線性系統(tǒng)的頻域分析法之二詳解演示文稿

線性系統(tǒng)的頻域分析法之二詳解演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有144頁\編輯于星期三（優(yōu)選）線性系統(tǒng)的頻域分析法之二現(xiàn)在是2頁\一共有144頁\編輯于星期三5-1頻率特性5-2典型環(huán)節(jié)與開環(huán)系統(tǒng)頻率特性5-3頻域穩(wěn)定判據(jù)5-4頻域穩(wěn)定裕度5-5頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系

本章主要內(nèi)容現(xiàn)在是3頁\一共有144頁\編輯于星期三5-3頻域穩(wěn)定判據(jù)現(xiàn)在是4頁\一共有144頁\編輯于星期三

F(s)是復(fù)變量s的單值有理函數(shù)。如果函數(shù)F(s)在s平面上指定的區(qū)域內(nèi)是解析的，則對(duì)于此區(qū)域內(nèi)的任何一點(diǎn)都可以在F(s)平面上找到一個(gè)相應(yīng)的點(diǎn)，稱為在F(s)平面上的映射。

同樣，對(duì)于s平面上任意一條不通過F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線，也可在F(s)平面上找到一條與之相對(duì)應(yīng)的封閉曲線（為的映射）。基本思想：利用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性一、預(yù)備知識(shí)——幅角定理現(xiàn)在是5頁\一共有144頁\編輯于星期三例：輔助方程為：，則s平面上點(diǎn)（-1，j1），映射到F(s)平面上的點(diǎn)為（0，-j1）,見下圖：設(shè)輔助函數(shù)為：現(xiàn)在是6頁\一共有144頁\編輯于星期三

令：s從開始沿任一閉合路徑Γs（不經(jīng)過F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈，F(xiàn)(s)的相角變化情況如下：零點(diǎn)(-Zi)極點(diǎn)(-Pj)1)–Zi在Γs外。2)–Pj在Γs外。

結(jié)論：相角無變化

1)–Zi在Γs內(nèi)，。(順時(shí)針)2)–Pj在Γs內(nèi)，。(逆時(shí)針)

現(xiàn)在是7頁\一共有144頁\編輯于星期三

結(jié)論：若F(s)在Γs中有Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，則當(dāng)S沿Γs順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一圈時(shí)，F(xiàn)(s)相角有變化（順時(shí)針）：

現(xiàn)在是8頁\一共有144頁\編輯于星期三幅角定理：

F(s)是s的單值有理函數(shù)，在s平面上任一閉合路徑（Гs）包圍了F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，并且不經(jīng)過F(s)的任一零點(diǎn)和極點(diǎn)，則當(dāng)s沿閉合路徑順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一圈時(shí)，映射到F(s)平面內(nèi)的F(s)曲線（ГF）順時(shí)針繞原點(diǎn)（Z

–P）圈。即

N=Z-P

（或逆時(shí)針繞原點(diǎn)N=

P-Z圈）其中：N為圈數(shù)，正、負(fù)表示的旋轉(zhuǎn)方向：逆時(shí)針為負(fù)，順時(shí)針為正?，F(xiàn)在是9頁\一共有144頁\編輯于星期三P---F（S）在Гs內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)；Z---F（S）在Гs內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)；N---ГF曲線繞其原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。現(xiàn)在是10頁\一共有144頁\編輯于星期三Z=0P=1N=Z-P=0-1=-1

例：現(xiàn)在是11頁\一共有144頁\編輯于星期三Z=3P=1N=Z-P=3-1=2

例：現(xiàn)在是12頁\一共有144頁\編輯于星期三

1、圍線如何??？

為了運(yùn)用Cauchy定理，在頻域內(nèi)驗(yàn)證系統(tǒng)是否穩(wěn)定，需要考慮2個(gè)問題：

2、圍線映射如何取？

思路：1、右半平面取為內(nèi)部；

2、圍線映射取為特征函數(shù)。

現(xiàn)在是13頁\一共有144頁\編輯于星期三二、輔助函數(shù)

閉環(huán)傳遞函數(shù)記輔助函數(shù)反饋控制系統(tǒng)中，G(s)和H(s)是兩個(gè)多項(xiàng)式之比如果G(s)和H(s)無極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)消,則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)現(xiàn)在是14頁\一共有144頁\編輯于星期三b)零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同;c)F(s)和G(s)H(s)只差常數(shù)1。式中zi

和pi

分別為F(s)

的零點(diǎn)和極點(diǎn)。

由上,輔助函數(shù)F(s)具有如下特點(diǎn):a)其零點(diǎn)和極點(diǎn)分別是閉環(huán)和開環(huán)特征根;物理系統(tǒng)中開環(huán)傳遞函數(shù)分子的最高次冪必小于分母的最高次冪,故F(s)可改寫為現(xiàn)在是15頁\一共有144頁\編輯于星期三輔助函數(shù)與開環(huán)傳函的關(guān)系00(-1,j0)F(s)平面圍繞(0,0)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)G0(s)平面圍繞(-1,j0)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)在是16頁\一共有144頁\編輯于星期三F(s)與的關(guān)系圖。ⅠⅡⅢ現(xiàn)在是17頁\一共有144頁\編輯于星期三

對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對(duì)于上面討論的輔助方程，其零點(diǎn)恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，因此，只要搞清F(s)的的零點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù)，就可以給出穩(wěn)定性結(jié)論。如果F(s)的右半零點(diǎn)個(gè)數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

我們這里是應(yīng)用開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此開環(huán)頻率特性是已知的，輔助方程也已知。設(shè)想：三、乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)1、判據(jù)推理現(xiàn)在是18頁\一共有144頁\編輯于星期三

如果有一個(gè)s平面的封閉曲線能包圍整個(gè)s右半平面，則根據(jù)柯西幅角原理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點(diǎn)的次數(shù)應(yīng)為：

N=F(s)的右半零點(diǎn)數(shù)－F(s)的右半極點(diǎn)數(shù)

=閉環(huán)系統(tǒng)右半極點(diǎn)數(shù)－開環(huán)系統(tǒng)右半極點(diǎn)數(shù)當(dāng)已知開環(huán)右半極點(diǎn)數(shù)時(shí)，便可由N判斷閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)?，F(xiàn)在是19頁\一共有144頁\編輯于星期三完成這個(gè)設(shè)想需要解決兩個(gè)問題：1、如何構(gòu)造一個(gè)能夠包圍整個(gè)s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足柯西幅角條件的？2、如何確定相應(yīng)的映射F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍次數(shù)N。并將它和開環(huán)頻率特性相聯(lián)系？現(xiàn)在是20頁\一共有144頁\編輯于星期三2、Nyquist圍線①GH在虛軸上無開環(huán)極點(diǎn)S右平面Nyquist圍線可以分成3部分：1、正半虛軸：映射像為GH(jω)，ω從０變到∞,正好是開環(huán)頻率特性曲線；2、負(fù)半虛軸：映射像為GH(jω)，ω從-∞變到０,正好是開環(huán)頻率特性曲線關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱曲線；0j

ω（1）（2）現(xiàn)在是21頁\一共有144頁\編輯于星期三3、大半圓弧：現(xiàn)在是22頁\一共有144頁\編輯于星期三F的繪制:GH(j)和GH(-j)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱=-=+=0（3）（1）（2）sL(s)=GH(s)(1)極坐標(biāo)圖(2)原點(diǎn)(3)結(jié)論：ω從+∞變到-∞,映射像收縮為一個(gè)點(diǎn)，N=M時(shí)，為等于開環(huán)增益的實(shí)軸上的點(diǎn)，其他情況下均為原點(diǎn)?，F(xiàn)在是23頁\一共有144頁\編輯于星期三②

GH在虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)如果GH在虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)，通常用半徑為無窮小的小半圓弧，避開該點(diǎn)。該小半圓弧的映射像為GH平面上的順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無窮大圓弧，旋轉(zhuǎn)弧度由系統(tǒng)型數(shù)決定，為v個(gè)180度。現(xiàn)在是24頁\一共有144頁\編輯于星期三S平面半徑為無限小的右半圓：現(xiàn)在是25頁\一共有144頁\編輯于星期三(b)對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)代入中得：所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的整個(gè)圓（順時(shí)針）。所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的右半圓（順時(shí)針）。(a)對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)代入中得：

現(xiàn)在是26頁\一共有144頁\編輯于星期三奈魁斯特路徑的第Ⅰ部分的映射是曲線向右移1；第Ⅱ部分的映射對(duì)應(yīng)，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映射的關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱。①由可求得，而是開環(huán)頻率特性。一般在中，分母階數(shù)比分子階數(shù)高，所以當(dāng)時(shí)，，即F(s)=1。（對(duì)應(yīng)于映射曲線第Ⅱ部分）輔助方程與開環(huán)頻率特性的關(guān)系：我們所構(gòu)造的輔助方程為，為開環(huán)頻率特性。因此，有以下三點(diǎn)是明顯的：

現(xiàn)在是27頁\一共有144頁\編輯于星期三②F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍，相當(dāng)于對(duì)(-1,j0)的包圍；因此映射曲線F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍次數(shù)N與對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的包圍的次數(shù)一樣。③F(s)的極點(diǎn)就是的極點(diǎn)，因此F(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)就是在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。

根據(jù)上面的討論，如果將柯西幅角定理中的封閉曲線取奈魁斯特路徑，則可將柯西幅角定理用于判斷閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。就是下面所述的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)?，F(xiàn)在是28頁\一共有144頁\編輯于星期三

當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線GH

逆時(shí)針包圍點(diǎn)的圈數(shù)N是位于s右半閉平面開環(huán)特征根數(shù)P與位于s右半閉平面閉環(huán)極點(diǎn)Z之差。當(dāng)，開環(huán)幅相特性曲線GH稱作是Nyquist曲線

。

3、奈氏定理現(xiàn)在是29頁\一共有144頁\編輯于星期三4、穩(wěn)定性判據(jù)

奈氏判據(jù)（2）：若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(P=0),則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

奈氏判據(jù)（1）：反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是奈氏曲線逆時(shí)針包圍臨界點(diǎn)的圈數(shù)

N等于開環(huán)傳遞函數(shù)右半s

平面的極點(diǎn)數(shù)P,即N=P;否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定,閉環(huán)正實(shí)部特征根個(gè)數(shù)Z

可按下式確定現(xiàn)在是30頁\一共有144頁\編輯于星期三奈氏判據(jù)有如下特點(diǎn):

①

應(yīng)用開環(huán)頻率特性曲線判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。

開環(huán)頻率特性曲線可以按開環(huán)頻率特性繪制,也可以全部(或部分)由實(shí)驗(yàn)方法繪制;②便于研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)改變對(duì)穩(wěn)定性的影響;③很容易研究包含延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性;④④

奈氏判據(jù)稍加推廣還可用來分析某些非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性?，F(xiàn)在是31頁\一共有144頁\編輯于星期三0-1j（a）（b）0-1j0-1j（c）解：因開環(huán)都是穩(wěn)定的，即P=0,根據(jù)奈氏判據(jù)：圖（a）之奈氏曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)，即N=0，故Z=P-N=0，所以，系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖（b）之奈氏曲線恰好穿過（-1，j0）點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。

圖（c）之奈氏曲線順時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)兩圈，即N=-2，故Z=P-N=2≠0，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

例5-14

已知下圖各系統(tǒng)中開環(huán)都是穩(wěn)定的（即P=0），試根據(jù)各圖奈氏曲線分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。

現(xiàn)在是32頁\一共有144頁\編輯于星期三例5-15

一單位反饋系統(tǒng),其開環(huán)傳遞函數(shù)試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性

解:

開環(huán)頻率特性為開環(huán)幅相曲線為圖中的下半圓,當(dāng)時(shí)為圖中的上半圓,今P=1,N=1,故系統(tǒng)穩(wěn)定?，F(xiàn)在是33頁\一共有144頁\編輯于星期三5、開環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)奈氏判據(jù)的應(yīng)用

若開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)包含虛軸上的極點(diǎn),則閉曲線s

應(yīng)稍作變動(dòng),使其不過此極點(diǎn)。例如G(s)H(s)包含積分環(huán)節(jié)時(shí),習(xí)慣上以半徑趨于零的半圓在原點(diǎn)右側(cè)繞過這一極點(diǎn),小半圓通過G(s)H(s)映射到G(s)H(s)平面的象是半徑趨于無窮的圓弧。→0jj現(xiàn)在是34頁\一共有144頁\編輯于星期三[結(jié)論]用上述形式的奈氏路徑，奈氏判據(jù)仍可應(yīng)用于Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)。但零值極點(diǎn)不包括在右半開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目中。例1：設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：顯然這是1型系統(tǒng)。先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線。從圖上看出：映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，逆時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而，故，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。現(xiàn)在是35頁\一共有144頁\編輯于星期三例2:

某Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示，且s右半平面無極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：首先畫出完整的奈氏曲線的映射曲線。如右圖：從圖上可以看出：映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)兩圈。因，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的?，F(xiàn)在是36頁\一共有144頁\編輯于星期三

用奈氏判據(jù)判斷反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí),一般只需繪制從0到∞時(shí)的開環(huán)幅相曲線,然后按其包圍臨界點(diǎn)圈數(shù)N*(逆時(shí)針方向包圍時(shí),N*為正;順時(shí)針方向包圍時(shí),N*為負(fù))和開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)P,根據(jù)公式

確定閉環(huán)特征方程正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。

如果Z為零,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;否則,閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定?，F(xiàn)在是37頁\一共有144頁\編輯于星期三

如果開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)包含積分環(huán)節(jié),且假定個(gè)數(shù)為v,則繪制開環(huán)幅相曲線后,應(yīng)從與頻率0+

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)開始,逆時(shí)針方向補(bǔ)畫v/4個(gè)半徑無窮大的圓?，F(xiàn)在是38頁\一共有144頁\編輯于星期三例5-16

一單位反饋系統(tǒng),其開環(huán)傳遞函數(shù)

解:

系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖示.圖中,虛線是按v=2從幅相曲線為0+

點(diǎn)逆時(shí)針方向補(bǔ)畫的半圓.

由幅相曲線看到,曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈,即N*=-1,而開環(huán)傳遞函數(shù)右半s平面的極點(diǎn)數(shù)為零,即P=0.因此,閉環(huán)特征方程正實(shí)部根個(gè)數(shù)故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性?，F(xiàn)在是39頁\一共有144頁\編輯于星期三例5-17

下述各圖所示系統(tǒng)開環(huán)都是穩(wěn)定的，試根據(jù)其開環(huán)幅相曲線分析各系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

av=1bv=1cv=2dv=3解：因?yàn)橄到y(tǒng)開環(huán)都是穩(wěn)定的，即P=0根據(jù)各系統(tǒng)的所含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，故將其開環(huán)幅相曲線分別補(bǔ)足1/4，1/4，1/2，3/4個(gè)圓，如圖所示。

現(xiàn)在是40頁\一共有144頁\編輯于星期三a，c，d圖開環(huán)幅相曲線均不包圍（-1，0j），故N*=0，所以，

Z=P-2N*=0即它們對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。b圖開環(huán)幅相曲線順時(shí)針包圍（-1，0j）一圈，故N*=-1，所以，Z=P-2N*=2≠0即對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

av=1bv=1cv=2dv=3現(xiàn)在是41頁\一共有144頁\編輯于星期三例5-18

設(shè)某系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如下圖所示,給出了半封閉曲線的所有趨勢(shì)段：

此時(shí)，增益K=500，S右半平面的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P=0。試討論K在不同范圍內(nèi)取正值時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性，并指出系統(tǒng)在右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。ImRe0-50-20-0.05=+0=+現(xiàn)在是42頁\一共有144頁\編輯于星期三解：首先，由開環(huán)幅相（極坐標(biāo)）曲線可以確定，Nyquist曲線會(huì)有無限大圓弧，且為一個(gè)整圓，因此，開環(huán)傳遞函數(shù)在原點(diǎn)處有2重極點(diǎn)（2個(gè)180度），可以記為：

記幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)的對(duì)應(yīng)頻率（稱為穿越頻率）分別為、、，且（不必求出）。因此有現(xiàn)在是43頁\一共有144頁\編輯于星期三現(xiàn)在是44頁\一共有144頁\編輯于星期三ImRe0=+0=+K1=10-1K2=25-1-1K3=1000系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，K的取值范圍為和。其他情況下，系統(tǒng)在右半平面有2個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。

現(xiàn)在是45頁\一共有144頁\編輯于星期三1）繪制極坐標(biāo)圖2）補(bǔ)半圈(的極坐標(biāo)圖)3）,補(bǔ)半徑為無窮大的圓弧4）圖形圍繞旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)5）P=?判斷閉環(huán)穩(wěn)定性利用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟現(xiàn)在是46頁\一共有144頁\編輯于星期三一種簡(jiǎn)易的奈氏判據(jù)

（1）正、負(fù)穿越的概念G(jω)H(jω)曲線對(duì)稱實(shí)軸。應(yīng)用中只畫部分。所謂“穿越”是指軌跡穿過段。正穿越：從上而下穿過該段一次（相角增加），用表示。負(fù)穿越：由下而上穿過該段一次（相角減少），用表示。現(xiàn)在是47頁\一共有144頁\編輯于星期三

正穿越

負(fù)穿越現(xiàn)在是48頁\一共有144頁\編輯于星期三例：現(xiàn)在是49頁\一共有144頁\編輯于星期三

若G(jω)H(jω)軌跡起始或終止于(-1,j0)以左的負(fù)軸上，則穿越次數(shù)為半次，且同樣有+1/2次穿越和-1/2次穿越。(－1.j0)0-1+1-1/2+1/2+1/2-1/2現(xiàn)在是50頁\一共有144頁\編輯于星期三例：現(xiàn)在是51頁\一共有144頁\編輯于星期三

如果G(jω)H(jω)按逆時(shí)針方向繞(-1,j0)一周，則必正穿越一次。反之，若按順時(shí)針方向包圍點(diǎn)(-1,j0)一周，則必負(fù)穿越一次。這種正負(fù)穿越之和即為G(jω)H(jω)包圍的圈數(shù)。故奈氏判據(jù)又可表述為：

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)由0變化到時(shí)，G(jω)H(jω)曲線在（-1，j0）點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸上的正負(fù)穿越之和為P/2圈。

P為開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)。此時(shí)

Z=P-2N*現(xiàn)在是52頁\一共有144頁\編輯于星期三若開環(huán)傳遞函數(shù)無極點(diǎn)分布在S右半平面，即，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件應(yīng)該是N*=0。注意：這里對(duì)應(yīng)的ω變化范圍是。現(xiàn)在是53頁\一共有144頁\編輯于星期三

例:某系統(tǒng)G(jω)H(jω)軌跡如下，已知有2個(gè)開環(huán)極點(diǎn)分布在s的右半平面，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性.解：系統(tǒng)有2個(gè)開環(huán)極點(diǎn)分布在s的右半平面（P=2），現(xiàn)在是54頁\一共有144頁\編輯于星期三

解續(xù)：G(jω)H(jω)軌跡在點(diǎn)(-1,j0)以左的負(fù)實(shí)軸有2次正穿越，1次負(fù)穿越，因?yàn)椋篘*=,求得：Z=P-2N*=2-2=0所以系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)?，F(xiàn)在是55頁\一共有144頁\編輯于星期三F包圍原點(diǎn)(0,0)的周數(shù)N=P-Z5)Nyquist圍線s

：包圍整個(gè)右半平面F包圍原點(diǎn)(0,0)的周數(shù)n=p-z4）圍線映射：若s包圍F(s)的z個(gè)零點(diǎn)和p個(gè)極點(diǎn)s平面右半平面沒有閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)，即Z=03)閉環(huán)穩(wěn)定：Z=閉環(huán)系統(tǒng)s右半平面極點(diǎn)數(shù)P=開環(huán)系統(tǒng)s右半平面極點(diǎn)數(shù)2)考慮s右半平面F(s)的零極點(diǎn)情況F(s)零點(diǎn)：閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)F(s)極點(diǎn)：開環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)1)F(s)=1+L(s)=1+GH(s)小結(jié)：現(xiàn)在是56頁\一共有144頁\編輯于星期三N=P-Z=P;L逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)P周；9)開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定：P>0

要求閉環(huán)穩(wěn)定：Z=0N=P-Z=0;L不包圍(-1,j0)8)開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定：P=0

要求閉環(huán)穩(wěn)定：Z=0L包圍(-1,j0)的周數(shù)N=P-Z7)Nyquist圍線s

：包圍整個(gè)右半平面L等于F整體向左移動(dòng)1F(0,0)點(diǎn)=L(-1,0)點(diǎn)6)F(s)=1+L(s)=1+GH(s)L(s)=F(s)-1FL(1,0)現(xiàn)在是57頁\一共有144頁\編輯于星期三11)GH(j)圖和GH(-j)圖關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(1)GH(j)極坐標(biāo)圖(2)(0,0)(3)GH(-j)圖10)當(dāng)s在Nyqusit圍線上取值時(shí)，L圖可以計(jì)算繪制出來，正好依托開環(huán)極坐標(biāo)圖。=-=+=0（3）（1）（2）GH(j)-GH(-j)現(xiàn)在是58頁\一共有144頁\編輯于星期三波德圖與極坐標(biāo)圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系穩(wěn)定A()=1()>-()=-

A()<1L()=0dB()>-

()=-

L()<0dB三、對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)現(xiàn)在是59頁\一共有144頁\編輯于星期三臨界穩(wěn)定

A()=1()=-L()=0dB()=-現(xiàn)在是60頁\一共有144頁\編輯于星期三不穩(wěn)定A()=1()<-()=-

A()>1L()=0dB()<-

()=-

L()>0dB現(xiàn)在是61頁\一共有144頁\編輯于星期三1、對(duì)數(shù)頻率特性曲線與Nyquist圖的對(duì)應(yīng)Nyquist幅相曲線自上而下(相角增加)穿越負(fù)實(shí)軸區(qū)間(-∞,-1)稱為正穿越

,用N+表示,自實(shí)軸區(qū)間(-∞,-1)上開始向下稱為半次正穿越;幅相曲線自下向上(相角減小)穿越負(fù)實(shí)軸區(qū)間(-∞,-1)稱為負(fù)穿越

,用N-

表示,自實(shí)軸區(qū)間(-∞,-1)上開始向上為半次負(fù)穿越

;則幅相曲線對(duì)臨界點(diǎn)包圍的圈數(shù)與正負(fù)穿越次數(shù)差相對(duì)應(yīng)?，F(xiàn)在是62頁\一共有144頁\編輯于星期三

對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)和奈氏判據(jù)本質(zhì)相同,只不過它按對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相頻曲線的相互關(guān)系來確定N而已?，F(xiàn)在是63頁\一共有144頁\編輯于星期三伯德圖與乃奎斯特圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

極坐標(biāo)圖

伯德圖單位圓 0db線（幅頻特性圖） 單位圓以內(nèi)區(qū)域 0db線以下區(qū)域單位圓以外區(qū)域0db線以上區(qū)域負(fù)實(shí)軸 -1800線（相頻特性圖）

【（2k+1）】現(xiàn)在是64頁\一共有144頁\編輯于星期三伯德圖上的正負(fù)穿越：

因此，奈氏曲線自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）點(diǎn)左邊的負(fù)實(shí)軸，相當(dāng)于在伯德圖中當(dāng)L(ω)>0db時(shí)相頻特性曲線自下而上（或自上而下）地穿越-180°線?，F(xiàn)在是65頁\一共有144頁\編輯于星期三

當(dāng)開環(huán)傳函G(s)H(s)包含積分環(huán)節(jié)時(shí),在對(duì)數(shù)相頻曲線為0+

的地方,應(yīng)該補(bǔ)畫一條從相角到的虛線,其中v是積分環(huán)節(jié)數(shù)。

計(jì)算正、負(fù)穿越時(shí),應(yīng)將補(bǔ)上的虛線看成對(duì)數(shù)相頻曲線的一部分。

由奈氏判據(jù)表明：若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定（P=0），則ω在（0，+∞）變化時(shí)，開環(huán)幅相曲線不包圍（-1，0j）點(diǎn)，即曲線繞（-1，0j）點(diǎn)的轉(zhuǎn)角為零時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定?，F(xiàn)在是66頁\一共有144頁\編輯于星期三

幅相曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)有兩種情況：

1）幅相曲線不穿越實(shí)軸上（-∞，-1）區(qū)間：2）幅相曲線穿越實(shí)軸上（-∞，-1）區(qū)間，但正穿越次數(shù)N+與負(fù)穿越N－次數(shù)相等。即在∣G（jω）∣＞1（即20lg∣G（jω）∣＞0）內(nèi)∠G（jω）對(duì)－π線的正、負(fù)穿越次數(shù)相等。

現(xiàn)在是67頁\一共有144頁\編輯于星期三比如：

-1P=0第一種情況-1P=0正負(fù)第二種情況N+=N－=1

N=N+－N－=0即相當(dāng)于沒有穿越?，F(xiàn)在是68頁\一共有144頁\編輯于星期三第一種情況：不穿越（-∞，-1），故閉環(huán)穩(wěn)定。第二種情況：穿越（-∞，-1）兩次，但正、負(fù)各一次，故閉環(huán)穩(wěn)定。

若開環(huán)不穩(wěn)定（P≠0），則ω在（0，+∞）變化時(shí)，要滿足：Z=P－2N*=0系統(tǒng)才能穩(wěn)定；否則閉環(huán)不穩(wěn)定。注意：G（jω）曲線的起點(diǎn)或終點(diǎn)如果在實(shí)軸（-∞，-1）上的穿越則為半次穿越。

現(xiàn)在是69頁\一共有144頁\編輯于星期三正負(fù)穿越小結(jié)在乃氏圖上，開環(huán)頻率特性，從上半部分穿過負(fù)實(shí)軸的段到實(shí)軸的下半部分，稱為正穿越；開環(huán)頻率特性從下半部穿過負(fù)實(shí)軸的段到實(shí)軸的上半部分，稱為負(fù)穿越；起始于（或終止于）段的負(fù)實(shí)軸的正、負(fù)穿越稱為正負(fù)半穿越；在伯德圖上，在幅值的區(qū)域內(nèi)，當(dāng)角頻率增加時(shí)，相頻特性曲線從下向上穿越線稱為正穿越；相頻特性曲線從上向下穿越

線稱為負(fù)穿越。現(xiàn)在是70頁\一共有144頁\編輯于星期三2、對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)

一個(gè)反饋控制系統(tǒng),其閉環(huán)特征方程正實(shí)部根個(gè)數(shù)Z,可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)右半s平面極點(diǎn)數(shù)P和開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的所有頻率范圍內(nèi),對(duì)數(shù)相頻曲線與-1800線的正、負(fù)穿越數(shù)之差N*=N+-N-

確定。Z為零,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;否則,不穩(wěn)定?，F(xiàn)在是71頁\一共有144頁\編輯于星期三例：某系統(tǒng)有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)在S右半平面（P=2）

解：

N+-N-=1-2=-1，不等于P/2（=1）【Z=P-2N=4】,所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定?，F(xiàn)在是72頁\一共有144頁\編輯于星期三例5-19

如下圖所示的乃氏曲線中，判別哪些是穩(wěn)定的，哪些是不穩(wěn)定的?，F(xiàn)在是73頁\一共有144頁\編輯于星期三解：所以系統(tǒng)穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)在是74頁\一共有144頁\編輯于星期三所以系統(tǒng)穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定所以系統(tǒng)穩(wěn)定現(xiàn)在是75頁\一共有144頁\編輯于星期三例5-20

一反饋控制系統(tǒng),其開環(huán)傳遞函數(shù)

解:

G(s)H(s)有兩個(gè)積分環(huán)節(jié),故在對(duì)數(shù)相頻曲線為0+

處,補(bǔ)畫了00到-1800的虛線,作為對(duì)數(shù)相頻曲線的一部分。

顯見

試用對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。根據(jù),P=0.由于,該系統(tǒng)不穩(wěn)定,閉環(huán)特征方程在右半s平面的根數(shù)為2?，F(xiàn)在是76頁\一共有144頁\編輯于星期三四、條件穩(wěn)定系統(tǒng)1、系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性影響

若開環(huán)增益增加到足夠大,以致,那么,系統(tǒng)就由穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài);如果開環(huán)傳遞系數(shù)減到足夠小,以致于,那么,閉環(huán)系統(tǒng)也由穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)。

一個(gè)反饋系統(tǒng),若開環(huán)傳遞函數(shù)右半s平面的極點(diǎn)數(shù)P=0,開環(huán)頻率特性曲線在開環(huán)傳遞系數(shù)(即開環(huán)增益)改變時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性將發(fā)生變化。

現(xiàn)在是77頁\一共有144頁\編輯于星期三2、條件穩(wěn)定78

只有開環(huán)傳遞系數(shù)在一定范圍內(nèi)時(shí),N才等于零,閉環(huán)系統(tǒng)才穩(wěn)定。

這一系統(tǒng)的穩(wěn)定是有條件的,稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。

對(duì)于條件穩(wěn)定系統(tǒng)來說,輸入信號(hào)過大時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象。這是由于輸入信號(hào)過大會(huì)引起輸出飽和現(xiàn)象發(fā)生,導(dǎo)致系統(tǒng)開環(huán)傳遞系數(shù)下降。現(xiàn)在是78頁\一共有144頁\編輯于星期三5-4頻域穩(wěn)定裕度現(xiàn)在是79頁\一共有144頁\編輯于星期三

0ω

ωg

ωc

j

-1

G(jωc)H(jωc)G(jωg)H(jωg)一、臨界穩(wěn)定

一般情況下,我們考慮開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng),則P=0。那么在Nyquist曲線只有不包圍(-1,j0)時(shí)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。當(dāng)幅相曲線經(jīng)過這點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。定義：使得幅相曲線穿越實(shí)軸的頻率ωg（ωx）為穿越頻率。幅頻特性為1的頻率為截止頻率。∠G(jωg)H(jωg)=-180°|G(jωc)H(jωc)|=1現(xiàn)在是80頁\一共有144頁\編輯于星期三ba-110jr1/h若系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖：考慮a點(diǎn)：但再考慮b點(diǎn)：但若a點(diǎn)沿著單位圓順時(shí)針轉(zhuǎn)過r角，則同時(shí)成立。

若b點(diǎn)沿著負(fù)實(shí)軸向左移動(dòng)到(-1,j0)點(diǎn)，則同時(shí)成立。頻率域內(nèi)，穩(wěn)定系統(tǒng)有2條途徑滑向臨界穩(wěn)定，因此，有2個(gè)穩(wěn)定裕度指標(biāo)。二、穩(wěn)定裕度現(xiàn)在是81頁\一共有144頁\編輯于星期三其中，ωg為穿越頻率。其定義的含義：如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系數(shù)增大到原來的h倍，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

0ω

ωg

ωc

j

-1

G(jωc)H(jωc)G(jωg)H(jωg)

h稱為幅值裕度

1、幅值裕度h的定義：

幅相曲線上相角為-180°時(shí)所對(duì)應(yīng)的幅值之倒數(shù)。即（-1，0j）點(diǎn)的幅值與ω=ωg的幅值之比。即：

1h=—————————∣G（jωg）H（jωg）∣

注意：即使h相同，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度也可以不同?，F(xiàn)在是82頁\一共有144頁\編輯于星期三

其中，ωc為系統(tǒng)截止頻率（零分貝頻率）

。其定義的含義：如果系統(tǒng)對(duì)頻率為截止頻率的信號(hào)的相角滯后再增大度，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

γ稱為相位裕度2、相角裕度γ的定義：

180°加上開環(huán)幅相曲線幅值等于1時(shí)的相角。即：

γ=180°＋∠G（jωc）H（jωc）=180°＋φ（ωc）γ的理解：指幅相曲線上幅值等于1的復(fù)向量與負(fù)實(shí)軸的夾角。

現(xiàn)在是83頁\一共有144頁\編輯于星期三ba-110j1/h

僅用相角裕量或幅值裕量都不能較全面地描述系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。上述兩個(gè)系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)都是很差的，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性也很差。-110j1/h現(xiàn)在是84頁\一共有144頁\編輯于星期三幅值裕度:當(dāng)

如果系統(tǒng)穩(wěn)定，L()再向上移動(dòng)多少分貝系統(tǒng)就不穩(wěn)定了。如果是系統(tǒng)不穩(wěn)定，L()再改善多少分貝系統(tǒng)就穩(wěn)定了。3、在Bode圖中求取h和γ

現(xiàn)在是85頁\一共有144頁\編輯于星期三開環(huán)截止頻率相角裕度：當(dāng)

如果系統(tǒng)穩(wěn)定，()再負(fù)多少度系統(tǒng)就不穩(wěn)定了。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，相反，()再改善多少度系統(tǒng)就穩(wěn)定了?，F(xiàn)在是86頁\一共有144頁\編輯于星期三穩(wěn)定系統(tǒng)ba-110j1/h不穩(wěn)定系統(tǒng)ba-110j1/h現(xiàn)在是87頁\一共有144頁\編輯于星期三結(jié)論：對(duì)于開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的條件為：γ＞0，h＞1；且γ和h越大，系統(tǒng)越穩(wěn)定；否則，γ＜0，h＜1，系統(tǒng)不穩(wěn)定。注意：（1）只有最小相位系統(tǒng)，當(dāng)>0，h>1兩個(gè)條件同時(shí)滿足時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）對(duì)于非最小相位系統(tǒng)，不能用>0，h>1兩個(gè)條件判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性?，F(xiàn)在是88頁\一共有144頁\編輯于星期三注意：（3）對(duì)于最小相位系統(tǒng)，越大，h越大，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性越好，但同時(shí)考慮系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)誤差。

工程設(shè)計(jì)中，一般?。?/p>

1）γ=30°～70°（45°最佳）；

2）h≥4～6dB以上；

3）在ωc附近Bode圖的斜率控制在-20～

-40dB/dec（以-20較理想）?，F(xiàn)在是89頁\一共有144頁\編輯于星期三解：解法一：

根據(jù)G（jω）=k/jω（jω+1）（jω/5+1），在ω∈（0，+∞）內(nèi)求出相應(yīng)的∣G（jω）∣和∠G（jω），并分別畫出當(dāng)K=2和K=20時(shí)的兩條幅相曲線如下圖所示。

例5-21

某單位負(fù)反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為：

G（S）=k/S（S+1）（S/5+1），試分別求K=2和K=20時(shí)，系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。

從圖中分別讀得：現(xiàn)在是90頁\一共有144頁\編輯于星期三

當(dāng)：K=2時(shí)，γ1≈24°＞0

，

h1=1/∣-0.3∣≈3.33＞1,故此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定;

K=20時(shí),γ2

≈

－24°＜0，

h2=1/∣-3.2∣≈

0.313＜1,此時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定;

γ1γ2K=20K=2-2j0現(xiàn)在是91頁\一共有144頁\編輯于星期三解法二:由G(S)繪制系統(tǒng)的Bode圖如下:1520-180°-270°當(dāng)K=2時(shí),對(duì)應(yīng)∣G（jωc）∣=1時(shí),有∠G（jωc）=-156°，故：γ1=180°+(-156°)=24°

對(duì)應(yīng)∠G（jωg）=-180°時(shí),20lgh1=－20lg∣G（jωg）∣

=-(-10)=10故h1=3.16現(xiàn)在是92頁\一共有144頁\編輯于星期三同理,當(dāng)K=20時(shí),對(duì)應(yīng)∣G（jωc）∣=1時(shí),有∠G（jωc）=-204°，故γ2=180°+(-204°)=－24°,

對(duì)應(yīng)∠G（jωg）=-180°時(shí),

20lgh2=－20lg∣G（jωg）∣=-(10)=-10

故h2=0.316可見,當(dāng)K=2時(shí),系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)K=20時(shí),系統(tǒng)不穩(wěn)定。

1520-180°-270°現(xiàn)在是93頁\一共有144頁\編輯于星期三解：（1）已知P=0，且從圖中可知

N=-1，故Z=P-2N=2,所以，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；

（2）串入一個(gè)1/S后，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性變?yōu)椋?/p>

0-1．4(ω=5)0．7(ω=250)

-1

-1.3(ω=10)∣G2（jω）∣=∣G（jω）H（jω）∣/∣jω∣=∣G1（jω）∣/∣jω∣∠G2（jω）=-90°+∠G1（jω）

例5-22

某系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G（jω）H（jω）如下，且P=0。1)試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2)若再串入一個(gè)積分環(huán)節(jié)1/S，試重新判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

現(xiàn)在是94頁\一共有144頁\編輯于星期三0-1．4(ω=5)0．7(ω=250)

-1

-1.3(ω=10)其中∣G1（jω）∣和∠G1（jω）分別為原來的幅頻和相頻特性。

當(dāng)ω=0時(shí)，∣G2（jω）∣=∞；∠G2（jω）=-90°

當(dāng)ω=5時(shí)，∣G2（j5）∣=1.4/5=0.28；∠G2（j5）=-180°

當(dāng)ω=10時(shí)，∣G2（j10）∣=1.3/10=0.13；∠G2（j10）=-270°

當(dāng)ω=250時(shí)，∣G2（j250）∣=0.7/250=0.0028；∠G2（j250）=0°當(dāng)ω=∞時(shí)，∣G2（j∞）∣=0；∠G2（j∞）=-90°

由此,可繪制G2（jω）幅相特性曲線如下:

∣G2（jω）∣=∣G1（jω）∣/∣jω∣∠G2（jω）=-90°+∠G1（jω）

現(xiàn)在是95頁\一共有144頁\編輯于星期三0-1已知:P=0，且從圖中可知N=0，故Z=P-2N=0，所以，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；

現(xiàn)在是96頁\一共有144頁\編輯于星期三5-5頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系

現(xiàn)在是97頁\一共有144頁\編輯于星期三一、開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系二、閉環(huán)頻率特性與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系現(xiàn)在是98頁\一共有144頁\編輯于星期三

常將開環(huán)頻率特性分成低、中、高三個(gè)頻段。一、開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系-40dB/dec-40dB/dec-20dB/dec低頻段高頻段中頻段0ωdB

L(ω)ωcω1ω2

三個(gè)頻段分別與系統(tǒng)性能有對(duì)應(yīng)關(guān)系，下面具體討論?，F(xiàn)在是99頁\一共有144頁\編輯于星期三1．低頻段低頻段由積分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)構(gòu)成：

G(s)=sKυ對(duì)數(shù)幅頻特性為：ω0KKνKυ=0υ=1υ=2-20υKυG(jωω

)=

)(jL(ω

)=20lgA()ωK=20lgυω=20lgK-v20lgω根據(jù)分析可得如圖所示的結(jié)果：

可知：

曲線位置越高，K值越大；低頻段斜率越負(fù)，積分環(huán)節(jié)數(shù)越多。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能越好。dB

L(ω)現(xiàn)在是100頁\一共有144頁\編輯于星期三

2.中頻段

穿越頻率ωc附近的區(qū)段為中頻段。它反映了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性和快速性。(1)穿越頻率ωc與動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系可近似認(rèn)為整個(gè)曲線是一條斜率為

-20dB/dec的直線。設(shè)系統(tǒng)如圖:-20dB/dec0+20-20開環(huán)傳遞函數(shù)：G(s)≈

sK閉環(huán)傳遞函數(shù)為：ts≈3T穿越頻率ωc

反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快速性。s=ωcss1+ωc(s)=φωc1s+11=ωc=3ωcωdB

L(ω)ωc現(xiàn)在是101頁\一共有144頁\編輯于星期三(2)中頻段的斜率與動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系設(shè)系統(tǒng)如圖:-40dB/dec0+20-20開環(huán)傳遞函數(shù)：G(s)≈

s2K閉環(huán)傳遞函數(shù)為：處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)

中頻段斜率為-40dB/dec

，所占頻率區(qū)間不能過寬，否則系統(tǒng)平穩(wěn)性難以滿足要求。通常，取中頻段斜率為-20dB/dec

。

可近似認(rèn)為整個(gè)曲線是一條斜率為

-40dB/dec的直線。s2=ω2c1+(s)=φs2ω2cs2ω2cs2+

=cω2cω2ωdB

L(ω)ωc現(xiàn)在是102頁\一共有144頁\編輯于星期三例5-23

試分析中頻段與相對(duì)穩(wěn)定性的關(guān)系。ω1-20dB/dec0ω2-40dB/decω3-40dB/dec(1)曲線如圖對(duì)應(yīng)的頻率特性:γ=72o～54o設(shè)：G(jK(1+j)(1+j))(1+jωωωωω1ω2ω3ωj)=)=-90o-tg-1cc+tg-1c-tg-1(ωφcω1ωω2ωω3ωc==33c2ωωωωc2ωωtg-1=tg-13=72o13c3ωωtg-1=tg-1=18o=-126o)(ωφcωdB

L(ω)ωc可求得:=0

ω1=-108o)(ωφcω1=ω1ω2ω1-20dB/decω1現(xiàn)在是103頁\一共有144頁\編輯于星期三ω1-20dB/decω2-60dB/decω3-20dB/dec(2)曲線如圖-40dB/dec對(duì)應(yīng)的頻率特性:同樣的方法可得:γ=72o～36o=-108o～-144o)(ωφcωdB

L(ω)ωcω2G(jK(1+j)(1+j))(1+jωωωω1ω2ω3ωj)=2現(xiàn)在是104頁\一共有144頁\編輯于星期三(3)曲線如圖ω1-20dB/dec0ω2-60dB/dec-40dB/dec對(duì)應(yīng)的頻率特性:同樣的方法可得:γ=18o～-18oω2G(jK(1+j)(1+j)ωωω1ω2ωj)=ωdB

L(ω)ωc=-162o～-198o)(ωφc上述計(jì)算表明，中頻段的斜率反映了系統(tǒng)的平穩(wěn)性?，F(xiàn)在是105頁\一共有144頁\編輯于星期三3．高頻段

高頻段反映了系統(tǒng)對(duì)高頻干擾信號(hào)的抑制能力。高頻段的分貝值越低，系統(tǒng)的抗干擾能力越強(qiáng)。高頻段對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的小時(shí)間常數(shù)，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能影響不大。一般即L(ω

)=20lg|G(j)|<<0ω|G(j)|<<1ω≈|G(j)|ω)|=(jωφ|1+G(j)|ω|G(j)|ω|現(xiàn)在是106頁\一共有144頁\編輯于星期三4．二階系統(tǒng)開環(huán)頻率特性與動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系開環(huán)傳遞函數(shù)：ωdB

L(ω)020-20-20dB/decωn2ζ-40dB/decω0-90-180)

(ωφγ平穩(wěn)性:σ%γ快速性:

ts

G(s)=2s(s+2)ζnωnω)=(jjωnω2G(j+2)ζnωωω)=ω2A(2+(2)ζnωωωnω2)=-90o-tg-12nω(ωφζωcωωc現(xiàn)在是107頁\一共有144頁\編輯于星期三(1)相位裕量γ和超調(diào)量σ%之間的關(guān)系得0<ζ<0.707近似為0.20.40.60.81.010203040506070800204060801001201400ζσ%γγσ%)=ω2A(2+(2)ζnωωωnω2cc=1cω42ζnω2cω2nω4+4-=0

=tg-1-22+14ζ4ζ2ζcωnω-2=+14ζ4ζ22=tg-1ζnωcω=180o-90o-tg-12ζnωcωγ=180o+)

(ωφcσ%=100%e-ζζπ1-2=100ζγ)

(ωcγ越大，σ%越??；反之亦然。ζ與γ、σ%之間的關(guān)系曲線現(xiàn)在是108頁\一共有144頁\編輯于星期三根據(jù)：

調(diào)節(jié)時(shí)間

ts

與ωc以及γ有關(guān)。γ不變時(shí)，穿越頻率ωc

越大，調(diào)節(jié)時(shí)間越短。得得(2)cω、γ與ts

之間的關(guān)系ts=3ζnωcωnω-2=+14ζ4ζ2ts·3=cωζ-2+14ζ4ζ2ts·tg6γcω=

=tg-12γ-2+14ζ4ζ2ζ再根據(jù)：現(xiàn)在是109頁\一共有144頁\編輯于星期三例5-24

分析隨動(dòng)系統(tǒng)的性能，求出系統(tǒng)的頻域指標(biāo)ωc、γ和時(shí)域指標(biāo)σ%、ts。s(0.5s+1)20θr(s)θc(s)-解：(1)隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖s(0.5s+1)20G(s)=ωdB

L(ω)020-20-20dB/dec-40dB/decω0-90-180)

(ωφ2可得：=180o-90o-tg-1(0.5×6.3)=90o-72.38o=17.62oγcω0.520≈12=6.3cωγ=180o+)

(ωφcζ=γ/100=0.176=3s=57%cωnω-2=+14ζ4ζ2σ%=100%e-ζζπ1-2tstg6γcω=ωc=6.5現(xiàn)在是110頁\一共有144頁\編輯于星期三加入比例微分環(huán)節(jié)1)

τ=0.01θr(s)s(0.5s+1)20θc(s)-s+1τ解：s(0.5s+1)20(0.01s+1)G(s)=ωdB

L(ω)020-20-20dB/dec-40dB/decω0-90-180)

(ωφ2100-20dB/dec可得γ=180o-90o-tg-1(0.5×6.3)+tg-1(

0.01×6.3)=21.22oγζ=γ/100=0.21=6.59σ%=51%ts=2.4scω0.520≈12=6.3cωcωnω-2=+14ζ4ζ2ωc另外所以現(xiàn)在是111頁\一共有144頁\編輯于星期三2)τ=0.2s(0.5s+1)20(0.2s+1)G(s)=ωdB

L(ω)020-20-40dB/decω0-90-180)

(ωφ25-20dB/dec-20dB/decγ=180o-90o-tg-1(0.5×8)+tg-1(0.2×8)=72oγ由于只能通過閉環(huán)傳遞函數(shù)求性能指標(biāo)。s2+10s+4040(0.2s+1)φ(s)=ζ=0.79σ%=1.7%系統(tǒng)響應(yīng)加快,穩(wěn)定裕量增加。=8cω20×0.2≈1cω0.52cωγ＞70o＞0.7ζ(6.45ts=1ζnω-1.7)=0.54sωc現(xiàn)在是112頁\一共有144頁\編輯于星期三二、閉環(huán)頻率特性與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系

根據(jù)開環(huán)頻率特性來分析系統(tǒng)的性能是控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的一種主要方法，它的特點(diǎn)是簡(jiǎn)便實(shí)用。但在工程實(shí)際中，有時(shí)也需了解閉環(huán)頻率特性的基本概念和二階系統(tǒng)中閉環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)之間的關(guān)系?，F(xiàn)在是113頁\一共有144頁\編輯于星期三對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的關(guān)系：

對(duì)于一般系統(tǒng)的閉環(huán)和開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的關(guān)系：對(duì)于要求確定系統(tǒng)頻帶寬度，諧振峰值和諧振頻率等性能指標(biāo)就要求繪制閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性。對(duì)于非單位反饋系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性的繪制，只要經(jīng)過上述處理即可?，F(xiàn)在是114頁\一共有144頁\編輯于星期三考察開環(huán)幅相曲線

求得不同頻率對(duì)應(yīng)的閉環(huán)幅值和相角后，就可得閉環(huán)頻率特性，畫出閉環(huán)頻率特性曲線；在工程上常用等M和等N圓圖或尼柯爾斯圖線，直接由單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線繪制閉環(huán)頻率曲線?，F(xiàn)在是115頁\一共有144頁\編輯于星期三（一）閉環(huán)頻率特性曲線繪制的方法(1)等M圓和等N圓1.等M圓圖可以作閉環(huán)幅頻特性曲線。假設(shè)開環(huán)頻率特性和閉環(huán)頻率特性分別為則有令M為常數(shù)，則上式表示為一個(gè)圓。現(xiàn)在是116頁\一共有144頁\編輯于星期三等M圓現(xiàn)在是117頁\一共有144頁\編輯于星期三等M圓圖表明：當(dāng)時(shí)的所有圓均落在直線的左邊，且隨著M值的增大，M圓越來越小，最后收斂于點(diǎn)；相反，當(dāng)時(shí)的所有M圓均落在直線的右側(cè)，隨著M值的減小，M圓也越來越小，最后收斂于坐標(biāo)原點(diǎn)。現(xiàn)在是118頁\一共有144頁\編輯于星期三2.等N圓圖

應(yīng)用等N圓作閉環(huán)相頻特性曲線。令圓心：半徑：現(xiàn)在是119頁\一共有144頁\編輯于星期三等N圓現(xiàn)在是120頁\一共有144頁\編輯于星期三用等M圓圖和等N圓圖求閉環(huán)幅頻特性和相頻特性通過開環(huán)幅相特性曲線與等M圓圖的交點(diǎn)，可以得到相應(yīng)頻率的M值，即閉環(huán)幅頻值。通過開環(huán)幅相特性曲線與等N圓圖的交點(diǎn)，可以得到相應(yīng)頻率的N值（或），即閉環(huán)相頻值。現(xiàn)在是121頁\一共有144頁\編輯于星期三具體方法：只要在繪有等M圓圖簇或等N圓圖簇的復(fù)平面上，以相同的比例尺繪出系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性，然后由開環(huán)幅相曲線和等M圓、等N圓的交點(diǎn)處，分別讀得頻率值、閉環(huán)頻率特性的幅值和相角，從而得到系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性和閉環(huán)相頻特性，如下圖所示?，F(xiàn)在是122頁\一共有144頁\編輯于星期三現(xiàn)在是123頁\一共有144頁\編輯于星期三閉環(huán)頻率特性現(xiàn)在是124頁\一共有144頁\編輯于星期三(2)尼柯爾斯曲線

尼柯爾斯圖線由兩簇曲線所組成，一簇是對(duì)應(yīng)于閉環(huán)頻率特性的幅值()為定值時(shí)的軌跡(相當(dāng)于等M圓)；另一簇則是對(duì)應(yīng)于閉環(huán)頻率特性的相角()為定值時(shí)的軌跡(相當(dāng)于等N圓)。現(xiàn)在是125頁\一共有144頁\編輯于星期三尼柯爾斯曲線現(xiàn)在是126頁\一共有144頁\編輯于星期三按照如下步驟由系統(tǒng)開環(huán)頻率特性可獲得系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性可以利用Matla