黑龍江省伊春市鐵力市馬永順中學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考 數(shù)學(xué)試題（解析版）

高二第一次月考數(shù)學(xué)試題滿分150分一、選擇題（每小題5分，共60分，其中11、12為多選題）1.已知集合，，則（）A.{4，5，6} B.{4} C.{3，4} D.{2，3，4，5，6，7}【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】解：，所以.故選：B.2.已知直線l傾斜角為60度，直線l的斜率等于（）A. B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】由傾斜角可知，直線的斜率為.故選：C3.向量，，已知，則m的值是（）A.1 B.3 C.6 D.9【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)關(guān)系求解即可.【詳解】解：向量，，已知，則，所以，解得.故選：D.4.在正方體中，異面直線與所成角為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】為異面直線與所成角，因?yàn)闉檎切?，所以異面直線與所成角為，選C.5.若，則的最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】采用拼湊法，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時取到等號，故的最小值是3.故選：C6.已知兩個平面的法向量分別為，，則兩平面所成銳二面角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出兩法向量夾角的余弦值，即可得解.【詳解】解：，所以兩平面所成銳二面角余弦值為，則兩平面所成銳二面角的大小為.故選：C.7.命題，，則（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題否定為存在量詞命題即可得解.【詳解】解；因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題，所以，.故選：A.8.直線l的斜率是2，且在x軸上的截距是，則直線l的方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查直線的方程，已知直線l的斜率是2，且在x軸上的截距是，根據(jù)條件即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€l的斜率是2，且在x軸上的截距是，也即直線過點(diǎn)，所以直線l的方程為，即，故選：A.9.袋中有3個白球和2個黑球，從中任意摸出2個球，則剛好摸出2個白球的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別求出所有摸球的方法及摸出2個白球的方法，計(jì)算古典概型【詳解】所有摸球方法共有種，摸出2個白球共有種，故剛好摸出2個白球的概率為.故選：D10.在三角形ABC中，，，，則角C等于（）A.30 B.45 C.60 D.120【答案】D【解析】【分析】直接利用余弦定理即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)余弦定理得，因?yàn)?，因此，故選：D.11.已知球O為正方體的內(nèi)切球，平面截球O的面積為，下列命題中正確的有（）A.異面直線與所成的角為60°B.平面C.球O的表面積為D.三棱錐的體積為288【答案】AD【解析】【分析】連接，，通過平移將與所成角轉(zhuǎn)化為與所成角可判斷A；通過反證法證明B；由已知平面截球O的面積為求出正方體棱長，進(jìn)而求出內(nèi)切球的表面積可判斷C；利用等體積法可求得三棱錐的體積可判斷D.【詳解】對于A，連接，，由正方體，可知，為異面直線與所成的角，設(shè)正方體邊長為a，則，由等邊三角形知，即異面直線與所成的角為，故A正確；對于B，假設(shè)平面，又平面，則，設(shè)正方體邊長為a，則，，，由勾股定理知，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，故不垂直于平面，故B錯誤；對于C，設(shè)正方體邊長為a，則，內(nèi)切球半徑為，設(shè)內(nèi)切球的球心O在面上的投影為，由等邊三角形性質(zhì)可知為等邊的重心，則，又，球心O到面的距離為，又球心與截面圓心的連線垂直于截面，截面圓的半徑為，又截面圓的面積，解得，則內(nèi)切球半徑為6，內(nèi)切球表面積，故C錯誤；對于D，由等體積法知，故D正確；故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了正方體和它的內(nèi)切球的幾何結(jié)構(gòu)特征，關(guān)鍵是想象出截面圖的形狀，從而求出正方體的棱長，進(jìn)而求出內(nèi)切球的表面積及三棱錐的體積，考查了空間想象能力，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.12.有一條直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是2，則此直線方程可以是（）A. B.C. D.【答案】ABCD【解析】【分析】逐項(xiàng)求解直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)，即可得直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積，判斷是否符合即可.【詳解】解：對于A，直線與軸交點(diǎn)分別為，，則直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是，故A符合；對于B，直線與軸交點(diǎn)分別為，，則直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是，故B符合；對于C，直線與軸交點(diǎn)分別為，，則直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是，故C符合；對于D，直線與軸交點(diǎn)分別為，，則直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是，故D符合.故選：ABCD.二、填空題（每題5分，共20分）13.已知是銳角，且，則的值為______.【答案】【解析】【分析】由同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解，【詳解】由是銳角，則，故答案為：14.一組數(shù)據(jù)2，3，5，7，8，9，9，10的第百分之80分位數(shù)是______.【答案】9【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算即可.【詳解】解：共有8個數(shù)，因?yàn)?，所以第百分?0分位數(shù)第個數(shù)，即第百分之80分位數(shù)是9.故答案為：9.15.正數(shù)x，y滿足，則的最小值是______.【答案】1【解析】【分析】由基本不等式求解，【詳解】由題意得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故答案為：116.已知,，點(diǎn)是線段AB上的動點(diǎn)，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)的幾何意義即可求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)?，所以，，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段AB上的動點(diǎn)，所以.故答案為：三、解答題（17題10分，其余均12分共70分）17.已知直線的方程為，（1）直線過點(diǎn)（3，0）且與平行，求的斜截式方程.（2）直線過點(diǎn)且與垂直，求的一般式方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）可設(shè)所求直線的方程為，將代入求得參數(shù)，即可得解；（2）可設(shè)所求直線的方程為，將代入求得參數(shù)，即可得解；【小問1詳解】設(shè)直線方程為：，將代入方程，得，所以直線方程為，化為斜截式方程為：.【小問2詳解】可設(shè)直線的方程為，則有，解得，所以所求直線方程.18.如圖，在直三棱柱中，E、F分別是、的中點(diǎn)，所有棱長均為2，（1）求證：平面ABC；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面平行的判定定理證明，（2）由棱錐的體積公式求解，【小問1詳解】由E、F分別是、的中點(diǎn)，故，而平面，平面，平面，【小問2詳解】由題意得19.已知空間三點(diǎn)，，，設(shè)，.（1）求（2）設(shè)，，求.（3）若與互相垂直，求k.【答案】（1）（2）或（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)表示求出，再根據(jù)空間向量坐標(biāo)表示的線性運(yùn)算計(jì)算即可；（2）設(shè)，根據(jù)空間向量的模的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算求出，即可得解；（3）由與互相垂直，可得，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可得解.【小問1詳解】解；，，則；【小問2詳解】解：，由，可設(shè)，則，解得，所以或；【小問3詳解】解：，，因?yàn)榕c互相垂直，所以，即，解得或20.已知函數(shù)，當(dāng)時的最小值是4.（1）求實(shí)數(shù)a的值.（2）證明函數(shù)的奇偶性.【答案】（1）4（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性的定義分析判斷的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性運(yùn)算求解；（2）根據(jù)奇偶性的定義證明.【小問1詳解】對，且，則，∵，則，當(dāng)時，則，∴，即，則在上單調(diào)遞增，故在內(nèi)無最值，不合題意，舍去；當(dāng)時，若時，則，∴，即，則在上單調(diào)遞減，若時，則，∴，即，則在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)的最小值是，解得，綜上所述：.【小問2詳解】由（1）可得：的定義域?yàn)椤?，即，∴在定義域內(nèi)為奇函數(shù).21.已知定義在R上的函數(shù)，且（1）求的值；（2）若方程的兩根為與，求的值.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，解出的值，再代入即可求得.（2）首先整理得到一元二次方程，再利用韋達(dá)定理即可求解.【小問1詳解】由得，，解得，，則.【小問2詳解】由（1）可得，，方程的根，即的解.,由韋達(dá)定理可得，，則.22.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形.已知，，，，.（1）證明平面PAB；（2）求異面直線PC與AD所成的角的大??；（3）求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析.（2）（3）【解析】【分析】（1）由勾股定理證得，由矩形得，進(jìn)而證得AD⊥平面PAB.（2）取AB的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，代入異面直線所成角公式可得結(jié)果.（3）分別計(jì)算兩個平面的法向量、，代入計(jì)算可得結(jié)果.【小問1詳解】∵ABCD為矩形∴∵PA=2，AD=2，∴∴又∵，平面PAB∴AD⊥平面PAB.【小問2詳解】取AB的中點(diǎn)O，連接OP，則OP⊥AB由（1）知：AD⊥平面PAB又∵AD平面ABCD∴平面ABCD⊥平面PAB又∵平面ABCD平面P