原子物理第三章量子力學(xué)初步答案

第三章量子力學(xué)初步3.1波長(zhǎng)為ia的X光光子的動(dòng)量和能量各為多少？解：根據(jù)德布羅意關(guān)系式，得：動(dòng)量為：p二A二6.63x1°34二6.63x10-24千克?米?秒-1九 10-io能量為:E=hv=hc/九二6.63x10-34x3x108/10-io二1.986x10-15焦耳。經(jīng)過(guò)10000伏特電勢(shì)差加速的電子束的德布羅意波長(zhǎng)九=?用上述電壓加速的質(zhì)子束的德布羅意波長(zhǎng)是多少？解：德布羅意波長(zhǎng)與加速電壓之間有如下關(guān)系：九=h/\.2meV 只寸于電子：m=9.11x10-31公斤，e=1.60x10-19庫(kù)侖把上述二量及h的值代入波長(zhǎng)的表示式，可得："竽A=需A=0-1225A對(duì)于質(zhì)子，m=1.67x10-27公斤，e=1.60x10-19庫(kù)侖，代入波長(zhǎng)的表示式，得：=2.862x10-3表示式，得：=2.862x10-3AJ2x1.67x10-27x1.60x10-19x10000電子被加速后的速度很大，必須考慮相對(duì)論修正。因而原來(lái)九=1225A的電子德布羅意波長(zhǎng)與加速電壓的關(guān)系式應(yīng)改為：12.25(1-12.25(1-0.489x10-6V)A其中V是以伏特為單位的電子加速電壓。試證明之。證明：德布羅意波長(zhǎng)：九=h/p對(duì)高速粒子在考慮相對(duì)論效應(yīng)時(shí)，其動(dòng)能K與其動(dòng)量p之間有如下關(guān)系：K有如下關(guān)系：K2+2Kmc2=p2c20而被電壓V加速的電子的動(dòng)能為：K而被電壓V加速的電子的動(dòng)能為：K=eV(eV)2c2+2meV0p='2meV+(eV)2/c20因此有：eV2mc20二h/eV2mc20J2meV0般情況下，等式右邊根式中eV/2mc2—項(xiàng)的值都是很小0的。所以，可以將上式的根式作泰勒展開(kāi)。只取前兩項(xiàng)，得：TOC\o"1-5"\h\zh eV h九二= (1 )二= (1-0.489x10-6V).J2meV 4mc2 .-2meVw0 0 \ 0由于上式中h八亦v.1225a，其中v以伏特為單位，代回原v0 Jv式得：1225九=—4=^(1-0.489x10-6V)A

w由此可見(jiàn)，隨著加速電壓逐漸升高，電子的速度增大，由于相對(duì)論效應(yīng)引起的德布羅意波長(zhǎng)變短。試證明氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數(shù)個(gè)電子的德布羅意波波長(zhǎng)。上述結(jié)果不但適用于圓軌道，同樣適用于橢圓軌道，試證明之。

證明：軌道量子化條件是：Rpdq=nh對(duì)氫原子圓軌道來(lái)說(shuō)，p=0,p=mr2$=mvr0所以有：Jpd0=2兀-mvr=nhhS=2兀r=n =nk,n=1,2,3 mv所以,氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數(shù)個(gè)電子的德布羅意波長(zhǎng)。橢圓軌道的量子化條件是：pd0=nh

00pdr=nhrr其中p=mrp=mr,p=mr2?r0.?丄(pdr+pd?)=nh,其中n=n+nr ? ? rJ(pdr+pd?)=J(mrdr+mr2?d?)r?=(J(m?drdt+mr2?—dt)=

dt dtJds???小亍=nkmv2dt=mvds=h ds—ds=h(j)——r k因此，橢圓軌道也正好包含整數(shù)個(gè)德布羅意波波長(zhǎng)。帶電粒子在威耳孫云室（一種徑跡探測(cè)器）中的軌跡是一串小霧滴，霧滴德線(xiàn)度約為1微米。當(dāng)觀(guān)察能量為1000電子伏特的電子徑跡時(shí)其動(dòng)量與精典力學(xué)動(dòng)量的相對(duì)偏差不小于多少？解：由題知，電子動(dòng)能K=1000電子伏特，Ax=10-6米，動(dòng)量相對(duì)偏差為Ap/p。根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理，有ApAx>h，由此得：Ap>丄2 2Ax經(jīng)典力學(xué)的動(dòng)量為：p=p2mK:.-L>h =3.09x10-5p2—X\：2mK電子橫向動(dòng)量的不準(zhǔn)確量與經(jīng)典力學(xué)動(dòng)量之比如此之小，足見(jiàn)電子的徑跡與直線(xiàn)不會(huì)有明顯區(qū)別。3.6證明自由運(yùn)動(dòng)的粒子（勢(shì)能v三o）的能量可以有連續(xù)的值。+—（p-r-Et）證明：自由粒子的波函數(shù)為:屮—Aeh （1）自由粒子的哈密頓量是：H=-竺V2……（2）2m自由粒子的能量的本征方程為：Hw=E屮 （3）h2 j_（一一—E）把（1）式和（2）式代入（3）式，得：-2mV2狙幾"V=E即：h2 d2 d2 d2丄-—V2A（—+—+—）e+h（pxx+pyy+pzz一Et）2m dx2dy2dz2p2=砂2—屮=砂2m:E=巴2m自由粒子的動(dòng)量p可以取任意連續(xù)值，所以它的能量E也可以有任意的連續(xù)值。3.7粒子位于一維對(duì)稱(chēng)勢(shì)場(chǎng)中，勢(shì)場(chǎng)形式入圖3-1，即{0<x<L,V=0x<0,x>L,V=V0試推導(dǎo)粒子在E<V情況下其總能量E滿(mǎn)足的關(guān)系式。0試?yán)蒙鲜鲫P(guān)系式，以圖解法證明，粒子的能量只能是一些不連續(xù)的值。解：為方便起見(jiàn),將勢(shì)場(chǎng)劃分為1,11,111三個(gè)區(qū)域。(1) 定態(tài)振幅方程為竺h+空(E-V)屮=0dx2 h2 (x)(x)式中卩是粒子的質(zhì)量。I區(qū)：竺世-a2屮=0其中a2=空(V-E)TOC\o"1-5"\h\zdx2 h20波函數(shù)處處為有限的解是：屮(x)=Aeax,A是一任意常數(shù)。1II區(qū)：凹+B2屮=0其中B2=空Edx2 h2處處有限的解是：屮￡(x)=Bsin(px+y),B,丫是任意常數(shù)。III區(qū)：d^-a2屮=0其中a2=空(V-E)dx2 h20處處有限的解是：屮(x)=De-a,D是任意常數(shù)。3有上面可以得到：丄竺=a，丄竺=pctg(Px+丫)，丄竺=-a,屮dx屮dx 屮dx1 2 3有連續(xù)性條件，得：ap=ctg7{pa-^=ctg(pL+7)解得：tg(卩L)=-1-a2因此得：pL二n兀-2tg-1（P/a）這就是總能量所滿(mǎn)足的關(guān)系式2）有上式可得：p=tg(孚-學(xué))a2 2_{-tg ……n二偶數(shù)，包括零ctg— n_奇數(shù)2aL_-(pL)ctg羋亦即 PL2aL_(pL)tg-令pL_u,aL_v，則上面兩方程變?yōu)閡v_-utg (D2uV_utg ⑵2另外，注意到U和V還必須滿(mǎn)足關(guān)系：u2十v2_2卩VL2/h2 ⑶0所以方程（1）和（2）要分別與方程（3）聯(lián)立求解。3?8有一粒子，其質(zhì)量為m，在一個(gè)三維勢(shì)箱中運(yùn)動(dòng)。勢(shì)箱的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c在勢(shì)箱外，勢(shì)能V；在勢(shì)箱內(nèi)，V_0。式計(jì)算出粒子可能具有的能量。解：勢(shì)能分布情況，由題意知：_0,0<x<a;V_0,0<y<b;V_0,0<z<c;xyz=g,x<0和x>a;V=g,y<0和y>b;V=g,z<0和z>cxyz

在勢(shì)箱內(nèi)波函數(shù)屮(x,y,z)滿(mǎn)足方程：空+空+凹+2m[e_(V+v+V加二02x22y22z2h2 xyz解這類(lèi)問(wèn)題，通常是運(yùn)用分離變量法將偏微分方程分成三個(gè)常微分方程。令屮(x,y,z)二X(x)Y(y)Z(z)代入(1)式，并將兩邊同除以x(x)Y(y)Z(z)，得：(丄空-Zmv)+(丄竺I-2mv)+(丄性-也V)一叫Xdx2 h2 x Ydy2 h2 yZ dz2 h2 z h2方程左邊分解成三個(gè)相互獨(dú)立的部分，它們之和等于一個(gè)常數(shù)。因此，每一部分都應(yīng)等于一個(gè)常數(shù)。由此，得到三個(gè)方程如下：Xdx2-- V=h2xEh2x1d2Y2m2mV=EYdy2h2yh2y1d2Z2m2mV=-EZdz2h2zh2z1d2X 2m2m2)其中E=E+E+E,E,E,E皆為常數(shù)。xyzxyz將上面三個(gè)方程中的第一個(gè)整數(shù)，得：2)爛+如(E-V)X=0dx2 h2 xx邊界條件：X(0)二X(1)二0可見(jiàn)，方程(2)的形式及邊界條件與一維箱完全相同因此，其解為：

v ◎.n兀X=sinxna-Ex 2kEx 2k-2xn2,n=1,2,3x類(lèi)似地，有：2 .n兀=sm十y

bbk2h2=n2,n=1,2,32kb2 yy■2.nk=sin—z--=^2h2n2,n=1,2,32k-2zz???屮(x,y,z???屮(x,y,z)=.'-8b-abcsin—sintsinabk2h2n2n2n22m