實數(shù)集與函數(shù)

實數(shù)集與函數(shù)第1頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六§1

實數(shù)第一章實數(shù)集與函數(shù)第2頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六1.我們用符號“”表示“任取”或“對于任意的”或“對于所有的”,符號“”稱為全稱量詞.幾個常用符號第3頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六2.我們用符號“”表示“存在”.例：命題“對任意的實數(shù)x,都存在實數(shù)y,使得x+y=1”可表示為“xR,yR,

使x+y=1”符號“”稱為存在量詞.第4頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六3.我們用符號“”表示“充分條件”比如,若用p,q分別表示兩個命題或陳述句.或“推出”這一意思.則“pq”表示“若p成立,則q也成立”.即p是q成立的充分條件.第5頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六4.我們用符號“”表示“當且僅當”比如“p

q”表示“p成立當且僅當q成立”或者說p成立的充要條件是q成立.或“充要條件”這一意思.第6頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六1.集合集合集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.

集合可用大寫的字母A,B,C,D等標識.元素組成集合的事物稱為集合的元素.

集合的元素可用小寫的字母a,b,c,d等標識.

a是集合M的元素記為aM,讀作a屬于M.

a不是集合M的元素記為aM,讀作a不屬于M.一、集合第7頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六集合的表示列舉法

把集合的全體元素一一列舉出來.

例如A{a,b,c,d,e,f,g}.描述法

若集合M是由元素具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成,則M可表示為

M{x|x具有性質(zhì)P}.

例如M{(x,y)|x,y為實數(shù),x2y21}.第8頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六幾個數(shù)集所有自然數(shù)構成的集合記為N,稱為自然數(shù)集.

所有實數(shù)構成的集合記為R,稱為實數(shù)集.

所有整數(shù)構成的集合記為Z,稱為整數(shù)集.

所有有理數(shù)構成的集合記為Q,稱為有理集.子集如果集合A的元素都是集合B的元素,則稱A是B的子集,記為AB(讀作A包含于B).AB若xA,則xB.

顯然,NZ,ZQ,QR.第9頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六2.集合的運算設A、B是兩個集合,則

AB{x|xA或xB}稱為A與B的并集(簡稱并).

AB{x|xA且xB}稱為A與B的交集(簡稱交).A\B{x|xA且xB}稱為A與B的差集(簡稱差).ACI\A{x|xA}為稱A的余集或補集,其中I為全集.提示:

如果研究某個問題限定在一個大的集合I中進行,所研究的其他集合A都是I的子集.則稱集合I為全集或基本集.第10頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六集合運算的法則

設A、B、C為任意三個集合,則有

(1)交換律ABBA,

ABBA;(2)結合律(AB)CA(BC),(AB)CA(BC);(3)分配律(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC);(4)對偶律(AB)CACBC,(AB)CACBC.(AB)CACBC的證明所以(AB)CACBC.xACBC,xAC且xBCxABxA且xB

x(AB)C第11頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六直積(笛卡兒乘積)

設A、B是任意兩個集合,則有序對集合

AB{(x,y)|xA且yB}稱為集合A與集合B的直積.

例如,RR{(x,y)|xR且yR}即為xOy面上全體點的集合,RR常記作R2.

第12頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六說明:

對于負實數(shù)x,y,若有-x=-y與-x>-y,則分別稱x=y與x<y(y>x)3.實數(shù)集兩個實數(shù)的大小關系說明:

.自然規(guī)定任何非負實數(shù)大于任何負實數(shù).)2,1(,,,2,1,.90,90),2,1(,,,.,.110000210210xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn<>>==>===￡￡￡￡===++或分別記為小于或大于則稱而使得或存在非負整數(shù)若記為相等與則稱若有為整數(shù)為非負整數(shù)其中給定兩個非負實數(shù)LLLLLLL定義1第13頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六定義2LLLL,2,1,0101..210210=+===，nnxxx，nxaaaaxaaaaxnnnnnn位過剩近似的稱為而有理數(shù)位不足近似的為實數(shù)稱有理數(shù)為非負實數(shù)設說明:

..101..210210210nnnnnnaaaaxaaaaxnaaaaxLLLL-=-=-=與分別規(guī)定為位不足近似與過剩近似的負實數(shù)說明:

.,210210LL333￡￡￡xxx，nxxxx，nxxnn即有增大時不增當過剩近似即有增大時不減當?shù)牟蛔憬茖崝?shù)第14頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六命題1..,:..位過剩近似的表示位不足近似的表示其中的充要條件是則為兩個實數(shù)與設nyy，nxxyxNnyx，bbbyaaaxnnnn>?$>==+LL第15頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六實數(shù)的性質(zhì)

1.實數(shù)集R對加,減,乘,除(除數(shù)不為0)四則運算是封閉的.即任意兩個實數(shù)和,差,積,商(除數(shù)不為0)仍然是實數(shù).

2.實數(shù)集是有序的.即任意兩個實數(shù)a,b必滿足下述三個關系之一:a<b,a=b,a>b.第16頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六3.實數(shù)集的大小關系具有傳遞性.即若a>b,b>c,則有a>c實數(shù)的性質(zhì).，則存在正整數(shù)n,使得nb>a.

即對任何4.實數(shù)具有阿基米德性,a>b>0,第17頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六5.實數(shù)集R具有稠密性.即任何兩個不相等的實數(shù)之間幾有另一個實數(shù),且既有在理數(shù),也有無理數(shù).6.實數(shù)集R與數(shù)軸上的點具有一一對應關系.即任一實數(shù)都對應數(shù)軸上唯一的一點,反之,數(shù)軸上的每一點也都唯一的代表一個實數(shù).實數(shù)的性質(zhì)第18頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六例1證明.::,yrxr，yx<<滿足存在有理數(shù)證明為實數(shù)設.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn<<￡<<￡+=<<即得且有為有理數(shù)則令使得故存在非負整數(shù)由于第19頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六.,:,,babaRba￡+<?則有若對任何正數(shù)證明設ee例2..,,..bababababa，￡+<+=-=>從而必有矛盾這與假設為正數(shù)且則令有則根據(jù)實數(shù)的有序性假若結論不成立用反證法eeee證明第20頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六3.小結

P9:1,2,3,4,5.(1),兩個實數(shù)的大小關系;(2),實數(shù)的性質(zhì);(3),區(qū)間和鄰域的概念;(4),確界原理.第21頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六§2

數(shù)集.確界原理第一章實數(shù)集與函數(shù)第22頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)集{x|a<x<b}稱為開區(qū)間,記為(a,

b),即(a,

b)={x|a<x<b}.

[a,b]={x|axb}——閉區(qū)間.

[a,b)={x|ax<b}——半開區(qū)間,(a,b]={x|a<xb}——半開區(qū)間.有限區(qū)間上述區(qū)間都是有限區(qū)間,其中a和b稱為區(qū)間的端點,b-a稱為區(qū)間的長度.1.區(qū)間和鄰域第23頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六

(-,b]={x|xb},

(-,+)={x||x|<+}.

[a,+)={x|ax},無限區(qū)間

(-,b)={x|x<b},

(a,+)={x|a<x},1.區(qū)間和鄰域第24頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六鄰域以點a為中心的任何開區(qū)間稱為點a的鄰域,記作U(a).

設>0,則稱

U(a,)=(a-,a+)={x||x-a|<}為點a的鄰域,其中點a稱為鄰域的中心,

稱為鄰域的半徑.去心鄰域U(a,)={x|0<|x-a|<}.。第25頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六說明:

2.確界原理定義1若數(shù)集S既有上界又有下界,則稱S為有界集.

若數(shù)集S不是有界集,則稱S為無界集..,,1][,0.100無上界即則取的下界的實數(shù)都是任何一個不大于顯然++>+=>"NMnMnMN，).()()(),()(下界的一個上界稱為數(shù)的數(shù)集下界為有上界則稱都有使得對一切若存在數(shù)中的一個數(shù)集是設SLM，SLxMxS，x，LM，RS3￡?{}.有下界而無上界為正整數(shù)數(shù)集例如nnN=+第26頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六定義2說明:

Sxx1x2x3x4x5xn,)(xa<"iia,,00a>?$xSx使得x0，S的最小上界又是即x;.,)(的上界是即有滿足若數(shù)中的一個數(shù)集是設SxSxi，RSxxx￡?".supS，S=xx記作的上確界為數(shù)集則稱數(shù)同理可得下確界的定義.定義3:

;.,)(的下界是即有滿足若數(shù)中的一個數(shù)集是設SxSxi，RShhh3?".inf,,,)(00S，S，SxSxii=<?$>"hhhbhb記作的下確界為數(shù)集則稱數(shù)的最大下界又是即使得第27頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六確界原理設S為非空數(shù)集,若S有上界,則S必有上確界;若S有下界,則S必有下確界.例3設A,B為非空數(shù)集,滿足:證明數(shù)集A有上確界,數(shù)集B有下確界,且證:故有確界原理知,數(shù)集A有上確界,數(shù)集B有下確界.是數(shù)集A的一個上界,而由上確界的定義知由假設,數(shù)集B中任一數(shù)都是數(shù)集A的上界,

A中任一數(shù)都是B的下界,是數(shù)集A的最小上界,故有第28頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六設A,B為非空有限數(shù)集,.證明:而此式又表明數(shù)是數(shù)集B的一個下界,故由下確界的定義證得例4證:故得第29頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六綜上,即證得

(ii)可類似證明.所以第30頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六3.小結

P9:1,2,3,4,5.(1),兩個實數(shù)的大小關系;(2),實數(shù)的性質(zhì);(3),區(qū)間和鄰域的概念;(4),確界原理.第31頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六

§3函數(shù)概念第一章實數(shù)集與函數(shù)第32頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六說明:

記號f和f(x)的區(qū)別:前者表示自變量x和因變量y之間的對應法則,而后者表示與自變量x對應的函數(shù)值.說明:

為了敘述方便,常用記號“f(x),xD”或“yf(x),xD”來表示定義在D上的函數(shù),這時應理解為由它所確定的函數(shù)f.說明:

函數(shù)的記號是可以任意選取的,除了用f外,還可用“g”、“F”、“”等,此時函數(shù)就記作yg(x)、yF(x)、y(x)等.

但在同一問題中,不同的函數(shù)應選用不同的記號.設數(shù)集DR,則稱映射f:D

R為定義在D上的函數(shù),通常簡記為

yf(x),xD,其中x稱為自變量,y稱為因變量,D稱為定義域,記作Df,即DfD.1.函數(shù)概念定義第33頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六構成函數(shù)的要素是定義域Df及對應法則f.

如果兩個函數(shù)的定義域相同,對應法則也相同,那么這兩個函數(shù)就是相同的,否則就是不同的.函數(shù)的兩要素函數(shù)的定義域通常按以下兩種情形來確定:

對有實際背景的函數(shù),根據(jù)實際背景中變量的實際意義確定.函數(shù)的定義域對抽象地用算式表達的函數(shù),其定義域是使得算式有意義的一切實數(shù)組成的集合,這種定義域稱為函數(shù)的自然定義域.第34頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法(公式法).

用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念,坐標平面上的點集

{P(x,y)|yf(x),xD}稱為函數(shù)yf(x),xD的圖形.函數(shù)的表示法第35頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六單值函數(shù)與多值函數(shù)在函數(shù)的定義中,對每個xD,對應的函數(shù)值y總是唯一的,這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù).

如果給定一個對應法則,按這個法則,對每個xD,總有確定的y值與之對應,但這個y不總是唯一的,我們稱這種法則確定了一個多值函數(shù).例如,由方程x2y2r2確定的函數(shù)是一個多值函數(shù):此多值函數(shù)附加條件“y0”后可得到一個單值分支第36頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六此函數(shù)稱為絕對值函數(shù),其定義域為D=(-,+),其值域為Rf

=[0,+).

例6

例5

函數(shù)y=2.

這是一個常值函數(shù),其定義域為D=(-,

+),其值域為Rf

={2}.函數(shù)舉例第37頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六此函數(shù)稱為符號函數(shù),其定義域為D=(-,+),其值域為Rf

={-1,0,1}.

例8

函數(shù)y=[x].

例7

注:

設x為任上實數(shù),不超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分,記作[x].此函數(shù)稱為取整函數(shù),其定義域為D=(-,+),其值域為Rf

=Z.第38頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六

例9

此函數(shù)的定義域為D=[0,1](0,+)=[0,+).

f(3)=1+3=4.分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).第39頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六2.反函數(shù)設函數(shù)f:Df(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)D,稱此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).按習慣,yf(x),xD的反函數(shù)記成yf

1(x),xf(D).例如,函數(shù)yx3,xR是單射,所以它的反函數(shù)存在,其反函數(shù)為函數(shù)yx3,xR的反函數(shù)是提問:下列結論是否正確？第40頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六2.反函數(shù)反函數(shù)設函數(shù)f:Df(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)D,稱此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).按習慣,yf(x),xD的反函數(shù)記成yf

1(x),xf(D).若f是定義在D上的單調(diào)函數(shù),則f:Df(D)是單射,于是f的反函數(shù)f

1必定存在,而且容易證明f

1也是f(D)上的單調(diào)函數(shù).第41頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六相對于反函數(shù)yf

1(x)來說,原來的函數(shù)yf(x)稱為直接函數(shù).

函數(shù)yf(x)和yf

1(x)的圖形關于直線yx是對稱的.反函數(shù)設函數(shù)f:Df(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)D,稱此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).按習慣,yf(x),xD的反函數(shù)記成yf

1(x),xf(D).第42頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六3.復合函數(shù)設函數(shù)yf(u)的定義域為D1,函數(shù)ug(x)在D上有定義且g(D)D1,則由

yf[g(x)],xD確定的函數(shù)稱為由函數(shù)ug(x)和函數(shù)yf(u)構成的復合函數(shù),它的定義域為D,變量u稱為中間變量.函數(shù)g與函數(shù)f構成的復合函數(shù)通常記為f

o

g,即

(f

o

g)(x)f[g(x)].說明:g與f構成的復合函數(shù)f

o

g的條件是:是函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域Df內(nèi),即g(D)Df.否則,不能構成復合函數(shù).例如>>>第43頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六4.函數(shù)的運算設函數(shù)f(x),g(x)的定義域依次為D1,D2,DD1D2,則可以定義這兩個函數(shù)的下列運算:

和(差)f

g:(f

g)(x)f(x)g(x),xD;

積f

g:(f

g)(x)f(x)g(x),xD;第44頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六

例10

設函數(shù)f(x)的定義域為(l,l),證明必存在(l,l)上的偶函數(shù)g(x)及奇函數(shù)h(x),使得f(x)g(x)h(x).提示:如果f(x)g(x)h(x),則f(x)g(x)h(x),于是

證

則f(x)g(x)h(x),且第45頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六

冪函數(shù):yx

(R是常數(shù));

指數(shù)函數(shù):ya

x(a0且a1);

對數(shù)函數(shù):yloga

x(a0且a1),

特別當ae時,記為ylnx;

三角函數(shù):ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx,ycscx;反三角函數(shù):yarcsinx,yarccosx,

yarctanx,yarccotx.>>>基本初等函數(shù)第46頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六(一)冪函數(shù)的圖形

第47頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第48頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六同一坐標系中冪函數(shù)的圖象第49頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六(二)指數(shù)函數(shù)的圖形

第50頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六同一坐標系中指數(shù)函數(shù)的圖象第51頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六(三)對數(shù)函數(shù)的圖形

第52頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六同一坐標系中對數(shù)函數(shù)的圖象第53頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六正弦函數(shù)的圖象(四)三角函數(shù)的圖形

第54頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六余弦函數(shù)的圖象

第55頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第56頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第57頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六(五)反三角函數(shù)的圖象第58頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第59頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第60頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六第61頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六設函數(shù)yf(u)的定義域為D1,函數(shù)ug(x)在D上有定義且g(D)D1,則由

yf[g(x)],xD確定的函數(shù)稱為由函數(shù)ug(x)和函數(shù)yf(u)構成的復合函數(shù),它的定義域為D,變量u稱為中間變量.函數(shù)g與函數(shù)f構成的復合函數(shù)通常記為f

o

g,即

(f

o

g)(x)f[g(x)].說明:g與f構成的復合函數(shù)f

o

g的條件是:是函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域Df內(nèi),即g(D)Df.否則,不能構成復合函數(shù).例如>>>復合函數(shù)第62頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).都是初等函數(shù).例如,函數(shù)初等函數(shù)第63頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六雙曲函數(shù)應用上常遇到的雙曲函數(shù)是:雙曲正弦:雙曲余弦:雙曲正切:雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)第64頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)的性質(zhì)比較sin(xy)=sinxcosycosxsiny.

sh(xy)=shxchychxshy,

ch2x-sh2x=1,

ch(xy)=chxchyshxshy,

sh2x=2shxchx,

ch2x=ch2x+sh2x.比較cos(xy)=cosxcosysinxsiny.第65頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)

y=shx,y=chx,y=thx的反函數(shù)依次記為反雙曲正弦:y=arshx,反雙曲余弦:y=archx,反雙曲正切:y=arthx.可以證明第66頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六6.小結

P9:1,2,4,5,7,8.(1),基本初等函數(shù)的概念;(2),基本初等函數(shù)的圖象及性質(zhì);(3),復合函數(shù)的概念及性質(zhì);(4),雙曲函數(shù)的概念;(5),初等函數(shù)的概念.第67頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六

(1)符號函數(shù)1-1xyo幾個特殊函數(shù)舉例第68頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo階梯曲線第69頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)第70頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六(4)取最值函數(shù)yxoyxo第71頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).第72頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六

§4具有某些特性的函數(shù)第一章實數(shù)集與函數(shù)第73頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六1.單調(diào)函數(shù)

單調(diào)遞增函數(shù)和單調(diào)遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).xyof(x)單調(diào)遞增xyof(x)單調(diào)遞減設f(x)在(a,b)有定義.若x1,x2(a,b).x1<x2,有f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2)),

則稱f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(單調(diào)遞減).區(qū)間(a,b)稱為f(x)的單調(diào)區(qū)間.第74頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六如,y=x2,圖y=x20xy在(,0]上單調(diào)遞減,而在[0,+)上單調(diào)遞增.第75頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六2.奇偶函數(shù).

(1)若xD(f).有f(–x)=f(x).則稱f(x)為偶函數(shù).其圖形關于y軸對稱.(2)若xD(f).有f(–x)=–f(x).則稱f(x)為奇函數(shù).其圖形關于原點對稱.設f(x)的定義域為D(f).滿足xD(f).有–xD(f).第76頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六易見,常函數(shù)y=c是偶函數(shù).狄利克萊函數(shù)D(x)也是偶函數(shù).因為若x為有理數(shù),則–x也是有理數(shù),從而若x為無理數(shù),則–x也是無理數(shù),從而綜合起來,總有D(x)=D(–x).因此,D(x)是一個偶函數(shù).D(x)=D(–x)=1D(x)=D(–x)=0第77頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六3.周期函數(shù).

設f(x)的定義域為D(f).若存在常數(shù)T0,使xD(f).有xTD(f).且f(xT)=f(x).則稱f(x)為周期函數(shù).T為f(x)的周期.由于周期函數(shù)的函數(shù)值是呈周期變化.因此,周期函數(shù)的圖形也是呈周期性變化.會周而復始的重復出現(xiàn).如y=sinx,y=cosx.第78頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六易見,若T為f(x)的周期,則nT均為f(x)的周期,n=1,2,…,通常稱最小正周期為f(x)的周期.畫周期函數(shù)圖形可以先在一周期內(nèi)畫好,然后向數(shù)軸兩端平移.第79頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六如y=sinx,2n都是sinx的周期,其中n=1,2,…,它的最小正周期為2.是周期函數(shù),它的周期為n,n=1,2,…最小正周期為.第80頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六有些周期函數(shù)沒有最小正周期.如常數(shù)函數(shù)y=f(x)=c(常數(shù)),是一個周期函數(shù).任何一個大于0的常數(shù)T都是它的一個周期.這是因為f(x)=c=f(x+T)在這無窮多個大于0的周期T中,找不到一個最小的正周期T.第81頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六又如,狄利克萊函數(shù)D(x)也是周期函數(shù).任何一個大于0的有理數(shù)T都是D(x)的周期.因為(i)若x為有理數(shù),則x+T也是有理數(shù).從而D(x)=1=D(x+T)(ii)若x為無理數(shù),則x+T也是無理數(shù).從而D(x)=0=D(x+T)所以,總有D(x)=D(x+T).即T是D(x)的周期.但是在這無窮多個大于0的有理數(shù)T中,找不到一個最小的T.第82頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六4.有界函數(shù)定義4.

幾何意義：由于|f(x)|MMf(x)M.因此,f(x)在(a,b)內(nèi)有界.就表示了f(x)的圖形夾在兩平行直線y=M之間.xyoabMM設f(x)在(a,b)有定義,若存在常數(shù)M>0,使x(a,b),有|f(x)|M.則稱f(x)在(a,b)內(nèi)有界.否則,稱f(x)在(a,b)內(nèi)無界.第83頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六若M1,使x(a,b),有f(x)M1,則稱f(x)在(a,b)內(nèi)有上界.M1稱為它的一個上界,看圖.若M2,使x(a,b),有M2

f(x),則稱f(x)在(a,b)內(nèi)有下界.M2稱為它的一個下界,看圖.xyoabM2xyoabM1第84頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六f(x)在(a,b)有界

f(x)在(a,b)既有上界,又有下界.易見,若f(x)在(a,b)有上界M1,則它在(a,b)有無窮多個上界.若f(x)在(a,b)有下界M2,則它在(a,b)有無窮多個下界.比如M2–1,M2–2,…都是它的下界.比如M1+1,M1+2,…都是它的上界.第85頁，共95頁，2023年，2月20日，星期六可以證明,在這無窮多個上界中必有一個最小的上界M,稱為f(x)在(a,b)的上確界.記作在這無窮多個下界中必有一個最大