2022-2023學年少兒英語二級《6階段強化專訓》

2022-2023學年專訓1構造三角函數(shù)的基本圖形解決實際問題中的四種數(shù)學模型名師點金：解直角三角形及其應用是近幾年各地中考命題的熱點之一，考查內(nèi)容不僅有傳統(tǒng)的計算距離、高度、角度的應用題，還有要求同學們根據(jù)題中給出的信息構建三角函數(shù)的基本圖形，建立數(shù)學模型，將某些簡單的實際問題轉化為數(shù)學問題，把數(shù)學問題轉化為銳角三角函數(shù)問題來求解．運用銳角三角函數(shù)知識解決與實際生活、生產(chǎn)相關的應用題是近年來中考的熱點題型．構造一個直角三角形解決實際問題1．(2016·山西)太陽能光伏發(fā)電因其清潔、安全、便利、高效等特點，已成為世界各國普遍關注和重點發(fā)展的新興產(chǎn)業(yè)．如圖是太陽能電池板支撐架的截面圖，其中的粗線表示支撐角鋼，太陽能電池板與支撐角鋼AB的長度相同，均為300cm，AB的傾斜角為30°，BE＝CA＝50cm，支撐角鋼CD，EF與底座地基臺面接觸點分別為D，F(xiàn)，CD垂直于地面，F(xiàn)E⊥AB于點E.兩個底座地基高度相同(即點D，F(xiàn)到地面的垂直距離相同)，均為30cm，點A到地面的垂直距離為50cm，求支撐角鋼CD和EF的長度各是多少厘米(結果保留根號)．(第1題)2．如圖，大樓AB右側有一障礙物，在障礙物的旁邊有一幢小樓DE，在小樓的頂端D處測得障礙物邊緣點C的俯角為30°，測得大樓頂端A的仰角為45°(點B，C，E在同一水平直線上)，已知AB＝80m，DE＝10m，求障礙物B，C兩點間的距離(結果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)．(第2題)構造形如“”的兩個直角三角形解決實際問題3．如圖，MN表示某引水工程的一段設計路線，從M到N的走向為南偏東30°.在M的南偏東60°方向上有一點A，以A為圓心，500m為半徑的圓形區(qū)域為居民區(qū)，取MN上另一點B，測得BA的方向為南偏東75°，已知MB＝400m，通過計算回答，如果不改變方向，輸水路線是否會穿過居民區(qū)？(第3題)4．(2016·黔東南州)黔東南州某校吳老師組織九(1)班同學開展數(shù)學活動，帶領同學們測量學校附近一電線桿的高．已知電線桿直立于地面上，某天在太陽光的照射下，電線桿的影子(折線BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D處測得電線桿頂端A的仰角為30°，在C處測得電線桿頂端A的仰角為45°，斜坡與地面成60°角，CD＝4m，請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)求電線桿的高(AB)(結果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)．【導學號：31782023】(第4題)5．(中考·安徽)如圖，防洪大堤的橫斷面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°.汛期來臨前對其進行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡長AB＝20m，求改造后的坡長AE(結果保留根號)．(第5題)構造形如“”的兩個直角三角形解決實際問題6．(2016·深圳)某興趣小組借助無人飛機航拍校園．如圖，無人飛機從A處水平飛行至B處需8s，在地面C處同一方向上分別測得A處的仰角為75°，B處的仰角為30°.已知無人飛機的飛行速度為4m/s，求這架無人飛機的飛行高度(結果保留根號)．【導學號：31782023】(第6題)7．如圖，在建筑平臺CD的頂部C處，測得大樹AB的頂部A的仰角為45°，測得大樹AB的底部B的俯角為30°，已知平臺CD的高度為5m，求大樹的高度(結果保留根號)．【導學號：31782023】(第7題)構造形如“”的兩個直角三角形解決實際問題8．如圖，小剛同學在廣場上觀測新華書店樓房墻上的電子屏幕CD，點A是小剛的眼睛，測得屏幕下端D處的仰角為30°，然后他正對屏幕方向前進了6m到達B處，又測得該屏幕上端C處的仰角為45°，延長AB與樓房垂直相交于點E，測得BE＝21m，請你幫小剛求出該屏幕上端與下端之間的距離CD(結果保留根號)．【導學號：31782023】(第8題)專訓2利用三角函數(shù)解決判斷說理問題名師點金：利用三角函數(shù)解答實際中的“判斷說理”問題：其關鍵是將實際問題抽象成數(shù)學問題，建立解直角三角形的數(shù)學模型，運用解直角三角形的知識來解決實際問題．航行路線問題1．如圖，某貨船以24nmile/h的速度將一批重要物資從A處運往正東方向的M處，在點A處測得某島C在北偏東60°的方向上．該貨船航行30min后到達B處，此時再測得該島在北偏東30°的方向上，已知在C島周圍9nmile的區(qū)域內(nèi)有暗礁．若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險？請說明理由．【導學號：31782024】(第1題)工程規(guī)劃問題2．A，B兩市相距150km，分別從A，B處測得國家級風景區(qū)中心C處的方位角如圖所示，風景區(qū)區(qū)域是以C為圓心、45km為半徑的圓，tanα＝1.627，tanβ＝1.373.為了開發(fā)旅游，有關部門設計修建連接A，B兩市的高速公路．問連接A，B兩市的高速公路會穿過風景區(qū)嗎？請說明理由．(第2題)航行攔截問題3．(2015·荊門)如圖，在一次軍事演習中，藍方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進實施攔截，紅方行駛1000m到達C處后，因前方無法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45°方向前進了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍方，求攔截點D處到公路的距離(結果不取近似值)．(第3題)臺風影響問題4．如圖，在某海濱城市O附近海面有一股強臺風，據(jù)監(jiān)測，當前臺風中心位于該城市的東偏南70°方向200km的海面P處，并以20km/h的速度向北偏西65°的PQ方向移動，臺風侵襲的范圍是一個圓形區(qū)域，當前半徑為60km，且圓的半徑以10km/h的速度不斷擴大．(1)當臺風中心移動4h時，受臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到______；當臺風中心移動t(h)時，受臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到______．(2)當臺風中心移動到與城市O距離最近時，這股臺風是否會侵襲這座海濱城市？請說明理由(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)．(第4題)答案專訓11．解：如圖，過A作AG⊥CD于G，則∠CAG＝30°，(第1題)在Rt△ACG中，CG＝ACsin30°＝50×eq\f(1,2)＝25(cm)，∵GD＝50－30＝20(cm)，∴CD＝CG＋GD＝25＋20＝45(cm)，連接FD并延長與BA的延長線交于H，則∠H＝30°，在Rt△CDH中，CH＝eq\f(CD,sin30°)＝2CD＝90cm，∴EH＝EC＋CH＝AB－BE－AC＋CH＝300－50－50＋90＝290(cm)，在Rt△EFH中，EF＝EH·tan30°＝290×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(290\r(3),3)(cm)．答：支撐角鋼CD和EF的長度各是45cm，eq\f(290\r(3),3)cm.2．解：如圖，過點D作DF⊥AB于點F，過點C作CH⊥DF于點H.(第2題)則DE＝BF＝CH＝10m，在直角△ADF中，∵AF＝80m－10m＝70m，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝70m.在Rt△CDE中，∵DE＝10m，∠DCE＝30°，∴CE＝eq\f(DE,tan30°)＝eq\f(10,\f(\r(3),3))＝10eq\r(3)(m)，∴BC＝BE－CE＝70－10eq\r(3)≈70－17.32≈52.7(m)．答：障礙物B，C兩點間的距離約為52.7m.3．解：依題意得，∠AMN＝30°，∠ABN＝45°.如圖，過點A作AC⊥MN于點C.(第3題)在Rt△ABC中，tan∠ABC＝eq\f(AC,BC)，∴BC＝AC.在Rt△AMC中，tan∠AMC＝eq\f(AC,MC)，∴MC＝eq\r(3)AC.由MB＝MC－BC，得eq\r(3)AC－AC＝400，∴AC＝200(eq\r(3)＋1)≈546>500.∴如果不改變方向，輸水路線不會穿過居民區(qū)．4．解：延長AD交BC的延長線于G，作DH⊥BG于H，如圖．(第4題)在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4m，則CH＝CD·cos∠DCH＝4×cos60°＝2m，DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin60°＝2eq\r(3)m，∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝eq\f(DH,tanG)＝eq\f(2\r(3),tan30°)＝6m，∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8(m)，設AB＝xm，∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝x，BG＝eq\f(AB,tanG)＝eq\f(x,tan30°)＝eq\r(3)x，∵BG－BC＝CG，∴eq\r(3)x－x＝8，解得x≈11.答：電線桿的高約為11m.5．解：如圖，作AF⊥BC于點F.(第5題)在Rt△ABF中，∠ABF＝α＝60°，∴AF＝AB·sin60°＝20×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3)(m)．在Rt△AEF中，β＝45°，∴AF＝EF.∴AE＝eq\r(AF2＋EF2)＝eq\r(（10\r(3)）2＋（10\r(3)）2)＝10eq\r(6)(m)．即改造后的坡長AE為10eq\r(6)m.6．解：如圖，作AD⊥BC于D，BH⊥水平線于H，(第6題)由題意得∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝32m，∴AD＝CD＝AB·sin30°＝16m，BD＝AB·cos30°＝16eq\r(3)m，∴BC＝CD＋BD＝(16＋16eq\r(3))m，則BH＝BC·sin30°＝(8＋8eq\r(3))m.即這架無人飛機的飛行高度為(8＋8eq\r(3))m.7．解：如圖，作CE⊥AB于E.(第7題)則CD＝BE＝5m，CE＝eq\f(BE,tan30°)＝5eq\r(3)m，AE＝CE·tan45°＝5eq\r(3)m，∴AB＝AE＋BE＝(5＋5eq\r(3))m.即大樹的高度為(5＋5eq\r(3))m.8．解：∵∠CBE＝45°，CE⊥AE，∴CE＝BE.∴CE＝21m.在Rt△ADE中，∵∠DAE＝30°，AE＝AB＋BE＝6＋21＝27(m)．∴DE＝AE·tan30°＝27×eq\f(\r(3),3)＝9eq\r(3)(m)．∴CD＝CE－DE＝(21－9eq\r(3))m.即該屏幕上端與下端之間的距離CD為(21－9eq\r(3))m.專訓21．解：若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船無觸礁危險．理由如下：如圖，過點C作CD⊥AM于點D.(第1題)依題意，知AB＝24×eq\f(30,60)＝12(nmile)，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°.在Rt△DBC中，tan∠CBD＝tan60°＝eq\f(CD,BD)，∴BD＝eq\f(\r(3),3)CD.在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan30°＝eq\f(CD,AD)，∴AD＝eq\r(3)CD.又∵AD＝AB＋BD，∴eq\r(3)CD＝12＋eq\f(\r(3),3)CD.∴CD＝6eq\r(3)nmile.∵6eq\r(3)＞9，∴若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船無觸礁危險．技巧點撥：將這道航海問題抽象成數(shù)學問題，建立解直角三角形的數(shù)學模型．該貨船有無觸礁危險取決于島C到航線AB的距離與9nmile的大小關系，因此解決本題的關鍵在于求島C到航線AB的距離．2．解：不會穿過風景區(qū)．理由如下：如圖，(第2題)過C作CD⊥AB于點D，根據(jù)題意得∠ACD＝α，∠BCD＝β，則在Rt△ACD中，AD＝CD·tanα，在Rt△BCD中，BD＝CD·tanβ.∵AD＋DB＝AB，∴CD·tanα＋CD·tanβ＝AB，∴CD＝eq\f(AB,tanα＋tanβ)＝eq\f(150,1.627＋1.373)＝eq\f(150,3)＝50(km)．∵50＞45，∴連接A，B兩市的高速公路不會穿過風景區(qū)．3．解：如圖，過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點E；過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線交于點F，則∠E＝∠F＝90°，攔截點D處到公路的距離DA＝BE＋CF.在Rt△BCE中，∵∠E＝90°，∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°，∴BE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×1000＝500(m)．在Rt△CDF中，∵∠F＝90°，∠DCF＝45°，CD＝1000m，∴CF＝eq\f(\r(2),2)CD＝500eq\r(2)m.∴DA＝BE＋CF＝(500＋500eq\r(2))m，即攔截點D處到公路的距離是(500＋500eq\r(2))m.(第3題)4．解：(1)100km；(60＋10t)km(2)這股臺風不會侵襲這座海濱城市．理由如下：如圖，過點O作OH⊥PQ于點H.在Rt△POH中，∠OHP＝90°，∠OPH＝65°－(90°－70°)＝45°，OP