常微分計算習題及解答

常微分計算習題及解答常微分計算習題及解答/常微分計算習題及解答歡迎閱讀計算題（每題10分）1、求解微分方程y'2xy2xex2。2、試用逐次逼近法求方程dyxy2經(jīng)過點(0,0)的第三次近似解.dxdxy、求解方程yy'2yex的通解、求方程組dt的通解34dyxydt5、求解微分方程y2xy4x6、試用逐次逼近法求方程dyxy2經(jīng)過點(1,0)的第二次近似解。dxdxxy7、求解方程yy'2y2ex的通解dt8、求方程組的通解dyxydt9、求解微分方程xy'yx10、試用逐次逼近法求方程dyxy2經(jīng)過(0,0)的第三次近似解.dxdxy11、求解方程yy'2y4ex的通解x12、求方程組dt的通解dyyxdt13、求解微分方程x(yy)ex14、試用逐次逼近法求方程dyy2x2經(jīng)過點(0,0)的第三次逼近解.dx、求解方程yy2y2ex的通解、求解方程yy2y3ex的通解1516dxdy4yx、求方程組251)dxy(x21)dy0dtdt的通解18、解微分方程x(y217dxdy2xy34dtdt19、試用逐次逼近法求方程dyxy2滿足初始條件y(0)0的近似解：0(x),1(x),2(x),3(x).dx20、利用逐次逼近法，求方程dyy2x2適合初值條件y(0)1的近似解：0(x),1(x),2(x)。dx21、證明解的存在唯一性定理中的第n次近似解n(x)與精確解(x)有以下誤差估計式：|n(x)(x)|MLnxn1x0。(n1)!頁腳內(nèi)容歡迎閱讀22、求初值問題dyx2y2,y(1)0在地域R:|x1|1,|y|1的解的定義區(qū)間，并求第dx二次近似解，給出在存在區(qū)間上解的誤差估計。ycosyxcosydy24、dyy2223、xdx02xxdxxy125、dy12xy1026、ylnydx(xlny)dy0dxx227、y'yy28、dyy2x29、2xydx(x2y2)dy02ylnyxdx2xy30、ydx(y3lnx)dy031、xdxydyydxxdyx1x2y2x2y2xxxdyxy1yy44332、(1e)dxe1ydy033、dxxy2334、(xy)dxxydy035、(2xy2y)dxy2yxdy036、y3y1037、yyyy038、y2y3y10y039、y(4)y040、y(6)2y(4)y2y041、y(4)y042、y(4)4y8y8y3y043、y(4)4y6y4yy044、yyxex45、2y3yy4ex46、y2y4y(x2)e3x47、x6x13xet(t25t2)48、xxet49、s2asa2set50、x4x4xete2t151、y4y1052、y3y3yyex(x5)53、y3y2sinxcosx54、x2kx2k2x5k2sinkt(k0)55、yysinxcosx56、y2y2yexcosx57、y2y10yexcos2x58、xxsinat,a059、2y5ycos2x60、y4yxsin2x61、y2y34sin2x62、y2y2y4excosx63、y9y18cos3x30sin3x64、xxsintcos2t65、x2x2xtetcost66、求微分方程y12(y)20的通解。y67、求y1yxexcosx的通解。68、求微分方程yyy0的通解。xxx2頁腳內(nèi)容歡迎閱讀69、求微分方程xyyx(y)2yy0的通解。70、求微分方程y3y2yexsinx的通解。71、求微分方程y4y4y1e2x的通解。x272、求方程y4y5ye2xcscx的通解。73、求微分方程x2y2xy2y0的通解。74、求微分方程x2y2xy2yx22的通解。75、利用代換yu將方程ycosx2ysinx3ycosxex化簡，并求出原方程的通解。cosxdx2x4y4e2t(1)76、求以下線性微分方程組dtdy2x2y(2)dtdy12y12y2(1)dx77、解以下微分方程組dy2y2y2(2)的通解。dxdy32y3(3)dxdy4zdx3x4y5y2x5y4yx78、dx79、dt80、4y2xydz5zdy5x2y3x4ydtdx計算題答案１、解：對應的齊次方程y2xy0的通解為ycex2代入方程y2xy2xex2用常數(shù)變易法，可設非齊次方程的通解為yc(x)ex2得c(x)2x所以有c(x)x2c所以原方程的通解為y(x2c)ex2２、解：按初始條件取y0(x)03、解：對應的齊次方程為yy-2y0特色方程為2+20解得1,-2對應的齊次方程通解為Yc1exc2e2x設方程的一個特色解為y1Aex則y1Aex，y1Aex代入解得A1121從而y1ex故方程的通解為yYy1c1exc2e2xex。224、解：它的系數(shù)矩陣是A0121特色方程|AE|1021頁腳內(nèi)容歡迎閱讀或為2-10+9=0特色根1=1,2=9原方程對應于1=1的一個特解為y1=et,x1=-et對應于2=9的一個特解為y1=e9t,x1=e9t原方程組的通解為xce1tce22tyce1t2ce22t5、解：對應的齊次方程y2xy0的通解為ycex2用常數(shù)變易法，可設非齊次方程的通解為yc(x)ex2代入方程y2xy4x得c(x)所以原方程的通解為y(2ex26、解：取y0(x)0,yn(x)y0x(x)1

224exx所以有c(x)2exc[ty2n1(t)]dtxx21則y1(x)tdt221x5x3x2所以，第二次近似解為y2(x)x11。20624307、解：對應的齊次方程為yy-2y0特色方程為2+20，得1,-2對應的齊次方程通解為c1exc2e-2x設方程的一個特色解為y1Ae-x則y1Ae-x,y1Ae-x代入解得A-1，而y1-e-x故方程的通解為yYy1c1exc2e-2xe-x8、解：由方程解出y，得yx21px，代入dx1dy得dxdp即pcx2x2ppxp故通解為yc(x21)122c9、解：方程化為y'2y2x3x2對應的齊次方程y'02(41)y的通解為y=cxxy=c(x)x2用常數(shù)變易法，可設非齊次方程的通解為代入方程得c1(x)=2x所以有c(x)=x2+c(31）所以原方程的通解為10、解：取y0(x)0,yn(x)則y1(x)xx2tdt02

y=(x2+c)x2(11)xy0(x)[ty2n1(t)]dt0t222x5y2xx(x)tdt02220所以，第三次近似解為y2x5x3x2x11(x)624302011、解：對應的齊次方程為yy2y0特色方程為2+-2=0解得=1,-2對應的齊次方程通解為Yc1exc2e2x設方程的一個特色解為y1Aex?則y1Aex,y1Aex代入解得A2?????????12ex故方程的通解為y12e2ex從而ycexc2x頁腳內(nèi)容歡迎閱讀12、解：它的系數(shù)矩陣是A0121特色方程|AE|1021或為2-4-5=0（21）特色根1=-1,2=5原方程對應于1=5的一個特解為y1=e5t,x1=e5t對應于22-t2-t=-1的一個特解為y=-e,x=e原方程組的通解為xce1tce22tyce1t2ce22t13、解：方程化為yy1ex對應的齊次方程y-y0的通解為ycexxc(x)ex用常數(shù)變易法，可設非齊次方程的通解為y代入方程得c(x)1所以有c(x)ln|x|cxx所以原方程的通解為ye(ln|x|)c14、解：取y0(x)0,yn(x)y0(x)xy21(t)]dt[tn0xt2dtx3xt32x3x7則y1(x)y2(x)t2dt0303363所以，第三次近似解為15、解：對應的齊次方程特色方程為2+2=0解得=1,-2對應的齊次方程通解為Yc1exc2e-2x設方程的一個特色解為y1Ae-x代入解得A1從而y1e-x故方程的通解為yYy1c1exc2e-2xe-x16、解：對應的齊次方程特色方程為2+-2=0解得=1,-2對應的齊次方程通解為Yc1exc2e2x設方程的一個特色解為y1Aex代入解得A3從而y13ex223ex故方程的通解為yYy1c1exc2e2x217、解：化簡有x2x3y它的系數(shù)矩陣是A01yx2y21特色方程|AE|1021或為2-1=0（21）特色根1=±1原方程對應于1=-1的一個特解為y1=e-t,x1=e-t對應于22t2t=1的一個特解為y=e,x=3e原方程組的通解為xce1tce22tycet2ce2t1218、解：因M(x,y)x(y21),N(x,y)y(x21)M2xyN所以為全微分方程yx頁腳內(nèi)容歡迎閱讀將其分組(xy2dxyxdy2)xdxydy0原方程可寫成d1(x2y2x2y2)02方程的通解為x2y2x2y22c1c19、解：0(x)y(0)020、解：零次近似解為0(x)y(0)11(x)1xs2)ds1x1x3一次近似解為(103二次近似解為21、證：由(x)y0x(s))ds及迭代列f(s,x0x得|(x)0(x)||f(s,(s))|dsM|xx0|x0設|(x)kx( )|MLkx|x0k1|(k1)!xk(則|(x)k1x( )|f|s(,s()f)ss,ds( ))|x0由歸納法知，對任意n次近似解，估計式（1）成立。22、解：1）由存在唯一性定理知，解的定義區(qū)間為|x1|h0其中|x1|h0min(a,b),Mmax|x2y2|4。這里a1,b1，從而h01，即得解M(x,y)R4的定義區(qū)間為|x1|1。42）求初值問題的二次近似解y0(x)y(1)0則二次近似解為3）由誤差估計公式|yn(x)yx()|MLnxn1(nx01)!其中L是李普希茲常數(shù)。由于f|2y|2，可取L2，則有y即第二次近似解在存在區(qū)間上的誤差不高出1。dyy12423、解：方程可化為作變換uy，代入方程獲取uxduu1dxxcosyxdxcosux進一步化簡，得cosdx兩邊積分得sinulnx||Cudux代回原變量，得原放通解sinyln||xxC2dvv24、解：令vy2,ux3，代入原方程得2duuvv，則方程化為zudzz2這是齊次方程，再作變換z2udu1z2將變量分別，得(1z2)dzdu(z0)z(1z)u兩邊積分得ln|zu|2arctanzlCn|頁腳內(nèi)容歡迎閱讀22arctan代回原變量，得通解y2cex3其他，z0即y2也是解，它包含在上述通解中。25、解：第一求線性齊次方程dy12xy0的通解。dxx21dy2x12分別變量，得dx，兩邊積分得xyx2yCxe11設原方程通解為yC(x)x2ex，代入原方程，獲取C'(x)ex1x211兩邊積分得C(x)Cex于是，所求方程的通解為yCx2exx2。26、解：若對調(diào)x與y的地位，即可把方程化為dxx1dyylnyy這是以x為未知函數(shù)的一階線性方程，先求線性齊次方程dxx0的通解。分別變量，dyylny得dx1dy，兩邊積分得xCxylnylny為求得原方程通解，設xC(y)，代入原方程，得C'(y)1lnylnyy兩邊積分得C(y)C(lny2)所以，所求方程的通解為xClny。2lny227、解：若對調(diào)x與y的地位，即可把方程化為dxx12lnydyy這是以x為未知函數(shù)的一階線性方程，先求線性齊次方程dxx的通解。dyy分別變量，得dxdy，兩邊積分得xCxyy令xC(y)，代入原方程，得C'(y)y2ylnyy兩邊積分得C(y)C2ylny所以，所求方程的通解為xCylny。y28、解：原方程為dyy1，令zy2，代入上式得dzz1（1）上dx2x2ydxx式兩邊同乘1，并整理得z'1，z兩邊積分得Cln||xxxxx這樣，獲取線性方程（1）的通解為zCxxln|x|代回原變量，得原方程通解y2Cxxln|x|其他，x出現(xiàn)在分母地址，不可以取0。29、解：由于M(x,y)2xy,N(x,y)(x2y2)，所以有M(x,y)2xN(x,y)yx所以方程為全微分方程。取x00,y00，得于是方程的通解為2yy3C。x3頁腳內(nèi)容歡迎閱讀30、解：這里M(x,y)y,N(x,y)y3lnx，于是M(x,y)1N(x,y)xyxx所以這是一個全微分方程。把方程重新分項組合，獲取ydxlnxdyy3dy0x即y40所以，方程的通解為ylnxy4d(ylnx)dC4431、解：這里M(x,y)xx2y21于是M(x,y)N(x,y)yx所以這是一個全微分方程。即

y，N(x,y)yxx2y21x2y2x2y2312y2xy(1x2y2)2x2y2(x2y2)2d1x2y2darctany0x所以，方程的通解為1x2y2arctanyC。xxxx，經(jīng)計算知32、解：這里M(x,y)1ey,N(x,y)ey1y這是一個全微分方程。把方程重新分項組合，獲取xx

M(x,y)N(x,y)yx即y0，所以，方程的通解為xyeyC。dxdye33、解：將方程改寫為(xy1)dx(xy23)dy0這里M(x,y)xy1,N(x,y)(xy23)所以M(x,y)N(x,y)yx1這是一個全微分方程。取x00,y00，得x2xxyy323y于是方程的通解為3xy3，???M34、解：M(x,y)x4y4,N(x,y)4y3,y

x2y3xxy3yC。N23y3xMN335dx所以yx4yy5，這樣，方程有積分因子(x)1exNxy3xx51dxy4y3原方程兩端乘以x5，獲取全微分方程xx5dxx4dy0即d(ln|x|)dy4，0原方程的通解為ln|x|y4C。4x44x435、解：M(x,y)2xy2y,N(x,y)y2yx，???M4xy1,N1yxMN于是獲取然yx2(2xy1)2My(2xy1)，y2所以，方程有積分因子(y)eydy12y頁腳內(nèi)容歡迎閱讀于是原方程可化為1dx1x2x1y2dy0yy即2x，y所以，方程的通解為x2xyln|y|Cy36、解：令y'p，則y"pdp，代入方程得pdp13dydyy兩邊積分得p21Cy2，從而將方程降為一階方程dy1Cy2y2dxy將變量分別，易求得其通解為1Cy2(CxC1)2。37、解：特色方程為3特色根為11,2,338、解：特色方程為3特色根為12,2,3

210，因式分解為(1)(21)0i，故所求通解為xCcosxCsin。xyC1e23223100，因式分解為(2)(245)0i，故所求通解為yC1e2xe2x(C2cosxC3sinx)。39、解：特色方程為410，特色根為1,222i,3,422i，2222故所求通解為y2C1cos2xC2sin2x2xC3cos2xC4sin2x。x222240、解：特色方程為6242特色根為12,22,3

0，因式分解為1,41,5,6i，故所求通解為yC1e2xC2e2xC3exC4exC5cosxC6sinx.41、解：特色方程為420，特色根為11,21,3,40（二重），故所求通解為yC1C2xC3exC4ex.42、解：特色方程為44382830，因式分解為(1)2(223)0特色根為1,21（二重），3,412i，故所求通解為yex(C1C2x)ex(C3cos2xC4sin2x).43、解：特色方程為44362410，即(1)40特色根為1（四重），故所求通解為yex(C1C2xC3x2C4x3).44、解：對應齊次方程的特色方程為210，特色根為1,2i，齊次方程的通解為yC1cosxC2sinx由于1不是特色根，故已知方程有形如y1(AxB)ex的特解。將y1(AxB)ex代入已知方程，比較系數(shù)得A1,B11(x22即y11)ex，所以，已知方程的通解為2頁腳內(nèi)容歡迎閱讀yCcosxCsinx1(x1)ex。1221，45、解：對應齊次方程的特色方程為22310，特色根為11,21x2yC1ex齊次方程的通解為C2e2由于0,1都不是特色根，故已知方程有形如y1AxBe的特解。將y1ABex代入已知方程，比較系數(shù)得A4,B16即y146ex，所以，所求通解為y46、解：對應齊次方程的特色方程為22齊次方程的通解為yex(C1cos3x由于3不是特色根，故已知方程有形如

C1ex1x1ex。C2e24640，特色根為1,2C2sin3x)y1e3x(AxB)

13i，的特解。將y1e3x(AxB)代入已知方程，比較系數(shù)得A1,e3x1x10，所以，已知方程的通解為7即y1749

10B49yex(C1cos3xC2sin3x)e3x1x10。74947、解：對應齊次方程的特色方程為26130，特色根為1,232i，齊次方程的通解為ye3t(C1cos2tC2sin2t)由于1不是特色根，故已知方程有形如x1(At2BtC)et（1）的特解。求出x1[At2(2AB)t(BC)t]e（2）x1[At2(4AB)t(2A2BC)]et（3）將（1）、（2）、（3）代入已知方程，比較系數(shù)得A1,B29C211,201001000即1t229t211t，所以，已知方程的通解為1e201001000xe3t(C1cos2tC2sin2t)et1t229t211。20100100048、解：對應齊次方程的特色方程為310，特色根為11,2,313i，22故通解為xC1etC2cos3tC3sin3te22

t由于1是一重特色根，所以已知非齊次方程有形如x1Atet的特解。將x1Atet代入已知方程，得A113即t，所以，所求通解為x1te3xC1etC2cos3tC3sin311tet。t22349、解：對應齊次方程的特色方程為22aa20，特色根為1,2a（二重）。頁腳內(nèi)容歡迎閱讀t)eat①若a1，此時齊次方程的通解為過s(C1C2由于1不是特色根，故已知方程有形如s1t的特解。Ae將s1Aet代入已知方程，得A12，即s112et(a1)(a1)所以，a1時已知方程的通解為s(C1C2t)eat(a12et。1)②若a1，此時齊次方程的通解為過s(C1C2t)et由于1是二重特色根，故已知非齊次方程有形如s22t的特解。Ate將s2At2tA1，即s12te代入已知方程，得te2221所以，a1時已知方程的通解為s(C1C2tt2)et2250、解：對應齊次方程的特色方程為440，C2t)e2t特色根為2（二重），故齊次方程的通解為x(C1由于2是二重特色根，1和0不是特色根，故已知非齊次方程有形如的特解。將x1ABetCt2e2t代入已知方程，得A1,B11t2e2t，所以，所求通解為4即x1et42x(C1C2t)e2t11t2et。et422

1,C

1251、解：對應齊次方程的特色方程為40，特色根為10,齊次方程的通解為yC1C2e4x由于0是一重特色根，故已知非齊次方程有形如y1Ax

4，的特解。將y1Ax代入已知方程，得A141x。所以，所求通解為yC1C2e4x452、解：對應齊次方程的特色方程為332310，特色根為1（三重），故通解為y(C1C2xC3x2)ex由于1是三重特色根，所以已知非齊次方程有形如y1x3(ABx)ex的特解。將y1x3(ABx)ex代入已知方程，得A5,B151624即y1x3(x)ex，所以，所求通解為6241x3(xy(CCxCx2)ex20)ex。12324253、解：對應齊次方程的特色方程為30，特色根為0,23，1所以對應齊次方程的通解為yC1C2e3x由于i不是特色根，所以已知方程有形如y1AcosxBsinx的特解。將y1AcosxBsinx代入已知方程，得A71,B711010所以，所求通解為yC1C2e3xcosxsinx。1010頁腳內(nèi)容歡迎閱讀54、解：對應齊次方程的特色方程為22k2k20，特色根為1,2kki，齊次方程的通解為xektC1cosktC2sinkt由于ki不是特色根，所以已知方程有形如x1AcosktBsinkt的特解。將x1AcosktBsinkt代入已知方程，得A2,B1所以，所求通解為xektC1cosktC2sinkt2cosktsinkt。55、解：對應齊次方程的特色方程為210，特色根為1,2i，齊次方程的通解為yC1cosxC2sinx由于sinxcoxs1sinx22由于2i不是特色根，故已知方程有形如y1Acos2xBsin2x的特解。將y1Acos2xBsin2x代入已知方程，得A0,B161sin2x。所以，所求通解為yC1cosxC2sinx2656、解：對應齊次方程的特色方程為220，特色根為1,21i，齊次方程的通解為yexC1cosxC2sinx由于1i不是特色根，故已知方程有形如y1ex(AcosxBsinx)的特解。將y1ex(AcosxBsinx)代入已知方程，得A1,B1188所以，所求通解為yexC1cosxC2sinxex(cosxsinx)。2813i57、解：對應齊次方程的特色方程為2100，特色根為1,2，齊次方程的通解為yexC1cos3xC2sin3x由于12i不是特色根，所以已知非齊次方程有形如的特解。將上式代入已知方程，得A3,B29C1,D1,1692633813所以，所求通解為yexC1cos3xC2sin3x329cos2x1x1sin2x。263881316958、解：對應齊次方程的特色方程為210，特色根為1,2i，所以對應齊次方程的通解為xC1costC2sintI）若a1，由于i是一重特色根，故已知方程有形如1的特解。將x1t(AcostBsint)代入已知方程，得A,B02所以，a1時所求通解為xC1costC2sint1tcost。II）若a1，此時已知方程有形如2x2CcosatDsinat的特解。將x2CcosatDsinat代入已知方程，得C0,D11a21所以，a1時所求通解為xC1costC2sint2sinat1a5，59、解：對應齊次方程的特色方程為2250，特色根為10,22頁腳內(nèi)容歡迎閱讀5x21cosx2齊次方程的通解為yC1C2e2，由于cosx2而0是一重特色根，2i不是特色根，故已知方程有形如的特解。將上式代入已知方程，得A1,B1,C510411645x所以，所求通解為yC1C2e2

115。xcos2xsin2x104116460、解：對應齊次方程的特色方程為240，特色根為1,22i，齊次方程的通解為yC1cos2xC2sin2x由于2i是一重特色根，故已知方程有形如的特解。將上式代入已知方程，得A1,B0,C0,D1816所以，所求通解為yC1cos2xC2sin2x1x2cos2x1xsin2x。281661、解：對應齊次方程的特色方程為20，特色根為12,20，齊次方程的通解為yC1e2xC2由于0是一重特色根，2i不是特色根，所以已知方程有形如的特解。將上式代入已知方程，得A3,B112,C22所以，所求通解為yCe2x162、解：對應齊次方程的特色方程為2齊次方程的通解為y(C1cosx

C23x1(cos2xsin2x)。22220，特色根為1,21i，C2sinx)ex由于1i是一重特色根，故已知方程有形如y1xxe(AcosxBsinx)的特解。將y1xex(AcosxBsinx)上式代入已知方程，得A0,B2所以，所求通解為C2sinx)ee2xexsinx。y(C1cosx63、解：對應齊次方程的特色方程為290，特色根為1,23i，齊次方程的通解為yC1cos3xC2sin3x由于3i是一重特色根，所以已知方程有形如的特解。將y1x(Acos3xBsin3x)上式代入已知方程，得A5,B3所以，所求通解為yC1cos3xC2sin3x5xcos3x3xsin3x。64、解：對應齊次方程的特色方程為210，特色根為1,2i，齊次方程的通解為xC1costC2sint由于i是一重特色根，而2i不是特色根，故已知方程有形如的特解。將上式代入已知方程，得A13B0,C10,D,23所以，所求通解為xC1costC2sint11sint。tcost32265、解：對應齊次方程的特色方程為220，特色根為1,21i，頁腳內(nèi)容歡迎閱讀齊次方程的通解為xet(C1costC2sint)由于1i一重特色根，故已知方程有形如的特解。將上式代入已知方程，得A0,B1,C0,D1,E0,F044所以，所求通解為xet(C1costC2sint)1tet(costtsint)。466、解：設yp(y)ypdp原方程化為pdp2p20dydy1y分解得p0和dp2p0由p0得解ycdy1y由dp2p0dp2dy得dppc(1y)2dycdxdy1yp1ydx(y1)2積分之得1c1xc2也許y11y1c2xc2故方程的全部解為y11和yc.c1xc267、解：令yp,yp原方程化為即dyc1x1xex(sinxcoxs)dx2積分獲取y1c1x21xexsinx2268、解：令yux則yuxu,y化簡得xuu解得c1u'x故通解為y(c1lnxc2)x.

1xe(cosxsinx)c2.2uxu代入原方程得：uc1lnxc269、解：（解法一）將原方程重新改寫為x[yy2yy0(y)]由于(yy)yyy2令uyy'方程化為xduudx分別變量可得uc1x即yyc1x也許ydy1cxdx兩邊積分y2c1x2c2.（解法二）由于方程兩端關(guān)于y,y,y是二次齊次函數(shù)，故可作變換代入方程后得xeueu[uu2]x[euu]2eueuu0消去e2u,xu2x(u)2u0不顯含u，令up(x)up(x)獲取伯努利方程dp1p2p2令vp1,vp2pdxx所以dupv1c1xdxx2兩邊積分ux2xdxlnx2c1lnc2c1所以通解為yeuelnc2x2c1c2x2c1也許改寫y2c3x2c4.70、解：原方程對應齊次方程特色方程為r23r20,r11,r22，所以對應齊次方程通解為yc1e2xc2ex頁腳內(nèi)容歡迎閱讀exAxex。自由項f1(x)1是單重特色根，y1自由項f2(x)sinxi不是特色根y2BsinxCcosx。故令y*y1*y2*AxexBsinxCcosx代入原方程兩端比較系數(shù)得A1,B13,C1010故方程的通解為yxex1sinx3cosxC1e2xC2ex.10r210(r2)271、解：相應齊次方程的特色方程為4r40,故r1r22，齊次方程的通解為y(c1xc2)e2x。非齊次方程的特解可令為y*c1(x)xe2xc2(x)e2x。故c1(x)xe2xc2(x)e2x02x2x12xc(x)(xe)'c2(x)(e)x2ec'(x)xc'2(x)0(1)即c'1(x)(12x)2c'2(x)1(2)x2(1)22得c'1(x)12,代入(1)得c2(x)1.xx所以c1(x)1dx1c1,c2(x)lnxc2.x2x故原方程的通解為y(1c1)xe2xxc3)e2x(c1x72、解：設y*2xu(x),*2xeye(2u(x)代入后獲取u(x)滿足uucscx

(lnxc2)e2xlnxe2x.(c3c21)。u(x)),*yx2e(4u(x)u(x))其特色方程r210，齊次方程的通解為c1sinxc2cosx。設特解為u*c1(x)sinxc2(x)cosx。c1(x),c2(x)滿足解得c1(x)cotxc2(x)1于是c1(x)lnsinxc1,c2x( )x2c所以原方程的通解為yMe2x[(c1lnsinx)sinx(c2x)cosx]。73、解：令xet,Dd，則xyDyx2yD(D1)y原方程化為dtd2yD(D1)y2Dy2ydy2y0。0。即2dtr2dt特色方程為r20,r12,r21通解為yc1e2tc2et或yc1c2x。x2d2y74、解：令xtDd，則原方程化為dy2y2t。e,dtdt2dte2，特色根為2,1自由項f(t)e2t2不是特色根，故特解y1*Ae2t自由項f(t)20不是特色根，故特解y2*B。設y*Ae2tBy*2Aet2y*4Aet2。頁腳內(nèi)容歡迎閱讀代入方程后4Ae2t2Be2t2A1B114通解為yc1e2tc2ete2t1c114也許yc2x21。x24x75、解：（解法一）由uycosx兩端對x求導，得可將原方程化為u"4uex特色方程