第四章數(shù)值積分與微分

第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分4.1數(shù)值積分概論4.1.1數(shù)值積分的基本思想一、問題如何求積分高等數(shù)學(xué)中的處理方法：由微積分學(xué)基本定理，當(dāng)f(x)在[a,b]

上連續(xù)時(shí)，存在原函數(shù)F(x)，由牛頓-萊布尼茨Newton-Leibniz公式有：？但有時(shí)用上面的方法計(jì)算定積分有困難4.1數(shù)值積分概論N-L失效的情形：（1）不易求f(x)的原函數(shù)F(x)，例如：（3）f(x)的原函數(shù)F(x)雖然可用初等函數(shù)形式表示，但表達(dá)式很復(fù)雜，例如：（2）f(x)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)形式表示，例如:4.1數(shù)值積分概論因此，有必要研究定積分的數(shù)值計(jì)算問題，即用數(shù)值方法計(jì)算定積分的近似值。（4）f(x)

本身沒有解析表達(dá)式，其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形給出，例如實(shí)驗(yàn)或測(cè)量數(shù)據(jù).如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，由積分中值定理知：

稱為[a,b]上的平均高度。二、構(gòu)造數(shù)值積分公式的基本思想4.1數(shù)值積分概論問題：點(diǎn)的具體位置一般是不知道的，因而難以準(zhǔn)確算出的值，怎么辦？對(duì)采用不同的近似計(jì)算方法，從而得到各種不同的數(shù)值求積公式。（1）

左矩形公式：（2）右矩形公式：（3）中矩形公式：（4）梯形公式：4.1數(shù)值積分概論4.1數(shù)值積分概論將這種思想一般化：一般地，在積分區(qū)間[a,b]上適當(dāng)?shù)剡x取某些節(jié)點(diǎn)xk，然后用f(xk)加權(quán)平均得到，這樣構(gòu)造出的求積公式為：其中：點(diǎn)xk叫求積節(jié)點(diǎn),系數(shù)Ak叫求積系數(shù).Ak僅與節(jié)點(diǎn)xk的選取有關(guān),而與被積函數(shù)f(x)的具體形式無關(guān).4.1數(shù)值積分概論機(jī)械求積公式：特點(diǎn)：將積分求值問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算函數(shù)值得問題，避開了原函數(shù)。這類數(shù)值積分方法通常稱為機(jī)械求積。求積誤差：4.1數(shù)值積分概論

機(jī)械求積公式的構(gòu)造歸結(jié)為：確定求積節(jié)點(diǎn)xk和求積系數(shù)Ak，使在某種意義下精確度較高。總之，要解決四個(gè)問題：1.精確度的度量標(biāo)準(zhǔn)；2.如何構(gòu)造具體的求積公式；3.具體求積公式構(gòu)造出來后，誤差如何估計(jì)？4.求積公式的收斂性和穩(wěn)定性？機(jī)械求積公式：4.1數(shù)值積分概論4.1.代數(shù)精度的概念--問題1

數(shù)值求積是近似方法，為要保證精度，我們自然希望求積公式能對(duì)“盡可能多”的函數(shù)準(zhǔn)確地成立。

求積公式(1.1)是否具有m次代數(shù)精度，通常用如下方法來判斷，分別取，滿足：（1.1）4.1數(shù)值積分概論例1

試構(gòu)造下列數(shù)值求積公式，使之具有盡可能高的代數(shù)精度.解：令它對(duì)于準(zhǔn)確成立，可列出方程4.1數(shù)值積分概論三次代數(shù)精度4.1數(shù)值積分概論

如果我們事先選定求積節(jié)點(diǎn)xk，譬如，以區(qū)間[a,b]的等距分點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，這時(shí)取m=n求解方程組即可確定求積系數(shù)Ak，而使求積公式至少具有n次代數(shù)精度.

4.1數(shù)值積分概論

課堂練習(xí)：左矩形公式、右矩形公式、中矩形公式和梯形公式分別具有幾次代數(shù)精度？4.1數(shù)值積分概論（1）

左矩形公式：

（2）右矩形公式：

（3）中矩形公式：

（4）梯形公式：4.1數(shù)值積分概論1次代數(shù)精度1次代數(shù)精度1次代數(shù)精度1次代數(shù)精度

解當(dāng)f(x)=1時(shí),

此時(shí)公式精確成立。例

驗(yàn)證梯形公式具有一次代數(shù)精度。4.1數(shù)值積分概論當(dāng)

f(x)=x時(shí)，公式也精確成立。當(dāng)

f(x)=x2

時(shí)，公式對(duì)x2不精確成立.故由定義1知,梯形公式的代數(shù)精度為1次.4.1數(shù)值積分概論4.1數(shù)值積分概論代數(shù)精度與誤差的關(guān)系：代數(shù)精度越高，求積誤差越小。4.1數(shù)值積分概論問題2-----如何構(gòu)造出上面的求積公式，原則上是一個(gè)確定參數(shù)xk和Ak的代數(shù)問題。4.1數(shù)值積分概論當(dāng)求積公式具有m階代數(shù)精度時(shí)，則m+1個(gè)方程，2n+2個(gè)未知數(shù)由上面代數(shù)精度條件確定求積公式可分為兩種情形：4.1數(shù)值積分概論方法1——待定系數(shù)法4.1數(shù)值積分概論4.1數(shù)值積分概論設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn)且已知f(x)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值f(xk),則可求得f(x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式(因?yàn)長(zhǎng)n(x)的原函數(shù)易求)其中l(wèi)k(x)為插值基函數(shù),取則f(x)Ln(x)方法2——插值型求積公式4.1數(shù)值積分概論由上式確定系數(shù)的公式稱為插值型求積公式。即4.1數(shù)值積分概論由插值余項(xiàng)定理,其求積余項(xiàng)為其中=(x)

如果求積公式是插值型的，按照插值余項(xiàng)式子，對(duì)于次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式f(x)，其余項(xiàng)R(f)等于零，因而這時(shí)求積公式至少具有n次代數(shù)精度.4.1數(shù)值積分概論

反之，如果求積公式至少具有n次代數(shù)精度，則它必定是插值型的.事實(shí)上，這時(shí)求積公式對(duì)于插值基函數(shù)lk(x)應(yīng)準(zhǔn)確成立，即有注意到lk(xj)=δkj，上式右端實(shí)際上即等于Ak，因而下面式子成立.4.1數(shù)值積分概論推論:求積系數(shù)滿足:4.1數(shù)值積分概論構(gòu)造插值求積公式有如下特點(diǎn)：復(fù)雜函數(shù)f(x)的積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算多項(xiàng)式的積分求積系數(shù)Ak只與積分區(qū)間及節(jié)點(diǎn)xk有關(guān)，而與被積函數(shù)f(x)無關(guān)，可以不管f(x)如何，預(yù)先算出Ak的值

n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插