清華自動控制原理課件 第5章

第5章頻率特性法5.1頻率特性的基本概念5.2幅相頻率特性及其繪制5.3對數頻率特性及其繪制5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據5.5控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5.6利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能控制系統(tǒng)的時域分析法是研究系統(tǒng)在典型輸入信號作用的性能，對于一階、二階系統(tǒng)可以快速、直接地求出輸出的時域表達式、繪制出響應曲線，從而利用時域指標直接評價系統(tǒng)的性能。因此，時域法具有直觀、準確的優(yōu)點。然而，工程實際中有大量的高階系統(tǒng)，要通過時域法求解高階系統(tǒng)在外輸入信號作用下的輸出表達式是相當困難的，需要大量計算，只有在計算機的幫助下才能完成分析。此外，在需要改善系統(tǒng)性能時，采用時域法難于確定該如何調整系統(tǒng)的結構或參數。在工程實踐中,往往并不需要準確地計算系統(tǒng)響應的全部過程，而是希望避開繁復的計算，簡單、直觀地分析出系統(tǒng)結構、參數對系統(tǒng)性能的影響。因此，主要采用兩種簡便的工程分析方法來分析系統(tǒng)性能，這就是根軌跡法與頻率特性法，本章將詳細介紹控制系統(tǒng)的頻率特性法?？刂葡到y(tǒng)的頻率特性分析法是利用系統(tǒng)的頻率特性（元件或系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號的響應特性）來分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問題仍然是控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性及準確性等，是工程實踐中廣泛采用的分析方法，也是經典控制理論的核心內容。頻率特性分析法（FrequencyResponse），又稱為頻域分析法，是一種圖解的分析方法，它不必直接求解系統(tǒng)輸出的時域表達式，而可以間接地運用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性去分析閉環(huán)的響應性能，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，具有較多的優(yōu)點。如：

①根據系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性能揭示系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能,得到定性和定量的結論，可以簡單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數對系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響,并提出改進系統(tǒng)的方法。

頻率特性分析法的特點②時域指標和頻域指標之間有對應關系，而且頻率特性分析中大量使用簡潔的曲線、圖表及經驗公式，簡化控制系統(tǒng)的分析與設計。

③具有明確的物理意義，它可以通過實驗的方法，借助頻率特性分析儀等測試手段直接求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建立數學模型作為分析與設計系統(tǒng)的依據，這對難于用理論分析的方法去建立數學模型的系統(tǒng)尤其有利。④頻率分析法使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀，并且可以拓展應用到某些非線性系統(tǒng)中。近來，頻率法還發(fā)展到可以應用到多輸入量多輸出量系統(tǒng)，稱為多變量頻域控制理論。

本章重點介紹頻率特性的基本概念、幅相頻率特性與對數頻率特性的繪制方法、奈奎斯特穩(wěn)定判據、控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性、利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)閉環(huán)性能的方法。5.1頻率特性的基本概念5.1.1頻率響應頻率響應是時間響應的特例，是控制系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)正弦響應。即一個穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號的作用下，穩(wěn)態(tài)時輸出仍是一個與輸入同頻率的正弦信號，且穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與相位是輸入正弦信號頻率的函數。下面用用一個簡單的實例來說明頻率響應的概念：示例：如圖所示一階RC網絡，ui(t)與u0(t)分別為輸入與輸出信號，其傳遞函數為

RC圖5-1RC網絡ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

其中T=RC，為電路的時間常數，單位為s。

在零初始條件下，當輸入信號為一正弦信號，即

ui(t)=Uisint時Ui與分別為輸入信號的振幅與角頻率，可以運用時域法求電路的輸出。輸出的拉氏變換為：U0(s)=對上式進行拉氏反變換可得輸出的時域表達式：輸出由兩項組成：可見，輸出信號與輸入信號是同頻率的正弦函數，但幅值與相位不同，輸出滯后于輸入。第一項是瞬態(tài)響應分量，呈指數衰減形式，衰減速度由電路本身的時間常數T決定。第二項是穩(wěn)態(tài)響應分量，當t→∞時，瞬態(tài)分量衰減為0，此時電路的穩(wěn)態(tài)輸出為：

輸出與輸入相位差為

=-arctanTω輸入信號為ui(t)=Uisint二者均僅與輸入頻率，以及系統(tǒng)本身的結構與參數有關。穩(wěn)態(tài)輸出與輸入幅值比為實際上，頻率響應的概念具有普遍意義。對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)（或元件），當輸入信號為正弦信號r(t)=sint

時，過渡過程結束后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為

css(t)=Asin(ωt+)，如圖所示。線性定常系統(tǒng)sintAsin(ωt+)tr(t)css(t)圖5-2線性系統(tǒng)及頻率響應示意圖5.1.2頻率特性1、基本概念對系統(tǒng)的頻率響應作進一步的分析，由于輸入輸出的幅值比A與相位差只與系統(tǒng)的結構、參數及輸入正弦信號的頻率ω有關。在系統(tǒng)結構、參數給定的前提下，幅值比A與相位差僅是ω的函數，可以分別表示為A(ω)與(ω)。

若輸入信號的頻率ω在0→∞的范圍內連續(xù)變化，則系統(tǒng)輸出與輸入信號的幅值比與相位差將隨輸入頻率的變化而變化，反映出系統(tǒng)在不同頻率輸入信號下的不同性能，這種變化規(guī)律可以在頻域內全面描述系統(tǒng)的性能。因此，頻率特性可定義為：線性定常系統(tǒng)（或元件）在零初始條件下，當輸入信號的頻率ω在0→∞的范圍內連續(xù)變化時，系統(tǒng)輸出與輸入信號的幅值比與相位差隨輸入頻率變化而呈現(xiàn)的變化規(guī)律為系統(tǒng)的頻率特性。

頻率特性可以反映出系統(tǒng)對不同頻率的輸入信號的跟蹤能力，只和系統(tǒng)的結構與參數有關，是線性定常系統(tǒng)的固有特性。

A(ω)反映幅值比隨頻率而變化的規(guī)律，稱為幅頻特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應不同頻率的正弦輸入時在幅值上是放大（A＞1）還是衰減（A＜1）。

而(ω)反映相位差隨頻率而變化的規(guī)律，稱為相頻特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應不同頻率的正弦輸入時在相位上是超前（＞0o）還是滯后（＜0o）。

系統(tǒng)的頻率特性包含幅頻特性與相頻特性兩方面，并且強調頻率ω是一個變量。對于上例所舉的一階電路，其幅頻特性和相頻特性的表達式分別為：A(ω)=

(ω)=-arctanTωRC圖5-1RC網絡ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

對于上例所舉的一階電路，其幅頻特性和相頻特性的表達式分別為：A(ω)=

(ω)=-arctanTωRC圖5-1RC網絡ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

2、頻率特性的表示方法對于線性定常系統(tǒng)，當輸入一個正弦信號r(t)=Rsinωt時，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為

css(t)

=A(ω)Rsin(ωt+(ω))

由于輸入、輸出信號均為正弦信號，因此可以利用電路理論將其表示為復數形式，則輸出輸入之比為

可見，輸入輸出的復數比恰好表示了系統(tǒng)的頻率特性，其幅值與相角分別為幅頻特性、相頻特性的表達式。若用一個復數G(jω)來表示，則有

G(jω)=∣G(jω)∣·ej∠G(jω)=A(ω)·ej()指數表示法

G(jω)=A(ω)∠(ω)幅角表示法

G(jω)就是頻率特性通用的表示形式，是ω的函數。當ω是一個特定的值時，可以在復平面上用一個向量去表示G(jω)。向量的長度為A(ω)，向量與正實軸之間的夾角為(ω)，并規(guī)定逆時針方向為正，即相角超前；規(guī)定順時針方向為負，即相角滯后。另外還可以將向量分解為實數部分和虛數部分，即

G(jω)=R(ω)+jI(ω)R(ω)稱為實頻特性，I(ω)稱為虛頻特性。由復變函數理論可知：并且A(ω)與R(ω)為ω的偶函數，(ω)與I(ω)是ω的奇函數。以上函數都是ω的函數，可以用曲線表示它們隨頻率變化的規(guī)律。使用曲線表示系統(tǒng)的頻率特性，具有直觀、簡便的優(yōu)點，應用廣泛。3、頻率特性的實驗求取方法

向待求元件或系統(tǒng)輸入一個頻率可變的正弦信號r(t)=Rsinωt

在0→∞的范圍內不斷改變ω的取值，并測量與每一個ω值對應的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出css(t)=A(ω)Rsin(ωt+(ω))

測量并記錄相應的輸出、輸入幅值比與相角差。根據所得數據繪制出幅值比與相角差隨ω的變化曲線，并據此求出元件或系統(tǒng)的幅頻特性A(ω)與相頻特性(ω)的表達式，便可求出完整的頻率特性表達式。5.1.3由傳遞函數求取頻率特性（重要）實際上，由于微分方程、傳遞函數、頻率特性為描述系統(tǒng)各變量之間相互關系的數學表達式，都是控制系統(tǒng)的數學模型。和微分方程與傳遞函數之間可以相互轉換類似，系統(tǒng)的頻率特性也可以由已知的傳遞函數通過簡單的轉換得到，這種求取方法稱為解析法。

系統(tǒng)的輸出分為兩部分，第一部分為瞬態(tài)分量，對應特征根；第二部分為穩(wěn)態(tài)分量，它取決于輸入信號的形式。對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)所有的特征根的實部均為負，瞬態(tài)分量必將隨時間趨于無窮大而衰減到零。因此，系統(tǒng)響應正弦信號的穩(wěn)態(tài)分量必為同頻率的正弦信號。

輸出信號的拉氏變換為對輸出求拉氏反變換可得為簡化分析，假定系統(tǒng)的特征根全為不相等的負實根。設n階系統(tǒng)的傳遞函數為輸入信號為r(t)=Rsinωtcss(t)=Kce-jωt+K-cejωt

系數Kc和K-c可由留數定理確定，可以求出css(t)=A(ω)

·R·sin[ωt+

(ω)]

A(ω)=|G(s)|s=jω

=|G(jω)|

(ω)

=∠G(j

ω)而輸入信號為r(t)=Rsinωt因此，A(ω)為系統(tǒng)的輸出與輸入幅值比，為系統(tǒng)的幅頻特性表達式。

(ω)為系統(tǒng)的輸出與輸入相位差，為系統(tǒng)的相頻特性表達式。系統(tǒng)的頻率特性為

G(jω)=G(s)|s=jω=

A(ω)·ej

由以上可推得一個十分重要的結論：系統(tǒng)的頻率特性可由系統(tǒng)的傳遞函數G(s)將jω代替其中的s而得到。由拉氏變換可知，傳遞函數的復變量s=σ+jω。當σ=0時，s=jω。所以G(jω)就是σ=0時的G(s)

。即當傳遞函數的復變量s用jω代替時，傳遞函數轉變?yōu)轭l率特性，這就是求取頻率特性的解析法。重要

因此，在求已知傳遞函數系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應時，可以避開時域法需要求拉氏變換及反變換的繁瑣計算，直接利用頻率特性的物理意義簡化求解過程。線性定常系統(tǒng)，傳遞函數為G(s)G(jω)=

G(s)|s=jω=A(ω)·ejRsinωtA(ω)·R·sin[ωt+(ω)]A(ω)是幅頻特性，是相頻特性對于上例所舉的一階電路，其幅頻特性和相頻特性的表達式分別為：A(ω)=

(ω)=-arctanTωRCRC網絡ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

例5.1：已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為

當輸入信號為r(t)=sin2t時，求閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數與頻率特性分別為

頻率特性的物理意義1.在某一特定頻率下，系統(tǒng)輸入輸出的幅值比與相位差是確定的數值，不是頻率特性。當輸入信號的頻率ω在0→∞的范圍內連續(xù)變化時，則系統(tǒng)輸出與輸入信號的幅值比與相位差隨輸入頻率的變化規(guī)律將反映系統(tǒng)的性能，才是頻率特性。2.頻率特性反映系統(tǒng)本身性能，取決于系統(tǒng)結構、參數，與外界因素無關。3.頻率特性隨輸入頻率變化的原因是系統(tǒng)往往含有電容、電感、彈簧等儲能元件，導致輸出不能立即跟蹤輸入，而與輸入信號的頻率有關。4.頻率特性表征系統(tǒng)對不同頻率正弦信號的跟蹤能力，一般有“低通濾波”與“相位滯后”作用。頻率特性的數學意義頻率特性是描述系統(tǒng)固有特性的數學模型，與微分方程、傳遞函數之間可以相互轉換。

微分方程（以t為變量）傳遞函數（以s為變量）頻率特性（以ω為變量）

控制系統(tǒng)數學模型之間的轉換關系以上三種數學模型以不同的數學形式表達系統(tǒng)的運動本質，并從不同的角度揭示出系統(tǒng)的內在規(guī)律，是經典控制理論中最常用的數學模型。5.1.4常用頻率特性曲線頻率特性是穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量的幅值比和相位差隨頻率變化的規(guī)律。在實際應用中，為直觀地看出幅值比與相位差隨頻率變化的情況，是將幅頻特性與相頻特性在相應的坐標系中繪成曲線，并從這些曲線的某些特點來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和其它品質以便對系統(tǒng)進行分析與綜合。系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的頻率響應曲線的表示方法很多,其本質都是一樣的,只是表示的形式不同而已。頻率特性曲線通常采用以下三種表示形式：1.幅相頻率特性曲線（奈氏曲線），圖形常用名為奈奎斯特圖或奈氏圖，坐標系為極坐標。奈氏圖反映A(ω)與

(ω)隨ω變化的規(guī)律。2.對數頻率特性曲線，包括：對數幅頻特性曲線和對數相頻特性曲線。圖形常用名為對數坐標圖或伯德圖，坐標系為半對數坐標。伯德圖反映L(ω)=20lgA(ω)與

(ω)隨lgω變化的規(guī)律。3.對數幅相頻率特性曲線，圖形常用名尼柯爾斯圖或對數幅相圖，坐標系為對數幅相坐標。尼柯爾斯圖反映L(ω)=20lgA(ω)隨

(ω)的變化規(guī)律，主要用于求取閉環(huán)頻率特性。5.2幅相頻率特性及其繪制

5.2.1幅相頻率特性曲線（奈氏圖）基本概念繪制奈氏圖的坐標系是極坐標與直角坐標系的重合，取極點為直角坐標的原點，極坐標軸為直角坐標的實軸。由于系統(tǒng)的頻率特性表達式為G(jω)=A(ω)·ej

對于某一特定頻率ωi下的G(jωi)總可以用復平面上的一個向量與之對應，該向量的長度為A(ωi)，與正實軸的夾角為(ωi)。由于A()和()是頻率的函數，當ω在0→∞的范圍內連續(xù)變化時，向量的幅值與相角均隨之連續(xù)變化，不同ω下的向量的端點在復平面上掃過的軌跡即為該系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線（奈氏曲線），如圖所示。G(j2)Re

(1)

(2)A(1)A(2)G(j1)極坐標圖的表示方法

Im

在繪制奈氏圖時，常把ω作為參變量，標在曲線旁邊，并用箭頭表示頻率增大時曲線的變化軌跡，以便更清楚地看出該系統(tǒng)頻率特性的變化規(guī)律。前面已經指出，系統(tǒng)的幅頻特性與實頻特性是ω的偶函數，而相頻特性與虛頻特性是ω的奇函數，即G(jω)與G(－jω)互為共軛。因此，假定ω可為負數，當ω在－∞→0的范圍內連續(xù)變化時，相應的奈氏圖曲線G(jω)必然與G(－jω)對稱于實軸。ω取負數雖然沒有實際的物理意義，但是具有鮮明的數學意義，主要用于控制系統(tǒng)的奈氏穩(wěn)定判別中。當系統(tǒng)或元件的傳遞函數已知時，可以采用解析的方法先求取系統(tǒng)的頻率特性，再求出系統(tǒng)幅頻特性、相頻特性或者實頻特性、虛頻特性的表達式，通過逐點計算描出奈氏曲線。具體步驟如下：1.用jω代替s，求出頻率特性G(jω)2.求出幅頻特性A(ω)與相頻特性(ω)的表達式，也可求出實頻特性與虛頻特性，幫助判斷G(jω)所在的象限。3.在0→∞的范圍內選取不同的ω，根據A(ω)與(ω)表達式計算出對應值，在坐標圖上描出對應的向量G(jω)，將所有G(jω)的端點連接描繪出光滑的曲線即可得到所求的奈氏曲線。也可以用實驗的方法求取。5.2.2典型環(huán)節(jié)的奈氏圖

1、比例環(huán)節(jié)用j替換s，可求得比例環(huán)節(jié)的頻率特性表達式為

G(j)=KImRe0K→0→比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性傳遞函數為：G(s)=K幅頻特性A(ω)=

|K|=K相頻特性(ω)=0o比例環(huán)節(jié)的幅頻特性、相頻特性均與頻率無關。所以當由0變到，G(j)始終為實軸上一點，說明比例環(huán)節(jié)可以完全、真實地復現(xiàn)任何頻率的輸入信號，幅值上有放大或衰減作用；()=0o，表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。ImRe0K→0→2、積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數為積分環(huán)節(jié)的頻率特性為幅頻特性為A()=|1/|=1/

，與角頻率ω成反比相頻特性為()=-90o→0→0Re積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性Im積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性如圖所示，在0＜＜的范圍內，幅頻特性與負虛軸重合。積分環(huán)節(jié)的奈氏圖表明積分環(huán)節(jié)是低通濾波器，放大低頻信號、抑制高頻信號，輸入頻率越低，對信號的放大作用越強；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90o。→0→0ReIm3、微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的傳遞函數為

G(s)=s頻率特性為

G(j)=j幅頻特性為A()=||=，與成正比。相頻特性為：

()=90o。理想微分環(huán)節(jié)的奈氏圖如圖所示，在0＜＜的范圍內，其奈氏圖與正虛軸重合?？梢?，理想微分環(huán)節(jié)是高通濾波器，輸入頻率越高，對信號的放大作用越強；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90o，說明輸出對輸入有提前性、預見性作用。4、慣性環(huán)節(jié)根據實頻特性與虛頻特性表達式，可以判斷出實頻特性恒≥0，而虛頻特性恒≤0，由此可見慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖必在坐標系的第四象限。傳遞函數頻率特性幅頻特性相頻特性當從0變到時，可以根據幅頻特性與相頻特性表達式描點繪制奈氏圖，例如可以繪出三個點由慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖可知，慣性環(huán)節(jié)為低通濾波器，且輸出滯后于輸入，相位滯后范圍為0o→－90o。

是一個位于第四象限的半圓，圓心為(1/2，0)，直徑為1。若慣性環(huán)節(jié)的比例系數變?yōu)镵，則幅頻特性成比例擴大K倍，而相頻特性保持不變，即奈氏圖仍為一個半圓，但圓心為(K/2，0)，直徑為K。5、一階微分環(huán)節(jié)

可見一階微分環(huán)節(jié)的實頻特性恒為1，而虛頻特性與輸入頻率成正比。當從0變到時,可以根據幅頻特性與相頻特性表達式描點繪制奈氏圖，可以繪出三個點，見表G(s)=(s+1)()=arctan()由一階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖可知，一階微分環(huán)節(jié)具有放大高頻信號的作用，輸入頻率越大，放大倍數越大；且輸出超前于輸入，相位超前范圍為0o→90o，輸出對輸入有提前性、預見性作用。根據這些數據繪出幅相頻率特性，是平行于正虛軸向上無窮延伸的直線。一階微分環(huán)節(jié)的典型實例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二階系統(tǒng)的動態(tài)性能，但存在放大高頻干擾信號的問題。6、二階振蕩環(huán)節(jié)可以判斷出虛頻特性恒≤0，故曲線必位于第三與第四象限。

以為參變量，計算不同頻率時的幅值和相角，其中幾個重要的特征點見表。

在極坐標上畫出由0變到時的矢量端點的軌跡，便可得到振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性如圖所示。1＞2振蕩環(huán)節(jié)與負虛軸的交點頻率：=1/T幅值：1/(2)由奈氏圖可知，振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0o→－180o；同時的取值對曲線形狀的影響較大，可分為以下兩種情況

1.

＞0.707

幅頻特性A()隨的增大而單調減小，如圖5-12中1所對應曲線，此刻環(huán)節(jié)有低通濾波作用。當＞1時，振蕩環(huán)節(jié)有兩個相異負實數極點，若足夠大，一個極點靠近原點，另一個極點遠離虛軸（對瞬態(tài)響應影響很?。?，奈氏曲線與負虛軸的交點的虛部為1/(2)≈0，奈氏圖近似于半圓，即振蕩環(huán)節(jié)近似于慣性環(huán)節(jié)，如圖所示。2.0≤

≤0.707當增大時，幅頻特性A()并不是單調減小，而是先增大，達到一個最大值后再減小直至衰減為0，這種現(xiàn)象稱為諧振。奈氏圖上距離原點最遠處所對應的頻率為諧振頻率r，所對應的向量長度為諧振峰值Mr=A(r)=A(r)/A(0)

。諧振表明系統(tǒng)對頻率r下的正弦信號的放大作用最強。諧振峰值為隨↓，諧振峰值Mr↑，諧振頻率r→無阻尼自然振蕩頻率n。諧振峰值Mr越大，表明系統(tǒng)的阻尼比越小，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差，單位階躍響應的最大超調量σ%也越大。當=0時，r≈n，Mr≈，即振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。

由幅頻特性A()對頻率求導數，并令其等于零，可求得諧振角頻率r和諧振峰值Mr，諧振角頻率7、二階微分環(huán)節(jié)可以判斷出虛頻特性恒≥0，故曲線必位于第一與第二象限。

以為參變量，計算不同頻率時的幅值和相角，其中幾個重要的特征點見表。

在極坐標上畫出由0變到時的矢量端點的軌跡，便可得到振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性如圖所示。8、延遲環(huán)節(jié)幅頻特性為：A()=1相頻特性為：()=-單位為弧度（rad）?；蛘?)=G(s)=e-sG(j)=e-j

→時，()→-，即輸出相位滯后輸入為無窮大。當從0連續(xù)變化至時，奈氏曲線沿原點作半徑為1的無窮次旋轉，τ越大，轉動速度越大。故延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖是一個以原點為圓心，半徑為1的圓。即延遲環(huán)節(jié)可以不失真地復現(xiàn)任何頻率的輸入信號，但輸出滯后于輸入，而且輸入信號頻率越高，延遲環(huán)節(jié)的輸出滯后就越大。幅頻特性為：A()=1相頻特性為：()=-57.3°在低頻區(qū)，頻率特性表達式根據泰勒公式展開為當很小時，有

即在低頻區(qū)，延遲環(huán)節(jié)的頻率特性近似于慣性環(huán)節(jié)。從奈氏圖也可見，二者的曲線在低頻區(qū)基本重合。延遲環(huán)節(jié)與其他典型環(huán)節(jié)相結合不影響幅頻特性，但會使相頻特性的最大滯后為無窮大。如某系統(tǒng)傳遞函數是慣性環(huán)節(jié)與延遲環(huán)節(jié)相結合，傳遞函數為單位為度（°）可見隨的增大，幅頻特性A()單調減小，而相位滯后單調增加，相頻特性()從0°一直變化到負無窮大。故該系統(tǒng)的奈氏圖是螺旋狀曲線，繞原點順時針旋轉次，最后終止于原點，與實軸、虛軸分別有無數個交點。5.2.3開環(huán)奈氏圖的繪制1.定義系統(tǒng)的頻率特性有兩種，由反饋點是否斷開分為閉環(huán)頻率特性Ф(jω)與開環(huán)頻率特性GK(jω)，分別對應于系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數Ф(s)與開環(huán)傳遞函數GK(s)。由于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數較易獲取，并與系統(tǒng)的元件一一對應，在控制系統(tǒng)的頻率分析法中，分析與設計系統(tǒng)一般是基于系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。對于由多個典型環(huán)節(jié)組合而成的系統(tǒng)（延遲環(huán)節(jié)除外），其頻率特性應該滿足下面的規(guī)律（重要）

系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為控制系統(tǒng)是由典型環(huán)節(jié)組成的，則系統(tǒng)頻率特性的繪制與典型環(huán)節(jié)的頻率特性的繪制方法是基本相同的。可根據復變函數的性質求出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的幅頻特性A()與相頻特性()的表達式，或由分母有理化求出實頻特性與虛頻特性，再由奈氏圖的基本繪制方法求出系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖。

2.開環(huán)奈氏圖基本繪制規(guī)律當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為多個典型環(huán)節(jié)組合時，其開環(huán)奈氏圖的繪制與根軌跡的繪制類似，具有一定的規(guī)律?？梢韵雀鶕_環(huán)傳遞函數的某些特征繪制出近似曲線，再利用A()與()等的表達式描點，在曲線的重要部分修正。（1）低頻段的確定（→0）

GK(jω)的低頻段表達式

根據向量相乘是幅值相乘、相位相加的原則，求出低頻段幅頻特性與相頻特性表達式分別為可見低頻段的形狀（幅值與相位）均與系統(tǒng)的型別v與開環(huán)傳遞系數K有關。1.0型系統(tǒng)，v=0：A(0)=K，

(0)=0o低頻特性為實軸上的一點(K,0)。2.Ⅰ型系統(tǒng)，v=1：A(0)→∞，

(0)=-90o3.Ⅱ型系統(tǒng)，v=2：A(0)→∞，

(0)=

-180o

（2）高頻段（→∞）不失一般性，假定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數全為不相等的負實數極點與零點。m為分子多項式的階數，

n為分母多項式的階數，且一般m＜n

故A()=0，高頻段終止于坐標原點；而最終相位為()=-(n-m)90，由n-m確定特性以什么角度進入坐標原點。①(n-m)=1，()=-90，即幅相特性沿負虛軸進入坐標原點。②(n-m)=2，則()=-180，即幅相特性沿負實軸進入坐標原點。③(n-m)=3，則()=-270，即幅相特性沿正虛軸進入坐標原點。（3）奈氏圖與實軸、虛軸的交點將頻率特性表達式按照分母有理化的方法分解為實部與虛部。1）曲線與實軸的交點處的頻率由虛部為0求出

Im[G(j)]=I()=0求出交點處的，再代回頻率特性表達式求出交點的坐標。2）曲線與虛軸的交點處的頻率由實部為0求出

Re[G(j)]=R()=0求出交點處的，再代回頻率特性表達式求出交點的坐標。（4）開環(huán)零點對曲線的影響1）如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數沒有開環(huán)零點，則在由0→過程中，特性的相位單調連續(xù)減小（滯后連續(xù)增加），特性曲線平滑地變化。奈氏曲線應該是從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時針方向連續(xù)變化最后終于原點。2）如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數有開環(huán)零點，則在由0→過程中，特性的相位不再是連續(xù)減小。視開環(huán)零點的時間常數的數值大小不同，特性曲線的相位可能在某一頻段范圍內呈增加趨勢，此時，特性曲線出現(xiàn)凹部。

根據以上繪制規(guī)律，可以方便地繪制系統(tǒng)的開環(huán)概略奈氏圖。

在０＜＜的區(qū)段，奈氏曲線的形狀與所有典型環(huán)節(jié)及其參數有關，但通過奈氏曲線并不能非常直觀地顯示出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數的結構與參數。3.繪制實例

[例5.2]某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數如下，繪制其開環(huán)奈氏圖當→0時，A(0)=K

，(0)

=0，低頻特性為正實軸上的一點(K,0)。在→時，A()=0，()=-(n-m)90=-390=-270由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數得頻率特性0型系統(tǒng)

此系統(tǒng)無開環(huán)零點，因此在從0→過程中，特性的相位單調連續(xù)減小，從0o連續(xù)變化到-270，中間有-180角，故曲線與負實軸有交點。奈氏曲線應該是平滑的曲線，從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時針方向連續(xù)變化最后終于原點。

[例5.3]某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數如下，繪制其開環(huán)奈氏圖

（1）此系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)當→0時，A(0)→

，(0)

=-90，低頻特性始于平行于負虛軸的無窮遠處。將頻率特性表達式分母有理化為則低頻漸近線為頻率特性實部≤0，故曲線只在第二、三象限。（2）→時，A()=0，()=-(n-m)90=-390=-270，即幅相特性沿正虛軸進入坐標原點。（3）此系統(tǒng)無開環(huán)零點，因此在從0→過程中，特性的相位單調連續(xù)減小，從0o連續(xù)變化到-270。奈氏曲線是平滑的曲線，從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時針方向連續(xù)變化最后終于原點。（4）()有-180相位角，故曲線與負實軸有交點，交點坐標可以由下式確定。曲線與負實軸交點的坐標為Im[G(j)]=I()=

=0

[例5.4]某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數如下，繪制其開環(huán)奈氏圖此系統(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng)當→0時，A(0)→

，(0)

=-180在→時，A()=0，()=-(n-m)90=-390=-270由于沒有開環(huán)零點，所以奈氏曲線從低頻段到高頻段為連續(xù)變化的光滑曲線，幅值連續(xù)減小，最后沿正虛軸終止于原點。當→0時，A(0)→

，(0)

=-180在→時，A()=0，()=-270若該系統(tǒng)增加一個開環(huán)零點，開環(huán)頻率特性表達式為此系統(tǒng)仍為Ⅱ型系統(tǒng)，當→0時，A(0)→，(0)=-180，即奈氏圖的起點基本未變。在→時，A()=0，()=-(n-m)90=-290=-180，奈氏圖沿負實軸終止于原點。由于增加了開環(huán)零點，所以奈氏曲線從低頻段到高頻段連續(xù)變化時，相位先滯后增加，達到一個滯后最大值后，相位滯后又開始減?。聪辔辉黾樱麠l曲線出現(xiàn)了凹凸。當→0時，A(0)→，(0)=-180，即奈氏圖的起點基本未變。在→時，A()=0，()=-180，奈氏圖沿負實軸終止于原點。下圖列出了常見系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數與開環(huán)概略奈氏圖。

5.3對數頻率特性及其繪制5.3.1對數頻率特性曲線基本概念（重點）

對數頻率特性圖（Bode圖）將幅頻和相頻特性分別畫出，并按對數分度運算，使系統(tǒng)的分析和設計變得十分簡便。

1.伯德（Bode）圖的構成

對數幅頻特性圖的橫坐標是對

取以10為底的對數進行分度的。

標注角頻率的真值，以方便讀數。每變化十倍，橫坐標1gω就增加一個單位長度，記為decade或簡寫dec，稱之為“十倍頻”或“十倍頻程”。橫坐標對于ω是不均勻的，但對lgω卻是均勻的線性分度。由于0頻無法表示，橫坐標的最低頻率是由所需的頻率范圍來確定的。

若橫軸上有兩點ω1與ω2，則該兩點的距離不是ω2-ω1，而是lgω2-lgω1，如2與20、10與100之間的距離均為一個單位長度，即一個十倍頻程。0.1110100/(rad·s-1)確定Bode圖坐標系23對數頻率特性曲線坐標系如圖所示，在繪制函數關系時，相當于lgω為自變量。縱坐標是對幅值分貝(dB)數進行分度，用L()=20lgA(ω)表示。對數相頻特性圖的橫坐標分度方法同對數幅頻特性，而縱坐標則對相角進行線性分度，單位為度（o）,仍用

()表示。2．Bode圖法的特點（1）橫坐標按頻率取對數分度，低頻部分展寬，而高頻部分縮小。與對實際控制系統(tǒng)（一般為低頻系統(tǒng)）的頻率分辨要求吻合。（2）幅頻特性取分貝數［20LgA(ω)］后，使各因子間的乘除運算變?yōu)榧訙p運算，在Bode圖上則變?yōu)楦饕蜃臃l特性曲線的疊加，大大簡化了作圖過程，使系統(tǒng)設計和分析變得容易。G(j)=G1(j)G2(j)…Gn(j)=

A()ej()

式中A()=A1()A2()…An()；()=1()+2()+…+n()

在極坐標中繪制幅相頻率特性，要花較多時間，而在繪制對數幅頻特性時，有L()=20lgA()=20lgA1()+20lgA2()+…+20lgAn()

=L1()+L2()+…+Ln()

（3）可采用由直線段構成的漸近特性（或稍加修正）代替精確Bode圖，使繪圖十分簡便。（4）在控制系統(tǒng)的設計和調試中，開環(huán)放大系數K是最常變化的參數。而K的變化不影響對數幅頻特性的形狀，只會使幅頻特性曲線作上下平移。5.3.2典型環(huán)節(jié)的對數坐標圖

1.比例環(huán)節(jié)（K）

說明比例環(huán)節(jié)可以完全、真實地復現(xiàn)任何頻率的輸入信號，幅值上有放大或衰減作用；

()=0o，表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。2.積分環(huán)節(jié)(1/s)

402000.010.111020100.010.11頻率每增加10倍，幅頻特性下降20dB，故積分環(huán)節(jié)的對數幅頻特性是一條斜率為-20dB/dec的斜線,并且在=1這一點穿過0dB線。

表明積分環(huán)節(jié)是低通濾波器，放大低頻信號、抑制高頻信號，輸入頻率越低，對信號的放大作用越強；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90o。3.微分環(huán)節(jié)（s）

1微分環(huán)節(jié)的對數幅頻特性是一條斜率+20dB/dec的斜線,并且在=1這一點穿過0dB線。

積分環(huán)節(jié)與理想微分環(huán)節(jié)的對數幅頻特性相比較，只相差正負號，二者以軸為基準，互為鏡像；同理，二者的相頻特性互以軸為鏡像。

可見，理想微分環(huán)節(jié)是高通濾波器，輸入頻率越高，對信號的放大作用越強；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90o，說明輸出對輸入有提前性、預見性作用。1402000.010.111020100.010.114.慣性環(huán)節(jié)（1）對數幅頻特性

為簡化對數頻率特性曲線的繪制，常常使用漸近對數幅頻特性曲線（特別是在初步設計階段）。1）低頻段在T<<1（或<<1/T）的區(qū)段，可以近似地認為T0，從而有

故在頻率很低時，對數幅頻特性可以近似用零分貝線表示，這稱為低頻漸近線。2）高頻段

在T>>1（或>>1/T）的區(qū)段，可以近似地認為

L()為因變量，lg為自變量，因此對數頻率特性曲線是一條斜線,斜率為-20dB/dec,稱為高頻漸近線，與低頻漸近線的交點為T

=1/T，T稱為轉折頻率，是繪制慣性環(huán)節(jié)的對數頻率特性時的一個重要參數。高頻漸近線斜率為-20dB/dec,與低頻漸近線的交點轉折頻率為T

=1/T。漸近特性和準確特性相比，存在誤差：越靠近轉折頻率，誤差越大，如在轉折頻率這一點，誤差最大，精確值為如需由漸近對數幅頻特性曲線獲取精確曲線，只須分別在低于或高于轉折頻率的一個十倍頻程范圍內對漸近對數幅頻特性曲線進行修正就足夠了。（2）對數相頻特性

精確相頻特性為:對數相頻特性曲線將對應于ω=1/T及()=-45°這一點斜對稱?？梢郧宄乜闯鲈谡麄€頻率范圍內，()呈滯后持續(xù)增加的趨勢，極限為-90。

當慣性環(huán)節(jié)的時間常數T改變時，其轉折頻率1/T將在Bode圖的橫軸上向左或向右移動。與此同時，對數幅頻特性及對數相頻特性曲線也將隨之向左或向右移動，但它們的形狀保持不變。

1）

低頻段

在

<<1(或<<1/)的區(qū)段，對數幅頻特性可以近似用零分貝線表示，為低頻漸近線。5.一階微分環(huán)節(jié)

2）高頻段在>>1（或>>1/

）的區(qū)段，可以近似地認為高頻漸近線是一條斜線，斜率為20dB/dec，當頻率變化10倍頻時，L()變化20dB。轉折頻率為T=1/τ。

可知，一階微分環(huán)節(jié)的對數幅頻特性和相頻特性與慣性環(huán)節(jié)的相應特性互以橫軸為鏡像。精確曲線的修正方法也與慣性環(huán)節(jié)相同。但需要注意到修正值的符號相反。如轉折頻率處T對應的精確值是L(T)=0+3=3dB。一階微分環(huán)節(jié)具有放大高頻信號的作用，輸入頻率越大，放大倍數越大；且輸出超前于輸入，相位超前范圍為0o→90o，輸出對輸入有提前性、預見性作用。

一階微分環(huán)節(jié)的典型實例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二階系統(tǒng)的動態(tài)性能，但存在放大高頻干擾信號的問題。

6．二階振蕩環(huán)節(jié)（1）對數幅頻特性

1）低頻段0≤≤1

T<<1（或<<1/T）時，L()20lg1=0dB

低頻漸近線與0dB線重合。2）高頻段

T>>1(或>>1/T)時，并考慮到（0≤≤1），有

L()-20lg(T)2=-40lg(T)=-40lgT-40lgdB

高頻段是一條斜率為-40dB/dec的斜線，稱為高頻漸近線。L()-20lg(T)2=-40lg(T)=-40lgT-40lg=0dBT=1/T為低頻漸近線與高頻漸近線交點處的橫坐標，稱為轉折頻率，也就是環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率n?？梢?.4或＞0.7時，漸近線需要加尖峰修正。隨的減小，諧振峰值Mr增大，諧振頻率r也越接近振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率n。

0.10.150.20.250.30.40.50.60.70.81.0誤差（dB）14.010.48.06.04.42.00-1.6-3.0-4.0-6.0諧振峰值Mr越大，表明系統(tǒng)的阻尼比越小，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差，單位階躍響應的最大超調量σ%也越大。當=0時，r≈n，Mr≈，即振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。

（2）相頻特性

可知，當ω=0時，()=0；ω=1/T時，()=-90°；ω→∞時，()→-180°。與慣性環(huán)節(jié)相似，振蕩環(huán)節(jié)的對數相頻特性曲線將對應于ω=1/T及()=-90°這一點斜對稱。

振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0o→-180o；同時的取值對曲線形狀的影響較大。7．二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)的對數幅頻特性和相頻特性與二階振蕩環(huán)節(jié)的相應特性互以橫軸為鏡像。低頻漸近線與0dB線重合，高頻段漸近線斜率為+40dB/dec的斜線，轉折頻率為T=1/8．延遲（滯后）環(huán)節(jié)（e-s）

()是呈指數規(guī)律下降的曲線，隨ω增加而滯后無限增加。系統(tǒng)的頻率特性有兩種，由反饋點是否斷開分為閉環(huán)頻率特性Ф(jω)與開環(huán)頻率特性GK(jω)，分別對應于系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數Ф(s)與開環(huán)傳遞函數GK(s)。由于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數較易獲取，并與系統(tǒng)的元件一一對應，在控制系統(tǒng)的頻率分析法中，分析與設計系統(tǒng)一般是基于系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性?？刂葡到y(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成5.3.3開環(huán)伯德圖的繪制1.基本規(guī)律（1）由于系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性的漸近線是由各典型環(huán)節(jié)的對數幅頻特性疊加而成，而直線疊加就是斜率相加，所以L()的漸近線必為由不同斜率的線段組成的折線。順序斜率疊加法在繪制系統(tǒng)Bode圖時，應先將系統(tǒng)傳遞函數分解為典型環(huán)節(jié)乘積的形式，再逐步繪制。不必將各個典型環(huán)節(jié)的L()繪出,而使用從低頻到高頻逐次變換斜率的方法繪出L()曲線,()曲線描點或疊加求取。（2）低頻漸近線（及其延長線）的確定GK(jω)的低頻段表達式為()=-v90°對數頻率特性的低頻漸近線表達式為可見低頻段的對數幅頻特性與相頻特性均與積分環(huán)節(jié)的個數v有關。斜率為-20vdB/dec

低頻漸近線（及其延長線）上在=1時，有L(1)=20lgK（3）轉折頻率及轉折后斜率變化量的確定低頻段只與積分環(huán)節(jié)的個數v及開環(huán)傳遞系K有關，而其他典型環(huán)節(jié)的影響是在各自的轉折頻率處使L()的斜率發(fā)生相應的變化。慣性環(huán)節(jié)轉折頻率1/T，斜率－20dB/dec；振蕩環(huán)節(jié)轉折頻率1/T斜率－40dB/dec一階微分環(huán)節(jié)轉折頻率1/斜率＋20dB/dec；二階微分環(huán)節(jié)轉折頻率1/斜率+40dB/dec慣性環(huán)節(jié)轉折頻率1/T斜率－20dB/dec；振蕩環(huán)節(jié)轉折頻率1/T斜率－40dB/dec一階微分環(huán)節(jié)轉折頻率1/斜率＋20dB/dec；二階微分環(huán)節(jié)轉折頻率1/斜率+40dB/dec（4）最終斜率與最終相位滯后與n-m的關系當→時，由于n＞m，所以高頻段的近似表達式為()=-（n-m）·90°對數頻率特性的高頻漸近線表達式為高頻段為一條斜率為-20(n-m)dB/dec的斜線。說明高頻段的對數幅頻特性與相頻特性均與（n-m）有關。()=-(n-m)·90°

2．繪制步驟

利用規(guī)律，可以從低頻到高頻，將L()整條曲線一次畫出，步驟如下：

1．開環(huán)傳遞函數寫成標準的時間常數表達式，確定各典型環(huán)節(jié)的轉折頻率。

2．選定Bode圖坐標系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統(tǒng)最低轉折頻率的1/10左右，而最高頻率為最高轉折頻率的10倍左右。確定坐標比例尺，由小到大標注各轉折頻率。

3．確定低頻漸近線（由積分環(huán)節(jié)個數v與開環(huán)傳遞系數K決定），找到橫坐標為ω=1、縱坐標為20lgK的點，過該點作斜率為-20vdB/dec的斜線。

4.由低頻向高頻延伸，每到一個轉折頻率，斜率根據具體環(huán)節(jié)作相應的改變，最終斜率為-20（n-m）dB/dec。

5．如有必要，可對分段直線進行修正，以得到精確的對數幅頻特性，其方法與典型環(huán)節(jié)的修正方法相同。通常只需修正各轉折頻率處以及轉折頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了。系統(tǒng)開環(huán)對數幅頻特性L()通過0分貝線，即

L(c)=0或A(c)=1時的頻率c稱為幅值穿越頻率。幅值穿越頻率c

是分析與設計時的重要參數。

6．在對數相頻特性圖上，分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對數相頻特性曲線（可用模型板畫），將各典型環(huán)節(jié)的對數相頻特性曲線沿縱軸方向迭加，便可得到系統(tǒng)的對數相頻特性曲線。也可求出()的表達式，逐點描繪。低頻時有()=-v(90)，最終相位為()=-(n-m)90。

7.若系統(tǒng)串聯(lián)有延遲環(huán)節(jié)，不影響系統(tǒng)的開環(huán)對數幅頻特性，只影響系統(tǒng)的對數相頻特性，則可以求出相頻特性的表達式，直接描點繪制對數相頻特性曲線。[例5.5]設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為

試繪制開環(huán)系統(tǒng)對數頻率特性曲線。解

(1)先將開環(huán)傳遞函數化成時間常數標準式：0.1110100204060[-20][-40][-60]確定Bode圖坐標系281250[-20][-40][-20]（2）將各環(huán)節(jié)的轉角頻率由低到高依次標于ω軸上，如下圖所示。（3）繪制低頻漸近線。由于是I型系統(tǒng)，ω=1處的幅值為20lg10=20(dB)。以此點為基準繪制系統(tǒng)低頻部分漸近線，是一條斜率為-20dB/dec

的直線。（4）由低頻到高頻順序繪出對數幅頻特性漸近線。在低頻漸近線的基礎上，每遇到一個環(huán)節(jié)的轉折頻率，根據該環(huán)節(jié)的性質作一次斜率變化，直至最后一個環(huán)節(jié)完成為止。（5）必要時對漸近線進行修正，畫出精確的對數幅頻特性。

分析對數幅頻特性可見，系統(tǒng)L()由3段折線構成，而且在=10與

=100之間穿過0dB線。

曲線穿過0dB線時所對應的頻率稱為幅值穿越頻率。幅值穿越頻率c可以通過坐標系直接讀出，也可根據簡單的計算求出。1.由低頻漸近線可求得L(1)=L(1)=20lgK=40（dB）

2.由于1點與2點位于同一條斜線，斜率為-40dB/dec，則L(2)可如下求得L(2)=28（dB）

3.同理，c可如下求取c=50rad/s相頻特性根據開環(huán)系統(tǒng)對數相頻特性的表達式進行計算。

對于相頻特性曲線，主要了解其大致趨向。幅值穿越頻率c處的相位十分重要，本例中=c=50時的相位為

(c)=-91.1（°）()

=arctan0.5ω-arctanω-90（°）

若系統(tǒng)串聯(lián)有延遲環(huán)節(jié)，不影響系統(tǒng)的開環(huán)對數幅頻特性，只影響系統(tǒng)的對數相頻特性，則可以求出相頻特性的表達式，直接描點繪制對數相頻特性曲線。5.3.4最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)

“最小相位”這一概念來源于網絡理論。它是指具有相同幅頻特性的一些環(huán)節(jié)，其中相角位移有最小可能值的，稱為最小相位環(huán)節(jié)；反之，其中相角位移大于最小可能值的環(huán)節(jié)稱為非最小相位環(huán)節(jié)。1.基本概念控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數一般是關于s的有理真分式，系統(tǒng)的性質是由開環(huán)傳遞函數的零點與極點的性質決定的。根據零極點的不同，一般分為以下兩種系統(tǒng)（1）如果系統(tǒng)傳遞函數在右半s平面上沒有極點和零點，則稱該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)（由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成），如（2）系統(tǒng)傳遞函數在右半s平面上有一個（或多個）零點或極點，稱為非最小相位系統(tǒng)；

顯然G1(s)屬于最小相位系統(tǒng)。這兩個系統(tǒng)幅值相同，具有同一個幅頻特性，但它們卻有著不同的相頻特性。下面以一個簡單例子來說明最小相位系統(tǒng)的慨念。兩者的對數幅頻特性是相同的，而相頻特性則有

1()=arctan-arctanT2()=-arctan-arctanT

從傳遞函數看，這二者均有相同的儲能元件數，但是由于G2(s)的零點在右半s平面，它產生了附加的相位滯后位移，因而

G1(s)具有較小的相位變化范圍（0°，-90°），為最小相位環(huán)節(jié)；而G2(s)為非最小相位環(huán)節(jié)，相位變化范圍較大（0°，-180°）。

從伯德圖上看，最小相位系統(tǒng)為具有相同幅頻特性的許多系統(tǒng)中其相移范圍為最小可能值的系統(tǒng)。2、性質☆ （1）最小相位系統(tǒng)的對數相頻特性和對數幅頻特性是一一對應的。也就是說，對于最小相位系統(tǒng)，一條對數幅頻特性只有一條對數相頻特性與之對應，知道其對數幅頻特性，也就知道其對數相頻特性。因此，利用Bode圖對最小相位系統(tǒng)進行分析時，往往只分析其對數幅頻特性L()。（2）最小相位系統(tǒng)的對數相頻特性和對數幅頻特性的變化趨勢相同，即若L()的斜率減?。ɑ蛟龃螅瑒t()的相位也相應地減?。ɑ蛟龃螅?；如果在某一頻率范圍內，對數幅頻特性L()的斜率保持不變，則在這些范圍內，相位也幾乎保持不變。由前面的分析可知：1）對數頻率特性的低頻漸近線為斜率為-20vdB/dec的斜線。()=-90v°，低頻段的對數幅頻特性與相頻特性均與積分環(huán)節(jié)的個數v有關。2）在→時，由于n＞m，所以高頻漸近線為斜率為-20（n-m）dB/dec的斜線。()=-90（n-m）°，高頻段的對數幅頻特性與相頻特性均與（n-m）有關。

1.在低頻區(qū)的漸近線斜率為-20dB/dec，相位起點約為-90。

2.在頻率1=1附近，L()斜率減小到-40dB/dec，則相位呈減小的趨勢；而在頻率2=2附近，微分環(huán)節(jié)的作用使L()斜率為-20dB/dec,()相位減小的趨勢比較平緩。

3.最終L()斜率為-20dB/dec；而()相位最大滯后為-90。

可以推出如下結論：若系統(tǒng)只包含除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)，并且無局部正反饋回路時，開環(huán)傳遞函數的分子、分母必無正實根，該系統(tǒng)必定為最小相位系統(tǒng)。原因為：

由于延遲環(huán)節(jié)按冪級數分解之后，其各項系數有正負，因而必定有具有正實部的零點，所以延遲環(huán)節(jié)屬于非最小相位系統(tǒng)。同樣，若系統(tǒng)有局部正反饋回路，則必有具有正實部的開環(huán)極點。小結：最小相位系統(tǒng)的性質給出了一個重要的結論：

對于最小相位系統(tǒng)，可以通過實驗的方法測量并繪制出開環(huán)對數幅頻特性曲線L()，就可以唯一確定此系統(tǒng)，推出相應的()，寫出其開環(huán)傳遞函數。5.3.5由實測伯德圖求傳遞函數☆由實測開環(huán)伯德圖求開環(huán)傳遞函數是由已知的開環(huán)傳遞函數求開環(huán)伯德圖的逆過程，方法有共同之處。步驟如下：1.在需要的頻率范圍內，給被測系統(tǒng)輸入不同頻率的正弦信號，測量相應輸出的穩(wěn)態(tài)幅值與相位，作出對數幅頻特性與相頻特性曲線；2.若幅頻特性曲線與相頻特性曲線的變化趨勢一致，則該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，可直接由幅頻特性曲線求出傳遞函數；3.根據對數幅頻特性曲線，由0、±20、±40dB/dec斜率的線段近似，求出其漸近線；4.由低頻段確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數v與開環(huán)傳遞系數K

低頻漸近線的表達式為L()=20lgK-20vlg。首先由低頻段的斜率確定v

由低頻段上的一個具體點的坐標確定K

如可代L(1)=20lgK；5.由漸近線的每個轉折點確定各典型環(huán)節(jié)的轉折頻率；并由漸近線在轉折點斜率的變化量確定串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié)。若在轉折頻率處，斜率增加20dB/dec，則必有一階微分環(huán)節(jié)G(s)=(s+1)；二階系統(tǒng)的阻尼比可由諧振峰值的大小查表求取若在轉折頻率處，斜率減去40dB/dec，則有振蕩環(huán)節(jié)如若在轉折頻率處，斜率減小20dB/dec，則必有慣性環(huán)節(jié)若在轉折頻率處，斜率增加40dB/dec，則有二階微分環(huán)節(jié)[例5.6]某最小相位系統(tǒng)開環(huán)對數幅頻特性曲線的漸近線如圖所示，求此系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數。

低頻漸近線的表達式L()=20lgK-20lg，可以求出K=30。

[-20][-40][-20][-40][-60]0.255100.025小結：☆1.低頻段確定K

、v

斜率確定積分、微分環(huán)節(jié)個數起始段（或延長線）在ω=1處高度為20lgK，

L(ω)=20lgK-20v

lgωa.對0型v=0{起始斜率[0]}b.對Ⅰ型v=1{起始斜率[-20]}c.對Ⅱ型v=2（起始斜率[-40]）2．轉折頻率對應斜率變化確定慣性，振蕩，一階微分，二階微分。

5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)閉環(huán)特征根都具有負實部，即位于s左半平面。在時域分析中判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一種方法是求出特征方程的全部根，另一種方法就是使用勞斯－胡爾維茨穩(wěn)定判據（代數判據）。然而，這兩種方法都有不足之處，對于高階系統(tǒng)，非常困難且費時，也不便于研究系統(tǒng)參數、結構對穩(wěn)定性的影響。特別是，如果知道了開環(huán)特性，要研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還需要求出閉環(huán)特征方程，無法直接利用開環(huán)特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而對于一個自動控制系統(tǒng)，其開環(huán)數學模型易于獲取，同時它包含了閉環(huán)系統(tǒng)所有環(huán)節(jié)的動態(tài)結構和參數。除勞斯判據外，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一種常用判據為奈奎斯特（Nyquist）判據。Nyquist穩(wěn)定判據是奈奎斯特于1932年提出的，是頻率法的重要內容，簡稱奈氏判據。奈氏判據的主要特點有1.根據系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，來研究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，而不必求閉環(huán)特征根；2.能夠確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（相對穩(wěn)定性）；3.可用于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，利于對系統(tǒng)的分析與設計；4.基于系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖，是一種圖解法。

Nyquist判據的主要理論依據是復變函數理論中的Cauch（柯西）幅角定理。5.4.1幅角原理

5.4.2奈奎斯特穩(wěn)定判據

1）0型系統(tǒng)系統(tǒng)的開環(huán)右極點數為P，在G(s)H(s)平面上，當從-∞變化到+∞時，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線G(j)H(j)及其鏡像，順時針包圍(-1，j0)點的次數為N圈(N>0)

，若逆時針包圍則

N＜0，封閉曲線繞(-1，j0)點旋轉360°即包圍一次，則系統(tǒng)的閉環(huán)右極點的個數為Z，且滿足：

Z=N+P

當Z=0時，系統(tǒng)穩(wěn)定；Z>0時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。說明:系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)不一定穩(wěn)定；開環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)不一定不穩(wěn)定。2）Ⅰ型系統(tǒng)或者Ⅱ型系統(tǒng)

I型系統(tǒng)：從正虛軸方向無限遠處開始，順時針繞向負虛軸，以原點為圓心，半徑為無限大的右半圓弧。需在G(s)H(s)平面上補畫右半圓弧將奈氏曲線及其鏡像連成封閉曲線。

II型系統(tǒng)：從負實軸方向無限遠處開始，順時針繞一周終止于負實軸方向，以原點為圓心，半徑為無限大的圓弧。需在G(s)H(s)平面上補畫整圓將奈氏曲線及其鏡像連成封閉曲線。當系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖作如上處理后，穩(wěn)定判據與0型系統(tǒng)完全相同。若系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，即開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時（P=0），系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：當從-∞變化到+∞時，在GH平面上的系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線及其鏡像，不包圍(-1，j0)點，即N=0，則Z=N+P=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。當系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線及其鏡像通過(-1，j0)點時，表明在s平面虛軸上有閉環(huán)極點，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，屬于不穩(wěn)定。5.4.3簡化奈奎斯特穩(wěn)定判據1.由0變到+

時的開環(huán)幅相頻率特性GK(j)

因為（0，+∞）與（-∞，0）的曲線完全關于實軸對稱，則0變到+

時的開環(huán)幅相頻率特性GK(j)順時針包圍(-1，j0)點的圈數N′滿足

N′=N/2由0變到+

時的開環(huán)幅相頻率特性GK(j)順時針包圍(-1，j0)點的圈數為N′

，

已知系統(tǒng)開環(huán)右極點數為P

，則系統(tǒng)閉環(huán)右極點個數為

Z

（不包括虛軸上的極點）：

Z=P+2N′Z=P+2N′=0+2×0=0一階系統(tǒng)穩(wěn)定Z=P+2N′=0二階系統(tǒng)穩(wěn)定Z=P+2N′系統(tǒng)穩(wěn)定性與K值有關2.采用穿越的概念簡化復雜曲線包圍次數的計算由0變到+

時開環(huán)頻率特性曲線要形成對(-1，j0)點的一次包圍，勢必穿越（-∞，-1）區(qū)間一次。開環(huán)頻率特性曲線逆時針穿越（-∞，-1）區(qū)間時，隨ω增加，頻率特性的相角值增大，稱為一次正穿越N’+

。反之，開環(huán)頻率特性曲線順時針穿越（-∞，-1）區(qū)間時，隨ω增加，頻率特性的相角值減小，則稱為一次負穿越N’-

。

頻率特性曲線包圍(-1，j0)點的情況，就可以利用頻率特性曲線在負實軸（-∞，-1）區(qū)間的正、負穿越來表達。

由0變到+

時的開環(huán)幅相頻率特性GK(j)對(-1，j0)點的總包圍次數為

N′=（N’-

-

N’+）

利用正、負穿越情況的奈奎斯特穩(wěn)定判據敘述為：

Z=P+2（N’-

-

N’+）注意奈氏曲線在(-1，j0)點以右負實軸上相位有變化不算穿越。3.半次穿越奈氏