學(xué)習(xí)張量必看一個文檔學(xué)會張量張量分析

目錄

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分AppendixA現(xiàn)在是1頁\一共有117頁\編輯于星期五引言

廣義相對論（1915）、理論物理連續(xù)介質(zhì)力學(xué)（固體力學(xué)、流體力學(xué)）現(xiàn)代力學(xué)的大部分文獻都采用張量表示主要參考書:W.Flugge,TensorAnalysisandContinuumMechanics,Springer,1972.黃克智等，張量分析，清華大學(xué)出版社，2003.現(xiàn)在是2頁\一共有117頁\編輯于星期五張量基本概念標(biāo)量（零階張量）例如：質(zhì)量，溫度質(zhì)量密度應(yīng)變能密度等等。其值與坐標(biāo)系選取無關(guān)。

現(xiàn)在是3頁\一共有117頁\編輯于星期五張量基本概念矢量（一階張量）例如：位移，速度，加速度，力，法向矢量,等等?，F(xiàn)在是4頁\一共有117頁\編輯于星期五矢量（一階張量）矢量u在笛卡爾坐標(biāo)系中分解為其中u1,u2,u3

是u的三個分量，e1,

e2,e3是單位基矢量。張量基本概念現(xiàn)在是5頁\一共有117頁\編輯于星期五矢量（一階張量）既有大小又有方向性的物理量;其分量與坐標(biāo)系選取有關(guān)，滿足坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系；遵從相應(yīng)的矢量運算規(guī)則。張量基本概念現(xiàn)在是6頁\一共有117頁\編輯于星期五矢量(可推廣至張量)的三種記法：實體記法：u

分解式記法：分量記法：AppendixA.1張量基本概念現(xiàn)在是7頁\一共有117頁\編輯于星期五AppendixA.1張量基本概念指標(biāo)符號用法三維空間中任意點P的坐標(biāo)（x,y,z）可縮寫成xi,其中x1=x,x2=y,x3=z。兩個矢量a和b的分量的點積(或稱數(shù)量積)為：現(xiàn)在是8頁\一共有117頁\編輯于星期五愛因斯坦求和約定如果在表達(dá)式的某項中，某指標(biāo)重復(fù)地出現(xiàn)兩次，則表示要把該項在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求和。該重復(fù)的指標(biāo)稱為啞指標(biāo)，簡稱啞標(biāo)。張量基本概念現(xiàn)在是9頁\一共有117頁\編輯于星期五

由于aibi=biai，即矢量點積的順序可以交換：由于啞標(biāo)i僅表示要遍歷求和，故可成對地任意交換。例如：只要指標(biāo)j或m在同項內(nèi)僅出現(xiàn)兩次，且取值范圍和i相同。張量基本概念現(xiàn)在是10頁\一共有117頁\編輯于星期五約定：

如果不標(biāo)明取值范圍，則拉丁指標(biāo)i,j,k,…表示三維指標(biāo)，取值1,2,3；希臘指標(biāo),,

,…均為二維指標(biāo)，取值1,2。張量基本概念現(xiàn)在是11頁\一共有117頁\編輯于星期五

拉丁指標(biāo)

希臘指標(biāo)張量基本概念現(xiàn)在是12頁\一共有117頁\編輯于星期五二階張量應(yīng)變，應(yīng)力，速度梯度，變形梯度，等。三階張量壓電張量，等。四階張量彈性張量，等。張量基本概念現(xiàn)在是13頁\一共有117頁\編輯于星期五二階（或高階）張量的來源描述一些復(fù)雜的物理量需要二階（或高階）張量；低階張量的梯度；低階張量的并積；更高階張量的縮并，等。張量基本概念現(xiàn)在是14頁\一共有117頁\編輯于星期五應(yīng)力張量張量基本概念現(xiàn)在是15頁\一共有117頁\編輯于星期五張量的三種記法：實體記法：分解式記法：分量記法：張量基本概念現(xiàn)在是16頁\一共有117頁\編輯于星期五張量基本概念愛因斯坦求和約定現(xiàn)在是17頁\一共有117頁\編輯于星期五采用指標(biāo)符號后，線性變換表示為利用愛因斯坦求和約定，寫成：其中j是啞指標(biāo)，i是自由指標(biāo)。張量基本概念現(xiàn)在是18頁\一共有117頁\編輯于星期五

例如一點的應(yīng)力狀態(tài)要用應(yīng)力張量來表示，它是具有二重方向性的二階張量，記為

（或）。矢量和標(biāo)量是特殊的張量，矢量為一階張量，標(biāo)量為零階張量。AppendixA.1張量基本概念現(xiàn)在是19頁\一共有117頁\編輯于星期五在表達(dá)式或方程中自由指標(biāo)可以出現(xiàn)多次，但不得在同項內(nèi)出現(xiàn)兩次，若在同項內(nèi)出現(xiàn)兩次則是啞指標(biāo)。例：若i為自由指標(biāo)★張量基本概念現(xiàn)在是20頁\一共有117頁\編輯于星期五自由指標(biāo)表示：若輪流取該指標(biāo)范圍內(nèi)的任何值，關(guān)系式將始終成立。例如：表達(dá)式在自由指標(biāo)i取1，2，3時該式始終成立，即有張量基本概念★現(xiàn)在是21頁\一共有117頁\編輯于星期五同時取值的自由指標(biāo)必須同名，獨立取值的自由指標(biāo)應(yīng)防止重名。自由指標(biāo)必須整體換名，即把方程或表達(dá)式中出現(xiàn)的同名自由指標(biāo)全部改成同一個新名字。i換成k★★張量基本概念現(xiàn)在是22頁\一共有117頁\編輯于星期五指標(biāo)符號也適用于微分和導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。例如，三維空間中線元長度ds和其分量dxi之間的關(guān)系可簡寫成：場函數(shù)f(x1,x2,x3)的全微分：★張量基本概念23現(xiàn)在是23頁\一共有117頁\編輯于星期五可用同項內(nèi)出現(xiàn)兩對(或幾對)不同啞指標(biāo)的方法來表示多重求和。例如：若要對在同項內(nèi)出現(xiàn)兩次以上的指標(biāo)進行遍歷求和，一般應(yīng)加求和號。如：★★張量基本概念24現(xiàn)在是24頁\一共有117頁\編輯于星期五一般說不能由等式兩邊消去ai導(dǎo)得但若ai可以任意取值等式始終成立，則可以通過取特殊值使得上式成立?！飶埩炕靖拍?5現(xiàn)在是25頁\一共有117頁\編輯于星期五小結(jié)通過啞指標(biāo)可把許多項縮寫成一項，通過自由指標(biāo)又把許多方程縮寫成一個方程。一般說，在一個用指標(biāo)符號寫出的方程中，若有k個獨立的自由指標(biāo)，其取值范圍是1～n，則這個方程代表了nk個分量方程。在方程的某項中若同時出現(xiàn)m對取值范圍為1～n的啞指標(biāo)，則此項含相互迭加的nm個項。張量基本概念26現(xiàn)在是26頁\一共有117頁\編輯于星期五目錄AppendixA

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分27現(xiàn)在是27頁\一共有117頁\編輯于星期五符號ij與erst

ij符號

(Kroneckerdelta)

定義(笛卡爾坐標(biāo)系)(i,j=1,2,…,n)

特性1.對稱性，由定義可知指標(biāo)i和j是對稱的，即28現(xiàn)在是28頁\一共有117頁\編輯于星期五3.換標(biāo)符號，具有換標(biāo)作用。例如：2.ij

的分量集合對應(yīng)于單位矩陣。例如在三維空間即：如果符號的兩個指標(biāo)中，有一個和同項中其它因子的指標(biāo)相重，則可以把該因子的那個重指標(biāo)換成的另一個指標(biāo)，而自動消失。符號ij與erst

29現(xiàn)在是29頁\一共有117頁\編輯于星期五

類似地有符號ij與erst

30現(xiàn)在是30頁\一共有117頁\編輯于星期五erst符號(排列符號或置換符號，Eddington)

定義(笛卡爾坐標(biāo)系)當(dāng)r,s,t為正序排列時當(dāng)r,s,t為逆序排列時當(dāng)r,s,t中兩個指標(biāo)值相同時(1,2,3)及其輪流換位得到的(2,3,1)和(3,1,2)稱為正序排列。(3,2,1)及其輪流換位得到的(2,1,3)和(1,3,2)稱為逆序排列。或符號ij與erst

31現(xiàn)在是31頁\一共有117頁\編輯于星期五

特性共有27個元素，其中三個元素為1，三個元素為-1，其余的元素都是0對其任何兩個指標(biāo)都是反對稱的，即當(dāng)三個指標(biāo)輪流換位時(相當(dāng)于指標(biāo)連續(xù)對換兩次)，erst的值不變

符號ij與erst

32現(xiàn)在是32頁\一共有117頁\編輯于星期五

常用實例三個相互正交的單位基矢量構(gòu)成正交標(biāo)準(zhǔn)化基。它具有如下重要性質(zhì)：每個基矢量的模為1，即eiej＝1(當(dāng)i＝j(luò)時)

不同基矢量互相正交，即eiej＝0

(當(dāng)i≠j時)

上述兩個性質(zhì)可以用ij表示統(tǒng)一形式：eiej＝ij符號ij與erst

33現(xiàn)在是33頁\一共有117頁\編輯于星期五

當(dāng)三個基矢量ei,ej,ek構(gòu)成右手系時，有

而對于左手系，有：

符號ij與erst

34現(xiàn)在是34頁\一共有117頁\編輯于星期五2.矢量的點積：3.矢量的叉積(或稱矢量積)：

如果沒有特殊說明，我們一般默認(rèn)為右手系。符號ij與erst

35現(xiàn)在是35頁\一共有117頁\編輯于星期五叉積的幾何意義是“面元矢量”，其大小等于由矢量a和b構(gòu)成的平行四邊形面積，方向沿該面元的法線方向。★符號ij與erst

36現(xiàn)在是36頁\一共有117頁\編輯于星期五★★★符號ij與erst

37現(xiàn)在是37頁\一共有117頁\編輯于星期五三個矢量a,b,c的混合積是一個標(biāo)量，其定義為：符號ij與erst

★若交換混合積中相鄰兩個矢量的順序，混合積的值反號。當(dāng)a,b,c構(gòu)成右手系時，混合積表示這三個矢量所構(gòu)成的平行六面體體積。若構(gòu)成左手系，則為體積的負(fù)值。38現(xiàn)在是38頁\一共有117頁\編輯于星期五由此可見符號ij和erst分別與矢量代數(shù)中的點積和叉積有關(guān)。利用(1)和(2)式有符號ij與erst

39現(xiàn)在是39頁\一共有117頁\編輯于星期五4.三階行列式的值符號ij與erst

40現(xiàn)在是40頁\一共有117頁\編輯于星期五符號ij與erst

4.三階行列式的值41現(xiàn)在是41頁\一共有117頁\編輯于星期五符號ij與erst

4.三階行列式的值42現(xiàn)在是42頁\一共有117頁\編輯于星期五5.e-

恒等式，其一般形式為：即退化形式為：符號ij與erst

43現(xiàn)在是43頁\一共有117頁\編輯于星期五1.平衡方程：如何用張量改寫彈性力學(xué)基本方程？xyz44現(xiàn)在是44頁\一共有117頁\編輯于星期五2.幾何方程：如何用張量改寫彈性力學(xué)基本方程？45現(xiàn)在是45頁\一共有117頁\編輯于星期五3.本構(gòu)方程（各向同性材料）：如何用張量改寫彈性力學(xué)基本方程？提示：可以用到σkk和δij

γij=2εij

G=E/[2(1+ν)]46現(xiàn)在是46頁\一共有117頁\編輯于星期五4.變形協(xié)調(diào)方程（平面應(yīng)變）：如何用張量改寫彈性力學(xué)基本方程？提示：二維指標(biāo)為希臘字母,,,…，取值1,2。47現(xiàn)在是47頁\一共有117頁\編輯于星期五目錄AppendixA

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分48現(xiàn)在是48頁\一共有117頁\編輯于星期五坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換笛卡爾坐標(biāo)系(單位直角坐標(biāo)系)49現(xiàn)在是49頁\一共有117頁\編輯于星期五

笛卡爾坐標(biāo)系(單位直角坐標(biāo)系)坐標(biāo)變化時，矢徑的變化為

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換50現(xiàn)在是50頁\一共有117頁\編輯于星期五

任意坐標(biāo)系坐標(biāo)變化時，矢徑的變化為

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換51現(xiàn)在是51頁\一共有117頁\編輯于星期五

概念坐標(biāo)線當(dāng)一個坐標(biāo)任意變化而另兩個坐標(biāo)保持不變時，空間點的軌跡，過每個空間點有三根坐標(biāo)線。基矢量矢徑對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)定義的三個基矢量gi

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換52現(xiàn)在是52頁\一共有117頁\編輯于星期五參考架空間每點處有三個基矢量，它們組成一個參考架或稱坐標(biāo)架。任何具有方向性的物理量都可以對其相應(yīng)作用點處的參考架分解。對笛卡爾坐標(biāo)系：坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換53現(xiàn)在是53頁\一共有117頁\編輯于星期五三個相互正交的單位基矢量ei構(gòu)成正交標(biāo)準(zhǔn)化基坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換54現(xiàn)在是54頁\一共有117頁\編輯于星期五歐氏空間中的一般坐標(biāo)系現(xiàn)在的坐標(biāo)線可能不再正交；不同點處的坐標(biāo)線可能不再平行；基矢量的大小和方向都可能隨點而異；各點處的參考架不再是正交標(biāo)準(zhǔn)化基。

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換55現(xiàn)在是55頁\一共有117頁\編輯于星期五

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換56現(xiàn)在是56頁\一共有117頁\編輯于星期五將新基對老基

分解：轉(zhuǎn)換系數(shù)：反之：

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換57現(xiàn)在是57頁\一共有117頁\編輯于星期五向新坐標(biāo)軸

投影，即用點乘上式兩邊，則左邊：右邊：坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換58現(xiàn)在是58頁\一共有117頁\編輯于星期五由上述兩式可得新坐標(biāo)用老坐標(biāo)表示的表達(dá)式

經(jīng)過類似推導(dǎo)可得老坐標(biāo)用新坐標(biāo)表示的表達(dá)式

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換59現(xiàn)在是59頁\一共有117頁\編輯于星期五坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的矩陣形式(設(shè)新老坐標(biāo)原點重合)

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換60現(xiàn)在是60頁\一共有117頁\編輯于星期五

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的一般定義設(shè)在三維歐氏空間中任選兩個新、老坐標(biāo)系，和是同一空間點P的新、老坐標(biāo)值，則方程組定義了由老坐標(biāo)到新坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，稱正轉(zhuǎn)換。其逆變換為對(*)式微分(*)坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換61現(xiàn)在是61頁\一共有117頁\編輯于星期五處處不為零，則存在相應(yīng)的逆變換，即可反過來用唯一確定其系數(shù)行列式(雅克比行列式)坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換62現(xiàn)在是62頁\一共有117頁\編輯于星期五容許轉(zhuǎn)換由單值、一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)、且J處處不為零的轉(zhuǎn)換函數(shù)所實現(xiàn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換正常轉(zhuǎn)換J

處處為正，把右手系轉(zhuǎn)換右手系反常轉(zhuǎn)換J

處處為負(fù)，把右手系轉(zhuǎn)換成左手系坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換63現(xiàn)在是63頁\一共有117頁\編輯于星期五目錄AppendixA

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分64現(xiàn)在是64頁\一共有117頁\編輯于星期五

張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量，都不會因人為選擇不同參考坐標(biāo)系而改變其固有性質(zhì)，然而其分量的值則與坐標(biāo)選擇密切相關(guān)。所以，張量的分量在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時應(yīng)滿足一定的規(guī)律，以保證其坐標(biāo)不變性。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律65現(xiàn)在是65頁\一共有117頁\編輯于星期五

標(biāo)量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律設(shè)一個標(biāo)量在新、老坐標(biāo)系中的值為t和t’，則矢量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律

張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律66現(xiàn)在是66頁\一共有117頁\編輯于星期五張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律以三維空間的二階張量為例，其分解式是：其中，Tij

為張量分量，eiej稱為基矢量，就是把兩個基矢量并寫在一起，不作任何運算，成為構(gòu)成矢量的基。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量表示法張量的實體表示法（并矢表示法）67現(xiàn)在是67頁\一共有117頁\編輯于星期五

張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律即張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律68現(xiàn)在是68頁\一共有117頁\編輯于星期五高階張量的分量滿足如下轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律69現(xiàn)在是69頁\一共有117頁\編輯于星期五注：在一個表示全部張量分量集合的指標(biāo)符號中，自由指標(biāo)的數(shù)目等于張量的階數(shù)K，每個自由指標(biāo)的取值范圍等于張量的維數(shù)n，各指標(biāo)在其取值范圍內(nèi)的任何一種可能組合都表示了張量的一個分量，所以n維K階張量共有nK個分量。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律70現(xiàn)在是70頁\一共有117頁\編輯于星期五

張量方程

定義每項都由張量組成的方程稱為張量方程。特性具有與坐標(biāo)選擇無關(guān)的重要性質(zhì)，可用于描述客觀物理現(xiàn)象的固有特性和普遍規(guī)律。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律71現(xiàn)在是71頁\一共有117頁\編輯于星期五目錄

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分72現(xiàn)在是72頁\一共有117頁\編輯于星期五張量代數(shù)&商判則

相等若兩個張量和相等則對應(yīng)分量相等若兩個張量在某個坐標(biāo)系中的對應(yīng)分量相等，則它們在任何其他坐標(biāo)系中對應(yīng)分量也相等。73現(xiàn)在是73頁\一共有117頁\編輯于星期五

和、差兩個同階張量與之和(或差)是另一個同階張量其分量關(guān)系為張量代數(shù)&商判則74現(xiàn)在是74頁\一共有117頁\編輯于星期五

數(shù)積張量A和一個數(shù)(或標(biāo)量函數(shù))相乘得另一同維同階張量T其分量關(guān)系為張量代數(shù)&商判則75現(xiàn)在是75頁\一共有117頁\編輯于星期五

并積兩個同維不同階（或同階）張量A和B的并積T是一個階數(shù)等于A、B階數(shù)之和的高階張量。設(shè)則其分量關(guān)系為注意：張量代數(shù)&商判則76現(xiàn)在是76頁\一共有117頁\編輯于星期五

縮并若對基張量中的任意兩個基矢量求點積，在張量將縮并為低二階的新張量。

其分量關(guān)系為張量代數(shù)&商判則77現(xiàn)在是77頁\一共有117頁\編輯于星期五若在基張量中取不同基矢量的點積，則縮并的結(jié)果也不同。例如若張量代數(shù)&商判則

縮并78現(xiàn)在是78頁\一共有117頁\編輯于星期五

內(nèi)積并積加縮并運算稱為內(nèi)積。例如和

的一種內(nèi)積是其分量關(guān)系為張量代數(shù)&商判則79現(xiàn)在是79頁\一共有117頁\編輯于星期五

點積前張量A的最后基矢量與后張量B的第一基矢量縮并的結(jié)果，記為，是最常用的一種內(nèi)積。兩個二階張量的點積相當(dāng)于矩陣乘法。張量代數(shù)&商判則80現(xiàn)在是80頁\一共有117頁\編輯于星期五對前、后張量中兩對近挨著的基矢量縮并的結(jié)果稱為雙點積，共有兩種：并雙點積串雙點積張量代數(shù)&商判則

雙點積81現(xiàn)在是81頁\一共有117頁\編輯于星期五

并矢把K個獨立矢量并寫在一起稱為并矢量，它們的并積是一個K階張量。矢量的并積不服從交換律，并矢量中各矢量的順序不得任意調(diào)換。張量代數(shù)&商判則82現(xiàn)在是82頁\一共有117頁\編輯于星期五和任意矢量的內(nèi)積（包括點積）為K-1階張量的量一定是個K階張量。一個K階張量連續(xù)地和n個任意矢量求內(nèi)積，其縮并的結(jié)果是一個K-n階張量。張量代數(shù)&商判則

商判則83現(xiàn)在是83頁\一共有117頁\編輯于星期五OperationNumberoforder并積差乘-1點乘-2雙點乘-4張量乘法運算和結(jié)果的階數(shù)84現(xiàn)在是84頁\一共有117頁\編輯于星期五目錄

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分85現(xiàn)在是85頁\一共有117頁\編輯于星期五特殊張量，主方向與主分量

常用特殊張量零張量則：

86現(xiàn)在是86頁\一共有117頁\編輯于星期五

單位張量

笛卡爾坐標(biāo)系中分量為ij的二階張量I，即單位張量和任意張量的點積就等于該張量本身：I·a＝a，I·A＝A特殊張量，主方向與主分量87現(xiàn)在是87頁\一共有117頁\編輯于星期五特殊張量，主方向與主分量

球形張量主對角分量為，其余分量為零的二階張量。它是數(shù)

與單位張量的數(shù)積。即88現(xiàn)在是88頁\一共有117頁\編輯于星期五

轉(zhuǎn)置張量對于二階張量，由對換分量指標(biāo)而基矢量順序保持不變所得到的新張量稱為張量T的轉(zhuǎn)置張量。特殊張量，主方向與主分量89現(xiàn)在是89頁\一共有117頁\編輯于星期五

對稱張量

反對稱張量特殊張量，主方向與主分量90現(xiàn)在是90頁\一共有117頁\編輯于星期五轉(zhuǎn)置張量等于其負(fù)張量的張量。即滿足反對稱張量的主對角張量均為零。三維二階反對稱張量的獨立分量只有三個。n維二階對稱張量有

個獨立分量。特殊張量，主方向與主分量

反對稱張量91現(xiàn)在是91頁\一共有117頁\編輯于星期五任意二階張量T均可分解為對稱張量S和反對稱張量A之和：特殊張量，主方向與主分量

加法分解92現(xiàn)在是92頁\一共有117頁\編輯于星期五任意二階對稱張量S均可分解為球形張量P和偏斜張量D之和：其中特殊張量，主方向與主分量

偏斜張量

93現(xiàn)在是93頁\一共有117頁\編輯于星期五偏斜張量為偏斜張量三個對角分量之和為零：特殊張量，主方向與主分量

偏斜張量

94現(xiàn)在是94頁\一共有117頁\編輯于星期五笛卡爾系中以erst為分量的三階張量，又稱排列張量特殊張量，主方向與主分量

置換張量95現(xiàn)在是95頁\一共有117頁\編輯于星期五所有分量均不因坐標(biāo)轉(zhuǎn)換而改變的張量。例如：單位張量I、球形張量、置換張量等。標(biāo)量是零階的各向同性張量，而矢量則不是各向同性的。特殊張量，主方向與主分量

各向同性張量96現(xiàn)在是96頁\一共有117頁\編輯于星期五

主方向與主分量二階張量可定義為一種由矢量a到矢量b的線性變換，即一般說，矢量a與b并不同向。對于給定的任意二階張量T能否找到某個矢量，它在線性變換后能保持方向不變，即或特殊張量，主方向與主分量97現(xiàn)在是97頁\一共有117頁\編輯于星期五其中是標(biāo)量。上式是求j

的線性齊次代數(shù)方程組，存在非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式為零特殊張量，主方向與主分量98現(xiàn)在是98頁\一共有117頁\編輯于星期五這是關(guān)于的特征方程；其中是[Tij]的主對角分量之和，稱為張量T的跡，記作trT是矩陣[Tij]的二階主子式之和。

特殊張量，主方向與主分量99現(xiàn)在是99頁\一共有117頁\編輯于星期五是矩陣的行列式，記作detT。特征方程的三個特征根稱為張量T的主分量。當(dāng)T是實對稱張量時，存在三個實特征根

特殊張量，主方向與主分量100現(xiàn)在是100頁\一共有117頁\編輯于星期五由特征方程求特征根：由每個(k)

分別求特征方向：方向矢量j(k)特殊張量，主方向與主分量101現(xiàn)在是101頁\一共有117頁\編輯于星期五由上述方法求得的三個單位矢量(k)＝j(luò)(k)ej稱為張量T的主方向。注：若(1),(2),(3)互不相等，則(1),(2),(3)互相垂直。對于二重根情況，例如(1)＝(2)，則垂直于(3)的任何方向都是主方向，可任選其中兩個互相垂直方向作為(1)和(2)。對于三重根情況，例如(1)＝(2)＝(3)，則任何方向都是主方向，可任選三個互相垂直的方向作為(1),(2)和(3)。特殊張量，主方向與主分量102現(xiàn)在是102頁\一共有117頁\編輯于星期五

主坐標(biāo)系沿主方向(1),

(2),(3)的正交坐標(biāo)系稱為張量T的主坐標(biāo)系。在主坐標(biāo)系中，有當(dāng)T為應(yīng)力張量時，(k)就是三個主應(yīng)力1,2和3特殊張量，主方向與主分量103現(xiàn)在是103頁\一共有117頁\編輯于星期五特征方程是一個與坐標(biāo)選擇無關(guān)的普遍方程，它的三個系數(shù)I1,I2和I3分別稱為張量T的第一、第二和第三不變量。

特征方程的根(k)也是三個不變量，相應(yīng)的主方向(k)也與坐標(biāo)無關(guān)。特殊張量，主方向與主分量

不變量104現(xiàn)在是104頁\一共有117頁\編輯于星期五目錄

引言張量的基本概念，愛因斯坦求和約定符號ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分105現(xiàn)在是105頁\一共有117頁\編輯于星期五張量函數(shù)及其微積分在空間所論域內(nèi),每點定義的同階張量,構(gòu)成了張量場。一般張量場中被考察