第二章彈性力學(xué)基本方程的建立

第二章第二章

f,u 應(yīng)力及應(yīng)力分－外zFox圖zFox圖 體力矢包含點(diǎn)M。設(shè)作用在VQ，則可定義 FV0應(yīng)力及應(yīng)力分－外zzox圖 面力矢FvS0 應(yīng)力及應(yīng)力分－外zzox圖 面力矢FvS0 應(yīng)力及應(yīng)力分－內(nèi)力(應(yīng)力度，即應(yīng)力的概念。應(yīng)力及應(yīng)力分－內(nèi)力(應(yīng)力Flim S0

v應(yīng)力矢量F一般有圖2.3 v

圖圖 應(yīng)力矢應(yīng)力及應(yīng)力分－一點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)力及應(yīng)力分－一點(diǎn)的應(yīng)力

z xz 13

yz

23

z

33

y y

o

y圖圖 沿坐標(biāo)軸的應(yīng)力分應(yīng)力及應(yīng)力分－一點(diǎn)的應(yīng)力記法，采用該記法能夠極大地方便復(fù)雜彈性力學(xué)的書寫和。大家對這種記法要有所了解，最好能夠掌握。 lmn，它的面積為S

c

xy

斜截面上的應(yīng) S

S 圖 沿坐標(biāo)軸的應(yīng)力分S圖 沿坐標(biāo)軸的應(yīng)力分x設(shè)四面體的體力分量為XY

0，得XvS

xSl

yxSm

Sn1XSh 其中h為微分面abc到點(diǎn)MXvxlyxmzx同理，考慮平衡條件FyXvxlyxmzx

Y vxylymzyY l m

X－張量記法與分量記法的1→x;2→y;3→z;i,11n121n231n3n n njin

X

12 22 32 13n123n233n3XcXvxlyxmzx lm l

m －平衡微分

z zy

zx

y

yz

xzxxy

yx

y

z圖2.5圖2.5－平衡微分x0的微分面上，應(yīng)力分量x,xy,在xdx表示為

x 、 、

xy 、 、

xzM

0,Fy0,Fz0,My0,Mz－平衡微分例如考慮平衡條件Fx0

x

dxdydzxdydzyx

dydxdzyx

zx

dzdxdyzxdxdyXdxdydz

Fz

X xy y

Y

yzzZ －平衡微分

Xi這三個方程稱為平衡微分方程，又稱(Navier)

－張量記法與分量記法的,j

11,1

31,3X1 X

12

22

32

23,2c

33,3X3

X xy y

Y

yzzZ －靜力邊界力平衡，如圖2.6所示。

c

y

Xvxlyxmzx

vxylymzyY l m Y圖 物體表面微元體的平 圖 物體表面微元體的平

X 位移、應(yīng)變及其關(guān)－位移分 zxyz為uv

T

u

yyo圖圖 位移矢位移、應(yīng)變及其關(guān)－應(yīng)變分 圖圖 微元體的變位移、應(yīng)變及其關(guān)－應(yīng)變分將棱邊的伸縮稱為正應(yīng)變，用xy來表示(伸長正壓縮負(fù))。xyL,來表示(減小正增加負(fù) 1 1 2 2

xz1

ij2

yz

23

112

33圖 微元體的變很容易可以證明ijji。應(yīng)變張量只圖 微元體的變位移、應(yīng)變及其關(guān)－幾何方圖位系u圖位系 vvv

b

vv ox uu位移、應(yīng)變及其關(guān)－幾何方M'A'MAm'a''madxudx

v

位移、應(yīng)變及其關(guān)－幾何方 bz軸轉(zhuǎn)過得角度，則

B'M'A'b'm'a'

vvdx yxtan

a m'a

dx

x 1

v xzzyz

w 位移、應(yīng)變及其關(guān)－幾何方 u v

v u

w

w

1 i, j 是彈性力學(xué)的三組基本方程之一。位移、應(yīng)變及其關(guān)－幾何方

x yy

2x2z2z

廣 定出應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系－廣義定律。

C16x

y 26 yz

C36z

yz

C46

yz

C56xz

C66

xy廣 定上式中，Cmnm,n1,2,L,6為彈性系數(shù)，共有36個?？梢宰C Cmn

x2x,yz 2

張量記法 z2z,

,

0i 稱 彈性系數(shù)

z稱為廣 定－張量記法與分量記法的1111223311 ij

3311223311

ij 0i

1311223313

c

x2x,yz y2y,xz z2z,xy廣 定

, E E 1v

y

1

v

21 －基本變

x

uiui －基本方平衡微分方程(應(yīng)力與體力的平衡3

X xy y

Y

Xi xz

Z －基本方幾何方程(位移與應(yīng)變關(guān)系6 u

v

w

w

ij,

i,

j物理方程(應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系6x2x,yz y2y,xz

簡記為：ijkkij2

z2z,xy －邊界條XvxlyxmzxY vxylymzyYZ l mZ

簡記為：ijn

Xuv

簡記為：uiui － －彈性力學(xué)邊值問題的 知量的求解在數(shù)學(xué)上的卻是非常巨大的。－解析求解(位移解法 v

'2Gx,

z '2u

uw '2u

y'uv －解析求解(位移解法

G2uX

G2vY G2wZ

2

2 －解析求解(位移解法 方程求位移→用幾何方程求應(yīng)變→用物理方程求應(yīng)力－解析求解(應(yīng)力解法

1

Xk,kijXi,j