多元波動率模型的一些新進展

多元波動率模型的一些新進展

0引言金融資產收益率序列的波動以及它們之間的相關性往往呈現(xiàn)出明顯的時變特征，研究其中的動態(tài)規(guī)律對于資產定價、資產配置以及風險管理等各類金融決策都是極其重要的，可以說，對金融收益率序列二階矩的動態(tài)模型的研究構成了近二十多年來金融計量學當中最為活躍的領域之一。就單個資產的情形而言，對其波動率進行刻畫的時間序列模型主要包括三類，一類是ARCH模型以及由此推廣得到的一系列模型，包括GARCH、EGARCH、GJR-GARCH、TGARCH、APGARCH、FIGARCH等等；另外一類是隨機波動率及其推廣形式；第三類模型則是針對由日內高頻數(shù)據(jù)得到的所謂實際波動率(realizedvolatility)序列而建立的各種線性和非線性時間序列模型。目前對前面兩類模型的研究都取得了相對成熟的結果，對于一元的GARCH模型可以參照[1-5]等綜述文獻；對于隨機波動率模型則可以參見[6-8]等給出的綜述。近些年來，隨著日內高頻交易數(shù)據(jù)的獲取越來越方便，人們對實際波動率的估計及其動態(tài)規(guī)律的研究日漸深入，有關的進展可以參見綜述[9]。由于在實際投資決策當中，往往需要同時考慮多個資產，因此，建立多維資產收益率向量的協(xié)方差矩陣或者稱為多元波動率的動態(tài)模型就顯得尤為必要。但是，與單個資產的波動率模型不同，考慮多元波動率模型的時候不可避免地會遇到如下的困難：首先一個問題就是維數(shù)的災難(curseofdimensionality)，由于d個資產收益率的協(xié)方差矩陣當中就有d(d+1)/2個自由變量，原則上，對于每一個變量都可以構造一個時間序列模型，這勢必會有大量的參數(shù)需要估計；其次，為了保證給出的協(xié)方差矩陣滿足正定性的要求，對于模型中的參數(shù)加以適當?shù)南拗剖潜匾?，顯然，在參數(shù)很多的情況下，給出合適的限定條件并非一件容易的事情。近些年來，關于多元波動率的研究取得了一些重要的成果。類似于一元波動率的模型，涉及多元波動率的時間序列模型也可以分為三個方面，分別包括各種多元GARCH模型、隨機波動率模型在多元情形下的推廣以及針對由高頻數(shù)據(jù)得到的實際協(xié)方差矩陣(realizedcovariancematrix)序列的時間序列模型等，其中，關于多元GARCH模型的結果可以參照文獻[10-12]給出的綜述；多元的隨機波動率則可以參考[13]以及[14]等給出的綜述；對于多元實際波動率的研究目前尚處在初級階段，主要的進展可參照[9]及[15]等。值得指出的是，由于涉及的參數(shù)很多，目前絕大多數(shù)的多元波動率模型還僅適用于低維的情形，一個二維的vec-GARCH模型[16]就有21個參數(shù)（見后面第1節(jié)），因此在高維的情形對于這類模型參數(shù)估計的困難是難以想見的。比如在[12]中為了比較幾種多元GARCH模型就只考慮了兩個資產的一個例子。然而在實際應用當中，比如進行資產配置或者風險管理的問題中，動輒需要同時考慮數(shù)十個的資產，因此，為了真正能夠對實際的投資決策有支持意義，必須要考慮真正適用于高維情形的波動率模型。本文主要給出最近幾年來關于高維GARCH模型研究的一些主要進展，特別是作者及合作者近些年來基于數(shù)據(jù)降維方法提出的一些模型和方法，因此，與前面列出的同類綜述文獻有明顯的不同。目前對高維波動率模型的研究還處在一個比較初級的階段，對于本文綜述的一些模型在投資決策當中的應用是需要進一步探討的問題，值得學界和業(yè)界的人們共同關注。這也是本文的一個主要目的。本文的安排如下：第1節(jié)給出直接將一元GARCH模型的形式推廣到多元情形下得到的模型；第2節(jié)則是圍繞條件相關系數(shù)矩陣構造的各種多元波動率模型；第3節(jié)是基于數(shù)據(jù)降維技術提出的各種多元GARCH模型；第4節(jié)分析了目前針對多元GARCH模型的診斷技術和模型比較的一些結果；第5節(jié)專門討論了協(xié)方差矩陣的預測問題。全文的結論在第6節(jié)給出。1GARCH模型的多維推廣最近，Pelletier從另一個角度也推廣了CCC模型，即讓相關系數(shù)矩陣遵循一個機制轉換(regimeswitching)模型[30]，在不同的機制上相關系數(shù)矩陣是一個常數(shù)，而在不同機制之間則有差異。這樣的模型稱為機制轉換動態(tài)相關系數(shù)模型，簡記為RSDC模型。具體參見[30].3基于降維技術的模型采用各種降維的技術來處理高維的波動率問題顯然是很有吸引力的一個方向。一個基本的思想是把條件協(xié)方差矩陣中隨著時間變化的內容歸結為幾個“因子”的動態(tài)波動，通過找到并且利用一維的GARCH模型來刻畫出這幾個“因子”的波動率變化，從而最終給出原始資產的條件協(xié)方差矩陣。4模型的診斷與比較與一維的情形相比，針對多維波動率模型的診斷以及模型的設定檢驗結果比較少，而且現(xiàn)有的一些診斷方法往往也很難適用于高維的情形。不妨按照這些方法產生的背景粗略地將它們劃分成兩類，一類是從純粹的統(tǒng)計學模型設定的角度給出的檢驗，包括傳統(tǒng)的對于殘差的混合檢驗(Portmanteautest)，Lagrange乘子檢驗，以及對殘差進行的各種回歸檢驗（參見[24]、[41]等）；另外一類檢驗則是從投資決策的角度給出的模型的診斷，比如說，從風險管理或者資產配置的角度來看，多元波動率模型設置的合適，那么給出的相應的VaR值就應該比較合理，或者得到的最優(yōu)投資組合的方差最小等。也可以采用其他更加肥尾的分布，比如t-分布[50]，那么可以得到該投資組合在1%水下平下的VaR值為當然，通過對VaR的分析來判斷條件協(xié)方差矩陣的模型也有值得商榷的地方，比如說畢竟為了得到VaR的值還要對投資組合收益率的條件分布做出假設，因此通過Hit檢驗拒絕了VaR模型在邏輯上并非直接能夠說明條件協(xié)方差的模型出了問題，而且，這種檢驗對協(xié)方差矩陣做了很大的變換，很難判斷這種檢驗實際的功效，另外這種檢驗依賴于權重w的選擇。除風險管理之外，條件協(xié)方差在投資決策中的另外一種重要的應用自然就是資產配置(assetallocation)。在給定預期收益率的條件下，為了得到方差最小的投資組合（稱為最優(yōu)的投資組合）需要對資產條件協(xié)方差矩陣進行準確的估計。利用了不準確的估計所得到的最優(yōu)組合的方差應該大于使用準確的條件協(xié)方差時得到的最優(yōu)組合的方差[52]。這是可以利用該方法來進行條件協(xié)方差模型比較的基礎。當然，在實際中為了進行這樣的比較必須要給出各個資產本身的預期收益率，而不同的投資者在不同的時期對于同一組資產可能有不同的預期收益率。Engle和Colacit[52]在處理這一問題時利用極坐標考慮了所有可能的預期收益率，但是他們的方法僅適用于兩個資產的情形；Ledoit等[48]則是在沒有考慮給定預期收益率的條件，比較了利用不同條件協(xié)方差模型所能夠產生的方差最小的投資組合（即有效邊界最左邊的點）的方差。顯然撇開了預期收益率，只比較全局最優(yōu)組合的方差并非一個合理的方法，也缺乏理論的依據(jù)。5多元波動率的預測前面一節(jié)中對模型的診斷和比較都是在樣本內進行的，因此實際是對模型擬合程度的一種度量和分析。但是，建立條件協(xié)方差矩陣的一個主要目的還是為了預測未來資產的協(xié)方差矩陣。在一維的情形，這一問題得到了廣泛的研究并取得了豐富的結果，例如Poon及Granger[3,53]曾經對于近二十年來的九十篇關于一維波動率預測的論文進行了綜述和比較；另見[54]等。此外，隨著對日內高頻數(shù)據(jù)的獲取越來越方便，通過所謂的實際波動率(realizedvolatility)來預測資產的未來波動率的思路也已經得到人們的重視，并取得了一些結果。相比之下，對于多維波動率特別是高維的情形的預測研究目前還比較少見，其中的因素首先是對大多數(shù)模型的估計本身就比較困難，正如前面提到的，很多研究中的應用實例多局限在2-5維的情形；而且預測的研究往往要不斷的調整估計模型時用到的樣本以包含最新的歷史信息，因此，模型估計的負擔尤甚。此外，一些模型由于本身設置的復雜性，缺乏直接的預測形式也是一個困難；當然，類似于一維的情形，多維的波動率也是無法直接觀測的，因此需要找一個合適的代理值作為其“真實值”，而且，由于多維高頻數(shù)據(jù)的獲取和處理都比一維的情形更為復雜，也很難得到實際的協(xié)方差矩陣(realizedcovariancematrix)來作為代理值。這顯然也增加了該方面研究的難度。下面我們主要就一些模型的向前多步預測的問題以及條件協(xié)方差的代理值等兩個方面進行討論。來作為t+p期協(xié)方差矩陣的代理值，即用t+p期臨近的2v+1個觀測平方的平均值來構造代理值，其中v的作用是將隨機的誤差進行平均處理，但是v太大時難免又增加了偏差。類似的方法參見[37]、[57]等。在[48]中由于考慮是周收益率向量的協(xié)方差矩陣，他們采用類似于實際的協(xié)方差矩陣的構造方式通過對日收益率序列的累計構造出一種“實際的(realized)”周收益率協(xié)方差矩陣。由于通常一周最多只有5天的交易，這樣構造出的實際協(xié)方差矩陣也是非常粗糙的一個估計。此外，從使用數(shù)據(jù)的規(guī)模以及選擇比較的模型方面來看，[48]使用的是7個國家市場的股票指數(shù)，比較了CCC、對角的BEKK、EWMA、簡單的移動平均以及他們提出的FlexM模型，預測效果最好的是FlexM模型，其次是CCC、對角的BEKK、EWMA以及移動平均。Pelletier[30]則通過一個四維的匯率數(shù)據(jù)比較了CCC、DCC以及他的帶有機制轉換的動態(tài)相關系數(shù)RSDC模型，預測的結果并沒有表現(xiàn)出明顯的優(yōu)劣，因為按照不同的損失函數(shù)得到的次序很不一樣。Zaffaroni[58]利用S&P500的22個行業(yè)指數(shù)的數(shù)據(jù)比較了DCC（文中并沒有提到如何得到DCC的多步預測形式）以及EMWA的預測效果，發(fā)現(xiàn)DCC明顯比EMWA要好。Fan等[37]采用一個4維的股市數(shù)據(jù)以及10維的匯率數(shù)據(jù)，比較OGARCH，DCC，GOGARCH以及CUC-GARCH的預測效果，發(fā)現(xiàn)CUC-GARCH的預測效果明顯比其他三個模型要好，其次是DCC模型、OGARCH模型，效果最差的是GO-GARCH模型。王明進[55]采用同樣的10維的匯率數(shù)據(jù)以及深圳市場的20個行業(yè)指數(shù)數(shù)據(jù)比較了OGARCH，GO-GARCH，DCC，EWMA以及IC-GARCH模型，發(fā)現(xiàn)預測效果最好的是ICGARCH模型，其次是DCC、OGARCH、EWMA，而效果最差的仍然是GO-GARCH模型?？紤]到在高維情形下計算的可行性和便捷性，IC-GARCH模型在高維波動率預測方面的優(yōu)勢是顯而易見的。應該承認，與一維波動率預測的豐富的研究成果相比，上述研究結果還僅僅是個開始。隨著高頻數(shù)據(jù)的豐富，無論是對多維波動率的預測方法還是對預測的評價方式都會帶來更多的研究契機。另外，目前對預測方法的比較基本都局限在對損失函數(shù)的簡單比較上，顯然采用更加嚴格的統(tǒng)計推斷方法來比較協(xié)方差矩陣的預測效果應該是未來研究中值得鼓勵的方向[59]。6結論對多個資產收益率的協(xié)方差矩陣建立動態(tài)模型是一個重要而困難的問題，近些年來無論在模型的設置還是預測方面都取得了一些重要的進展。本文對這方面研究的主要成果進行了綜述，特別是針對能夠處理高維情形的模型和技術進行了分析和比較。高維協(xié)方差矩陣的模型和高頻數(shù)據(jù)的處理是金融計量學里目前最主要的兩個問題。即便是從靜態(tài)的觀點來看，高維協(xié)方差矩陣的估計都是一個非常困難的，比如，估計一千個資產的無條件的協(xié)方差矩陣就是一個很具有挑戰(zhàn)性的問題，這也給傳統(tǒng)的統(tǒng)計推斷理論提出了一些新的問題。因此從技術層面來看研究高維協(xié)方差矩陣的動態(tài)模型顯然是更加困難的事情。從目前的研究成果來看，一些模型能夠比較快捷地處理幾十維的情形，因此這些模型應