這就是說，從系統(tǒng)的初始狀態(tài)出發(fā)，依據(jù)系統(tǒng)的因果規(guī)律，將確定系統(tǒng)的未來的一切。從數(shù)學(xué)的角度看，一個映射φ:S→S可以代表某種因果規(guī)律，其定義域S用于表示系統(tǒng)的各種可能狀態(tài)構(gòu)成的集合。設(shè)x0∈S表示一個初始狀態(tài)，那么由狀態(tài)x0到下一個狀態(tài)φ(x0)就是因果規(guī)律φ

在起作用；設(shè)想這種規(guī)律相繼地不斷作用下去，我們就會得到一個狀態(tài)的序列——一個迭代序列：

x0，x1=φ(x0)，x2=φ(x1)，x3=φ(x2)，……。動力系統(tǒng)理論的基本目的就是了解一個迭代過程之最終的或漸進(jìn)的性態(tài)。迭代這一數(shù)學(xué)模式成為描述決定性系統(tǒng)的理想工具。第4頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六基本概念第5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六混沌的數(shù)學(xué)描述

注：在動力系統(tǒng)理論中，對混沌有許多可行的定義，我們選擇的定義適用面較寬且較易檢驗(yàn)。第6頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六第7頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六附錄度量空間的概念

第8頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六第9頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六混沌動力系統(tǒng)的例子例1符號動力系統(tǒng)第10頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六第11頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六例2單位圓周上的混沌系統(tǒng)第12頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六例3

Logistic映射——f?(x)=?x(1-x)第13頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六Λ?的構(gòu)造與它上面的軌道Λ?的構(gòu)造說明第14頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六第15頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六第16頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六倍周期分支與Feigenbaum現(xiàn)象

隨著參數(shù)?

的增大，f?(x)=?x(1-x)的相圖的演變規(guī)律x?混沌區(qū)第17頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六分支圖的解釋第18頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六第19頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六第20頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六迭代與分形（fractal）

例3中的Logistic映射f?(x)=?x(1-x)，當(dāng)?大于4時，會在單位區(qū)間[0,1]中產(chǎn)生一個不變集Λ?，使得f?(x)在Λ?上是混沌的。Λ?是一個康托集，其幾何形態(tài)呈現(xiàn)出復(fù)雜的不規(guī)則性。值得注意的是，Λ?這種集合也可以看作是由迭代模式生成。康托三分集的構(gòu)造——無限次使用給定的迭代模式迭代模式第21頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六科赫（Koch）雪花曲線的構(gòu)造Koch雪花曲線是由如下的簡單模式經(jīng)無限次迭代而成的：迭代模式第22頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六曲線是多少維的？簡單迭代的無限次使用竟然能使二維正方形由一條曲線填滿迭代模式第23頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六分形幾何分形的概念是1975年由英國數(shù)學(xué)家B.B.Mandelbrot引入的；此概念是指歐氏空間中那種“支離破碎”的集合。分形的研究開拓了人們對于維度、尺度、結(jié)構(gòu)的新看法；由此產(chǎn)生了分形幾何這樣一個數(shù)學(xué)分支。三十年間，混沌理論、分形幾何與復(fù)雜性科學(xué)匯合，把觸角伸入物理、化學(xué)、生理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會學(xué)、氣象學(xué)，乃至于天文學(xué)所談及的星體分布等領(lǐng)域，試圖解釋過去科學(xué)家們所忽略的非線性現(xiàn)象，進(jìn)而解釋大自然和人類社會的復(fù)雜系統(tǒng)及其結(jié)構(gòu)。

第24頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六非整數(shù)的Hausdorff維數(shù)——

分形的重要特征之一維數(shù)是幾何對象的一個重要特征量。對于歐氏空間及其線性流形，它們的維數(shù)我們很清楚；對于歐氏空間中的每個局部可以與一定維數(shù)的線性流形同胚的子集，其維數(shù)也是清楚的。它們的維數(shù)統(tǒng)統(tǒng)都是整數(shù)。例如，點(diǎn)是0維的，線段和圓周是1維的，正方形和球面是2維的，等等?？墒?，康托集C、科赫曲線K和皮亞諾曲線P（具有精細(xì)的自相似結(jié)構(gòu)）是多少維呢？只有推廣了維數(shù)的概念，方能解決這些問題。

第25頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六Hausdorff維數(shù)第26頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六Mandelbrot集合第27頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六第28頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六第29頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六第30頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六第31頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六第32頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六第33頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六英國的海岸線地圖第34頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六天空中的云朵第35頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六星云分布第36頁，共39頁，2023年，2月20日，星期六分形的奇妙性質(zhì)分形可具有分?jǐn)?shù)維度：不同于整數(shù)維度的一維線段，二維矩形，分形所具有的維度可以是非整數(shù)的，稱作分?jǐn)?shù)維。分形具有自相似性：對于同一個分形結(jié)構(gòu)，自相似就是尺度一層一層縮小的結(jié)構(gòu)重復(fù)性，它們不僅在越來越小的尺度里重復(fù)細(xì)節(jié)，而且是以某種固定的方式將細(xì)節(jié)縮小尺寸，造成某種循環(huán)重現(xiàn)的復(fù)雜景象。分形具有尺度無關(guān)性：對于同一個分形結(jié)構(gòu)，以不同大小的量尺來量度「可觀察的區(qū)域」，分形會具有一致的分?jǐn)?shù)維度和自相似方式。例如，如果我們不同程度地放大或縮小科赫雪花曲線，我們會發(fā)現(xiàn)圖形的復(fù)雜度，或折迭程度，或粗糙程度并未因此而改變。第37頁，共3