材料力學(xué)4應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

力學(xué)是數(shù)學(xué)的樂園，因?yàn)槲覀冊谶@里獲得了數(shù)學(xué)的果實(shí)。-LeonardodeVinci第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

建立材料線彈性應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系(線彈性本構(gòu)關(guān)系)；

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

本章目的初步掌握材料宏觀(拉伸、壓縮)實(shí)驗(yàn)的方法、原理和步驟；進(jìn)行簡單加載材料實(shí)驗(yàn)，獲得材料響應(yīng)規(guī)律；建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變能的計算式。了解其它金屬及復(fù)合材料等拉、壓下的力學(xué)行為；熟練應(yīng)用廣義虎克定律；掌握應(yīng)變能計算；了解熱應(yīng)變概念。本章目的基本要求獲得材料機(jī)械性能、表征材料變形程度及強(qiáng)度性能的指標(biāo)；熟悉低碳鋼和鑄鐵拉、壓下的力學(xué)行為，理解比例極限、屈服極限、強(qiáng)度極限，延伸率、斷面收縮率以及彈性模量和泊松比的力學(xué)意義并掌握其測量方法；明確塑性材料與脆性材料。

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

材料的性能試驗(yàn)條件：常(室)溫準(zhǔn)靜態(tài)加載試驗(yàn)設(shè)備材料試驗(yàn)機(jī)

Ziwek,MTS,INSTRON

材料的機(jī)械性能(MechanicalPropertiesofMaterials)1材料拉、壓試驗(yàn)

(TensionandCompressionTest)1.1

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

材料的性能材料的機(jī)械性能(MechanicalPropertiesofMaterials)1材料拉、壓試驗(yàn)

(TensionandCompressionTest)1.1試件：

GB6397-86《金屬拉伸試驗(yàn)試樣》拉伸試件或壓縮試件標(biāo)距Lo

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

材料的性能第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

材料的性能

荷載－位移圖應(yīng)力－應(yīng)變圖力傳感器引伸計數(shù)據(jù)采集及放大試驗(yàn)原理

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

低碳鋼拉伸拉伸應(yīng)力－應(yīng)變圖彈性極限

(2)非性線彈性階段(AB段)Q235鋼1彈性階段(ElasticBehavior)(OAB段)低碳鋼拉伸時的力學(xué)性能1.2楊氏模量E比例極限(1)線彈性階段(OA段)ThomasYoung－EnglandScientist

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

低碳鋼拉伸2屈服極限

(YieldingStress)屈服階段(BC段)3強(qiáng)度極限（UltimateLimit)應(yīng)變強(qiáng)化階段

(StrainHardening)(CD段)低碳鋼拉伸時的力學(xué)性能1.24頸縮階段

(Necking)(DH段)拉伸應(yīng)力－應(yīng)變圖真應(yīng)力－應(yīng)變圖

(TrueStress-StrainDiagram)

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

低碳鋼拉伸

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

低碳鋼性能卸載（Unloading）低碳鋼

卸載、再加載時的力學(xué)行為1.3實(shí)際近似彈性應(yīng)變彈性階段內(nèi)，加載時卸載時荷載逐漸卸至零，變形完全恢復(fù)。

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

低碳鋼性能卸載，再加載卸載，再加載符合線彈性規(guī)律。(小變形下，忽略微弱的非線性行為）低碳鋼

卸載、再加載時的力學(xué)行為1.3屈服、強(qiáng)化階段內(nèi)當(dāng)荷載逐漸卸至零時，部分變形恢復(fù)，部分變形殘留。即：實(shí)際近似彈性應(yīng)變-消失塑性應(yīng)變－殘留

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

低碳鋼性能卸載再加載（Unloading，Reloading）荷載逐漸卸至零，立即再加載冷作硬化－經(jīng)過塑性變形，使材料比例極限或彈性極限提高、塑性降低的現(xiàn)象。彈性遲滯環(huán)（能量耗損）

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

低碳鋼性能卸載再加載（Unloading，Reloading）荷載逐漸卸至零，經(jīng)過一段時間后再加載冷作時效－預(yù)加塑性變形，卸載，經(jīng)過一段時間再加載使材料的比例極限或彈性極限還有所提高的現(xiàn)象。精確測量表明，強(qiáng)化階段卸載再加載并不嚴(yán)格沿直線進(jìn)行，而有一機(jī)械遲滯迴線，表示能量損耗。彈性遲滯環(huán)（能量耗損）

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

延伸率和收縮率材料的塑性:材料經(jīng)受較大塑性變形而不破壞的能力。其度量如下:衡量材料塑性變形能力的指標(biāo)1.4延伸率

(PercentElongation)試件斷裂時的殘留變形斷面收縮率

(PercentReductioninArea)試件斷裂時斷口的面積

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

延伸率和收縮率塑性（延性）性材料

(DuctileMaterial)脆性材料

(BrittleMaterial)延伸率較大延伸率較小Q235鋼典型塑性材料衡量材料塑性變形能力的指標(biāo)1.4

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

泊松比拉伸時，軸向伸長，橫向收縮。壓縮時，軸向收縮，橫向膨脹。軸向橫向線彈性范圍內(nèi)，為一材料常數(shù)。不同材料，值不同。橫向變形系數(shù)－泊松比（Poisson’sRatio)1.5泊松比或一般；SDPoisson－Frenchscientist工程用金屬材料；不可壓縮材料拉伸壓縮

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

鑄鐵的拉伸應(yīng)力與應(yīng)變無明顯的線性關(guān)系，通常彈性模量E以規(guī)定總應(yīng)變對應(yīng)的割線斜率來近似度量－割線彈性模量。12無屈服、強(qiáng)化和局部變形現(xiàn)象，衡量其強(qiáng)度的唯一指標(biāo)是強(qiáng)度極限。3受拉直至斷裂，變形很小，橫截面的大小幾乎無變化。鑄鐵（GrayCast-Iron)

拉伸時的力學(xué)性能1.6

典型脆性材料

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

其他塑性材料的拉伸與低碳鋼拉伸時力學(xué)行為類似的塑性材料，如16錳鋼，50鋼，以及一些高強(qiáng)度低合金鋼等。另一些塑性材料，如青銅等，則無明顯的屈服階段。其它塑性金屬材料拉伸時的力學(xué)行為1.7

青銅錳鋼16錳鋼0102030200400600800鎳鋼名義屈服應(yīng)力

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

其他塑性材料的拉伸其它塑性金屬材料拉伸時的力學(xué)行為1.7

工程上，對無明顯屈服極限的塑性材料，取殘余或塑性應(yīng)變?yōu)?.2％對應(yīng)的應(yīng)力，作為其屈服極限，稱為名義屈服極限，記為0.2

。青銅錳鋼16錳鋼0102030200400600800鎳鋼

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

壓縮時的性能拉伸壓縮12可一直壓成幣狀而不破壞，因而得不到強(qiáng)度極限。為此，一般不再做此實(shí)驗(yàn)。低碳鋼壓縮時的力學(xué)性能1.8拉伸壓縮0.51.02.03.0100200300400鑄鐵壓縮時的力學(xué)性能受壓縮時的強(qiáng)度極限和延伸率比拉伸時大得多。

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

破壞形態(tài)材料的破壞機(jī)理1.9

12低碳鋼拉伸頸縮階段－滑移線屈服階段－滑移線斷口鑄鐵（受壓）低碳鋼（受拉）鑄鐵（受拉）混凝土（受壓）

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

胡克定律線彈性應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系－廣義虎克定律2

胡克定律（Hooke’sLaw－1676）2.1線彈性階段，

時，應(yīng)力與應(yīng)變成比例。純剪切應(yīng)力狀態(tài)下，線彈性階段，時，切應(yīng)力與切應(yīng)變成比例。單向拉壓純剪切剪切彈性模量（ShearModulus)RobertHooke－EnglandScientist

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

廣義胡克定律廣義虎克定律(GeneralizedHooke’sLaw)2.2疊加原理（PrincipleofSuperposition）應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系小變形12線應(yīng)變xyz

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

廣義胡克定律廣義虎克定律(GeneralizedHooke’sLaw)2.2疊加原理（PrincipleofSuperposition）線應(yīng)變xyz同樣可以得到y(tǒng)和z

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

廣義胡克定律實(shí)驗(yàn)表明切應(yīng)力不引起線應(yīng)變，且某面內(nèi)的切應(yīng)力僅引起該面內(nèi)的切應(yīng)變。

x

y

z

xy

zz

x

y

z

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

廣義胡克定律線應(yīng)變的疊加，切應(yīng)變與切應(yīng)力關(guān)系，共同組成廣義虎克定律。

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

廣義胡克定律主應(yīng)力：o由于各向同性材料的正應(yīng)力只產(chǎn)生線應(yīng)變，切應(yīng)力只產(chǎn)生切應(yīng)變，所以應(yīng)變主軸與應(yīng)力主軸一致。

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

廣義胡克定律平面應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律o

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

材料常數(shù)間的關(guān)系材料常數(shù)間的關(guān)系(Relationshipofand)2.3

o純剪應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力變換應(yīng)變變換oyx

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

體積應(yīng)變和體積模量

體積應(yīng)變和體積模量(VolumetricStrainorDilatationandBulkModulus)2.4單元體承受正應(yīng)力，體積將變化。o體積應(yīng)變：

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

體積應(yīng)變和體積模量

體積應(yīng)變和體積模量(VolumetricStrainorDilatationandBulkModulus)2.4o其中一點(diǎn)處的平均應(yīng)力是一常數(shù)體積模量體積應(yīng)變（體積變化）正比于平均應(yīng)力：

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

體積應(yīng)變和體積模量

體積應(yīng)變和體積模量(VolumetricStrainorDilatationandBulkModulus)2.4o三個主應(yīng)力相等，都等于壓力p時，稱為靜水壓力（HydrostaticStress)。三個主應(yīng)力相等時，三向應(yīng)力圓都退化到一點(diǎn)，此時任意方位面都是主平面，正應(yīng)力都等于。

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

例題1

邊長為a＝0.1m的鋁質(zhì)立方塊，無間隙地嵌入鋼制凹槽內(nèi)。鋁的彈性模量E=71GPa,泊松比=0.3,F=100kN均布作用在鋁塊的上表面，求鋁塊的主應(yīng)力，最大切應(yīng)力。

aaaFzyxxyz剛性外殼解：根據(jù)y方向平衡條件可知

2.4

例題1注意：力F應(yīng)該理解為作用在立方體上表面的均布力。

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

例題1

主應(yīng)力

最大切應(yīng)力

由于受剛性壁的阻礙，使鋁塊在x、z方向的應(yīng)變?yōu)榱?。根?jù)廣義胡克定律：

幾何條件：aaaFzyxxyz剛性外殼

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

例題2

圓筒形薄壁壓力容器。筒壁中面直徑D＝800mm，壁厚t＝5mm，容器鋼材的彈性模量E＝200GPa，泊松比＝0.3，測得周向應(yīng)變。求筒內(nèi)壓力p，軸向應(yīng)變。

解：因?yàn)?/p>

根據(jù)廣義胡克定律

所以

例題2ozxx

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

例題2

2，中間部分筒壁都處于相同的應(yīng)力狀態(tài)1，忽略沿厚度方向的應(yīng)力z（為什么可以忽略）軸向應(yīng)變ozxxp

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

例題3

鋼制圓桿的直徑d＝2cm，鋼材的彈性模量E＝200GPa，泊松比＝0.3。測得30方向應(yīng)變，求拉力F。

例題3A’60A/2X(,0)F30a’a30x解：單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)，a面和a’面應(yīng)力分別為

下一步？

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

例題3根據(jù)廣義胡克定律

所以

例題3（續(xù)）A’60A/2X(,0)F30a’a30x

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

例題4

例題4如圖所示拉伸試件，已知橫截面上正應(yīng)力，材料的彈性模量E，泊松比。試求與軸向成45和135方向的正應(yīng)變45和135。X(,0)X’(/2,-/2)Y(0,0)Y’(/2,/2)x45x’xy/2/2y’45135

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

例題4

45＝/2，135＝/2。解：(1)通過應(yīng)力變換，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系求解：（2）利用單向拉伸的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，應(yīng)變變換公式求解：已知

x=/E，y=–

x

=–

/E，xy=0。

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

例題4

(3)利用應(yīng)變單元幾何關(guān)系求解：同理可以求得135。aa45o~45oABCDE

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

熱應(yīng)變

熱應(yīng)變(ThermalStrain)2.5溫度改變材料變形均勻、各向同性材料引起點(diǎn)各向均勻線應(yīng)變，不引起切應(yīng)變。材料熱膨脹系數(shù)（溫度變化1度產(chǎn)生的線應(yīng)變）o

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

熱應(yīng)變

熱應(yīng)變(ThermalStrain)2.5疊加法o

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

例題5

物體受約束時，才可能產(chǎn)生熱應(yīng)力。解：溫度應(yīng)變

管道的總應(yīng)變?yōu)榱?。所以，例題5FRlFR兩端固定的鋼制蒸汽管道，長度為l。鋼的彈性模量E＝200GPa，熱膨脹數(shù)。溫度升高T＝30

，求熱應(yīng)力。

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

例題6

正六面體鋼塊，體積為905040mm3。兩端受固定的剛性物體阻礙，左端離剛性體有0.02mm間隙。鋼塊上表面受均布力作用，其值為F＝700kN。鋼的彈性模量E=207GPa，泊松比＝0.3，熱膨脹系數(shù)。當(dāng)溫度上升15C時，求鋼塊的應(yīng)力和體積的變化。

例題6解：由題意知，40mm0.02mm90mmF=700kN50mmxyz

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系

例題6

x方向允許最大的伸長為0.02mm，先假設(shè)變形后鋼塊充滿了間隙，即因?yàn)樗杂嬎憬Y(jié)果x為負(fù)，證明先前關(guān)于變形的假設(shè)是正確的。如果

x為正，應(yīng)該重新令x＝0來計算應(yīng)變。例題640mm0.02mm90mmF=700kN50mmxyz

第四章應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系