《實數(shù)和二次根式》全章復習與鞏固(提高)知識講解【名校學案詳細解答】

《實數(shù)和二根式》全章習與鞏固（高）【習標1.了算術(shù)平方根、平方根、立根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方.2.了開方與乘方互為逆運算用方運算求某些非負數(shù)的平方根用方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方.3.了無理數(shù)和實數(shù)的概念道數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應序數(shù)對與平面上的點一一對應；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴大為實數(shù)后，概念、運算等的一致性及其發(fā)展變.4.能有理數(shù)估計一個無理數(shù)的致范.5.理并掌握二次根式、最簡二根式、同類二次根式的定義和性.6.熟掌握二次根式的加、減、、除運算，會用它們進行有關(guān)實數(shù)的四則運.7.了代數(shù)式的概念，進一步體代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作.【識絡【點理要一平根立根項目

類型

平方根

立方根被開方數(shù)符號表示

非負數(shù)

任意實數(shù)3a性質(zhì)

一個正數(shù)有兩個平方根，且互為一正數(shù)有一個正的立方根；

相反數(shù)；零的平方根為零；負數(shù)沒有平方根；

一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零；()

a(a0)

(

)a重要結(jié)論

(a0)(a0)

3a要二無數(shù)實有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實.1.實的類理數(shù)實數(shù)

理數(shù)

要詮）有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．（2）無理數(shù)分成三類：①開方不盡的數(shù)，如，32等；②有特殊意義的數(shù)，如π；③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如…（3凡寫成無限不循環(huán)小數(shù)數(shù)都是無理數(shù)且無理數(shù)不能寫成分數(shù)形式2.實與軸的一一對應數(shù)軸上的任何一個點都對應一個實數(shù)任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應.3.實的個負及質(zhì)在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)。我們已經(jīng)學習過的非負數(shù)有如下三種形式：（1）任何一個實數(shù)a的對值是非負數(shù)，||；（2）任何一個實數(shù)

a

的平方是非負數(shù)，即

≥0；（3）任何非負數(shù)的算術(shù)平方根非負數(shù)，即aa).非負數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）非負數(shù)有最小值零；（2）有限個非負數(shù)之和仍是非數(shù)；（3）幾個非負數(shù)之和等于0，每個非負數(shù)都等于0.4.實的算數(shù)

a

的相反數(shù)是－

a

一正實數(shù)的絕對值是它本身個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的對值是0.有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成實數(shù)混合運算的運算順序方開方、再乘除，最后算加.同運算按從左到右順序進行，有括號先算括號.

5.實的小比有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成.法則1.實數(shù)和數(shù)軸上的點一一應，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；法則2．正數(shù)大于0，0大負，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而?。环▌t3.兩個數(shù)比較大小常見的法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方.要三二根的關(guān)念性二根形如a

的式子叫做二次根式3,

12

,0

等式子做二次根式要詮：次根式a有義的條件是是二次根式，才意義.2.二根的質(zhì)（1）；（2）；（3）.

即有被開方數(shù)

時式a才要詮）一非負數(shù)可寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即a)

（a22)

;

1)33

;xx)

（

）.（2）

a

中取值范圍可以是任意實數(shù)不論取值，a一有意義.（3）化簡a

時，先將它化成a，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡.（4）2與a)

的異同不同點：a中可取任何實數(shù)，而(a

中的須取非負數(shù)；a

=，a2

=

）.相同點：被開方數(shù)都是非負數(shù)，當a非負數(shù)時，a最二根（1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；

.

（2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因.滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根如x2等是最簡二次根式要詮：簡二次根式有兩個要求被開方數(shù)不含分母開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同二根幾個二次根式化成最簡二次根式后方相同個次根式就叫同類二次根式.要詮：斷是否是同類二次根式一定要化簡到簡二次根式后被開方數(shù)是否相同再斷如與由于82，與顯是同類二次根式要四二根的算乘法（1）乘除法法則：類型法

逆用法則積的算術(shù)平方根化簡公式：二次根式的乘法二次根式的除法要詮：

ab(0,b0)

ba0,0)商的算術(shù)平方根化簡公式：0)b（1）當二次根式的前面有系數(shù)，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如abdbd.（2）被開方數(shù)a一定是非負數(shù)（在分母上時只能為正數(shù).如(2.加法

.將二次根式化為最簡二次根式后同類二次根式的系數(shù)相加減開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.要詮：次根式相加減時要先將各個二次根式成最簡二次根式找出同類二次根式，最后合并同類二次根.如2(12【型題類一有方的題

.1、已知

3

，求

xy

的值.【路撥由被開方數(shù)是非負數(shù)，分不為出的，從而求出y值，及x的值【案解】

2222解：由題意得x

，解得

＝y(tǒng)

xx

＝∴2y＝.【結(jié)華根據(jù)使式子有意義的條件出方程，解方程，從而得到舉反：

xy

的值.【變式】已知

x

，求

y

的平方根。【案解：由題意得：

x2

解得x＝2∴y，y

x

，y的方根為3.【變式中期中）若（3x﹣y+5）+【案解：由題意得（3x﹣y+5）=0，3x﹣y+5=0=0，即2x﹣y+3=0，∴解得∴x+y=﹣3，∴x+y的方=．

=0，x+y的方根．2M是足不等式的有整數(shù)

的和是滿足不等式

372的最大整數(shù)．求M＋N的平方根【案解】解：∵

3

6

的所有整數(shù)有－，0，1，2所有整數(shù)的和M＝－1＋0＋2＝2

∵

37≈2，N是滿足不等式x2

的最大整數(shù)．∴N∴M＝4，M＋N的方根是±2.【結(jié)華先由已知條件確定M、N值，再根據(jù)平方根的定義求出M＋N的平根．類二與數(shù)關(guān)問3、已知a是的數(shù)部分，

是它的小數(shù)部分，求

的值．【路撥一個數(shù)是由整數(shù)部分＋小部分構(gòu)成.過估算的數(shù)部分是3，么它的小數(shù)部分就是再代入式子求值.【案解】解：∵

a

是

的整數(shù)部分，

是它的小數(shù)部分，

310∴

a,b∴

10

.【結(jié)華可用夾擠法來確定，即看

介于哪兩個相鄰的完全平方數(shù)之間，然后開平方這數(shù)減去它的整數(shù)部分后就是它的小數(shù)部.舉反：【變式】已知5＋的數(shù)部分為a

的小數(shù)部分為b則a＋b的是；a

－

的值是______.【案

a211

；提示：由題意可知

a11，b11

.4、閱讀理解，回答問題.在解決數(shù)學問題的過程中時遇到比較兩數(shù)大小的問題決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)命題的題設和結(jié)論特征，采用相應辦法，其中巧用“作差法”是解決此類問題的一種行之有效的方法：若－b＞0，則a＞；a－b＝0則a＝；－b＜0，則＜.例如：在比較與m2的大小時，小東同學的作法是：∵

2

2

∴

2

請你參考小東同學的作法，比較4(23)的.【路撥仿照例題，做差后經(jīng)過計判斷差與0關(guān)系，從而比較大.【案解】解：∵

4323

4∴

3

＜

(2

【結(jié)華實數(shù)比較大小常用的有作法和作商法，根據(jù)具體情況加以選.舉反：【變式數(shù)

a

在數(shù)軸上的位置如圖所示

a

1a

,a

的大小關(guān)系是：

；

a

0【案

1a

2

；類三實綜應5、閱讀材料：學習了無理數(shù)后，某數(shù)學興趣小組開展了一次探究活動：估算小明的方法：

的近似.∵

916，設（）.(13)

(3)

.∴

2

.∴

k.得k

44.∴3.6766

.問題）你依照小明的方法，估算

的近似值；（2請結(jié)合上述具體實例，概出估算

m

的公式：已知非負整數(shù)、、m，aa，數(shù)式表示)；

2

，m_________________(用、的（3）請用（2）中的結(jié)論估算【案解】

的近似值.解）∵

，（0

）.∴

(41)2)2

.∴

2

.∴

.

解得

512

.∴

41

512

.（2）∵

a

ma，設m0

）.∴

()2

.∴

m

2ak2

.∴

m

2

.對比

m

，ak,k

b2a∴

m

b2（3）

b∴

，∴

37

112

6.083.【結(jié)華此題比較新關(guān)鍵是通過閱讀材料快速掌握估值的方）中要對比式子，找準

和

，表示出

b2

.類四二根概及算6林縣期末）計算5+﹣×÷．【路撥先二根式化為最簡二次根和根據(jù)二次根式的除法得到原式=+3÷=2﹣1+3，然后合即可．【案解】

+﹣解：原式=2=2

+﹣﹣1+3+2．

+3÷【結(jié)華本題考查了二次根式的混合運算把各二次根式化為最簡二次根式進行二次根式的乘除運算，然后進行二次根式的加減運算．舉反：【變式】

（2x+

x(0＜＜3)

.

22【案

7、已知

、、

為△ABC的三邊長，化簡【案解】解：∵

、、

為△ABC的三邊