隨機時間序列分析模型

隨機時間序列分析模型第1頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二經典計量經濟學模型與時間序列模型確定性時間序列模型與隨機性時間序列模型第2頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二一、時間序列模型的基本概念及其適用性第3頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二（一）時間序列模型的基本概念

隨機時間序列模型（timeseriesmodeling）是指僅用它的過去值及隨機擾動項所建立起來的模型，其一般形式為

Xt=F(Xt-1,Xt-2,…,t)

建立具體的時間序列模型，需解決如下三個問題：

(1)模型的具體形式

(2)時序變量的滯后期

(3)隨機擾動項的結構例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機擾動項（t=t），模型將是一個1階自回歸過程AR(1)：

Xt=Xt-1+t這里，t特指一白噪聲。

第4頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二一般的p階自回歸過程AR(p)是

Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)

(1)如果隨機擾動項是一個白噪聲(t=t)，則稱(*)式為一純AR(p)過程（pureAR(p)process），記為

Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(2)如果t不是一個白噪聲，通常認為它是一個q階的移動平均（movingaverage）過程MA(q)：

t=t-1t-1-2t-2--qt-q

該式給出了一個純MA(q)過程（pureMA(p)process）。

第5頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

將純AR(p)與純MA(q)結合，得到一個一般的自回歸移動平均（autoregressivemovingaverage）過程ARMA（p,q）：

Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+

t-1t-1-2t-2--qt-q

該式表明：（1）一個隨機時間序列可以通過一個自回歸移動平均過程生成，即該序列可以由其自身的過去或滯后值以及隨機擾動項來解釋。（2）如果該序列是平穩(wěn)的，即它的行為并不會隨著時間的推移而變化，那么就可以通過該序列過去的行為來預測未來。這也正是隨機時間序列分析模型的優(yōu)勢所在。第6頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二經典回歸模型的問題：迄今為止，對一個時間序列Xt的變動進行解釋或預測，是通過某個單方程回歸模型或聯立方程回歸模型進行的，由于它們以因果關系為基礎，且具有一定的模型結構，因此也常稱為結構式模型（structuralmodel）。然而，如果Xt波動的主要原因可能是我們無法解釋的因素，如氣候、消費者偏好的變化等，則利用結構式模型來解釋Xt的變動就比較困難或不可能，因為要取得相應的量化數據，并建立令人滿意的回歸模型是很困難的。有時，即使能估計出一個較為滿意的因果關系回歸方程，但由于對某些解釋變量未來值的預測本身就非常困難，甚至比預測被解釋變量的未來值更困難，這時因果關系的回歸模型及其預測技術就不適用了。（二）時間序列分析模型的適用性第7頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

例如，時間序列過去是否有明顯的增長趨勢，如果增長趨勢在過去的行為中占主導地位，能否認為它也會在未來的行為里占主導地位呢？或者時間序列顯示出循環(huán)周期性行為，我們能否利用過去的這種行為來外推它的未來走向？

●隨機時間序列分析模型，就是要通過序列過去的變化特征來預測未來的變化趨勢。使用時間序列分析模型的另一個原因在于：

如果經濟理論正確地闡釋了現實經濟結構，則這一結構可以寫成類似于ARMA(p,q)式的時間序列分析模型的形式。

在這些情況下，采用另一條預測途徑：通過時間序列的歷史數據，得出關于其過去行為的有關結論，進而對時間序列未來行為進行推斷。第8頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二例如，對于如下最簡單的宏觀經濟模型：

這里，Ct、It、Yt分別表示消費、投資與國民收入。

Ct與Yt作為內生變量，它們的運動是由作為外生變量的投資It的運動及隨機擾動項t的變化決定的。第9頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二上述模型可作變形如下：兩個方程等式右邊除去第一項外的剩余部分可看成一個綜合性的隨機擾動項，其特征依賴于投資項It的行為。

如果It是一個白噪聲，則消費序列Ct就成為一個1階自回歸過程AR(1)，而收入序列Yt就成為一個(1,1)階的自回歸移動平均過程ARMA(1,1)。第10頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二二、隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件第11頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

自回歸移動平均模型（ARMA）是隨機時間序列分析模型的普遍形式，自回歸模型（AR）和移動平均模型（MA）是它的特殊情況。關于這幾類模型的研究，是時間序列分析的重點內容：主要包括模型的平穩(wěn)性分析、模型的識別和模型的估計。

（一）AR(p)模型的平穩(wěn)性條件

隨機時間序列模型的平穩(wěn)性，可通過它所生成的隨機時間序列的平穩(wěn)性來判斷。如果一個p階自回歸模型AR(p)生成的時間序列是平穩(wěn)的，就說該AR(p)模型是平穩(wěn)的，否則，就說該AR(p)模型是非平穩(wěn)的。第12頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二考慮p階自回歸模型AR(p)

Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)引入滯后算子（lagoperator）L：

LXt=Xt-1,L2Xt=Xt-2,…,LpXt=Xt-p(*)式變換為

(1-1L-2L2-…-pLp)Xt=t

記(L)=(1-1L-2L2-…-pLp),則稱多項式方程

(z)=(1-1z-2z2-…-pzp)=0為AR(p)的特征方程(characteristicequation)。

可以證明，如果該特征方程的所有根在單位圓外（根的模大于1），則AR(p)模型是平穩(wěn)的。

第13頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

例5.1AR(1)模型的平穩(wěn)性條件。對1階自回歸模型AR(1)方程兩邊平方再求數學期望，得到Xt的方差由于Xt僅與t相關，因此，E(Xt-1t)=0。如果該模型穩(wěn)定，則有E(Xt2)=E(Xt-12)，從而上式可變換為：在穩(wěn)定條件下，該方差是一非負的常數，從而有

||<1。

第14頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

而AR(1)的特征方程的根為z=1/

AR(1)穩(wěn)定，即||<1，意味著特征根大于1。例5.2AR(2)模型的平穩(wěn)性。對AR(2)模型

方程兩邊同乘以Xt，再取期望得：

第15頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二又由于于是

同樣地，由原式還可得到于是方差為

第16頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二由平穩(wěn)性的定義，該方差必須是一不變的正數，于是有1+2<1,2-1<1,|2|<1這就是AR(2)的平穩(wěn)性條件，或稱為平穩(wěn)域。它是一頂點分別為（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。

第17頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二對應的特征方程1-1z-2z2=0

的兩個根z1、z2滿足：

z1z2=-1/2,

z1+z2=-1/2AR(2)模型解出1，2由AR(2)的平穩(wěn)性，|2|=1/|z1||z2|<1

，則至少有一個根的模大于1，不妨設|z1|>1，有于是|z2|>1。由2

-

1

<1可推出同樣的結果。第18頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

對高階自回模型AR(p)來說，多數情況下沒有必要直接計算其特征方程的特征根，但有一些有用的規(guī)則可用來檢驗高階自回歸模型的穩(wěn)定性：

(1)AR(p)模型穩(wěn)定的必要條件是：

1+2++p<1

(2)由于i(i=1,2,p)可正可負，AR(p)模型穩(wěn)定的充分條件是：

|1|+|2|++|p|<1

第19頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

對于移動平均模型MR(q)：

Xt=t-1t-1-2t-2--qt-q

其中t是一個白噪聲，于是（二）MA(q)模型的平穩(wěn)性

當滯后期大于q時，Xt的自協方差系數為0。因此:有限階移動平均模型總是平穩(wěn)的。

第20頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二由于ARMA(p,q)模型是AR(p)模型與MA(q)模型的組合：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+

t-1t-1-2t-2--qt-q（三）ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性

而MA(q)模型總是平穩(wěn)的，因此ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性取決于AR(p)部分的平穩(wěn)性。

當AR(p)部分平穩(wěn)時，則該ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的，否則，不是平穩(wěn)的。第21頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二最后

（1）一個平穩(wěn)的時間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機過程或模型；（2）一個非平穩(wěn)的隨機時間序列通?？梢酝ㄟ^差分的方法將它變換為平穩(wěn)的，對差分后平穩(wěn)的時間序列也可找出對應的平穩(wěn)隨機過程或模型。

因此，如果我們將一個非平穩(wěn)時間序列通過d次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個平穩(wěn)的ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，則我們就說該原始時間序列是一個自回歸單整移動平均（autoregressiveintegratedmovingaverage）時間序列，記為ARIMA(p,d,q)。

例如，一個ARIMA(2,1,2)時間序列在它成為平穩(wěn)序列之前先得差分一次，然后用一個ARMA(2,2)模型作為它的生成模型的。

當然，一個ARIMA(p,0,0)過程表示了一個純AR(p)平穩(wěn)過程；一個ARIMA(0,0,q)表示一個純MA(q)平穩(wěn)過程。第22頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二三、隨機時間序列模型的識別第23頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

所謂隨機時間序列模型的識別，就是對于一個平穩(wěn)的隨機時間序列，找出生成它的合適的隨機過程或模型，即判斷該時間序列是遵循一純AR過程、還是遵循一純MA過程或ARMA過程。

所使用的工具主要是時間序列的自相關函數（autocorrelationfunction，ACF）及偏自相關函數（partialautocorrelationfunction，PACF

）。第24頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二（一）AR(p)過程

1.自相關函數ACF

1階自回歸模型AR(1)

Xt=Xt-1+t

的k階滯后自協方差為：=1,2,…因此，AR(1)模型的自相關函數為

=1,2,…

由AR(1)的穩(wěn)定性知||<1，因此，k時，呈指數形衰減，直到零。這種現象稱為拖尾或稱AR(1)有無窮記憶（infinitememory）。

注意，<0時，呈振蕩衰減狀。

第25頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

Xt=1Xt-1+2Xt-2+t該模型的方差0以及滯后1期與2期的自協方差1,2分別為２階自回歸模型AR(2)

類似地,可寫出一般的k期滯后自協方差：

(K=2,3,…)于是,AR(2)的k階自相關函數為：

(K=2,3,…)其中

:1=1/(1-2),0=1如果AR(2)穩(wěn)定，則由1+2<1知|k|衰減趨于零，呈拖尾狀。至于衰減的形式，要看AR(2)特征根的實虛性，若為實根，則呈單調或振蕩型衰減，若為虛根，則呈正弦波型衰減。

第26頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二一般地，p階自回歸模型AR(p)

Xt=1Xt-1+2Xt-2+…pXt-p+

tk期滯后協方差為:

從而有自相關函數

:

可見，無論k有多大，k的計算均與其１到p階滯后的自相關函數有關，因此呈拖尾狀。

如果AR(p)是穩(wěn)定的，則|k|遞減且趨于零。

第27頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平穩(wěn)的條件知，|zi|<1;

因此，當1/zi均為實數根時，k呈幾何型衰減（單調或振蕩）；當存在虛數根時，則一對共扼復根構成通解中的一個阻尼正弦波項，k呈正弦波衰減。事實上，自相關函數是一p階差分方程，其通解為第28頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

2.偏自相關函數

自相關函數ACF(k)給出了Xt與Xt-1的總體相關性，但總體相關性可能掩蓋了變量間完全不同的隱含關系。例如，在AR(1)隨機過程中，Xt與Xt-2間有相關性可能主要是由于它們各自與Xt-1間的相關性帶來的:即自相關函數中包含了這種所有的“間接”相關。與之相反，Xt與Xt-k間的偏自相關函數(partialautocorrelation，簡記為PACF)則是消除了中間變量Xt-1，…，Xt-k+1

帶來的間接相關后的直接相關性，它是在已知序列值Xt-1，…，Xt-k+1的條件下，Xt與Xt-k間關系的度量。第29頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

從Xt中去掉Xt-1的影響，則只剩下隨機擾動項t，顯然它與Xt-2無關，因此我們說Xt與Xt-2的偏自相關系數為零，記為

在AR(1)中，

同樣地，在AR(p)過程中，對所有的k>p，Xt與Xt-k間的偏自相關系數為零。

AR(p)的一個主要特征是:k>p時，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0

即k*在p以后是截尾的。一隨機時間序列的識別原則：若Xt的偏自相關函數在p以后截尾，即k>p時，k*=0，而它的自相關函數k是拖尾的，則此序列是自回歸AR(p)序列。第30頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二在實際識別時，由于樣本偏自相關函數rk*是總體偏自相關函數k*的一個估計，由于樣本的隨機性，當k>p時，rk*不會全為0，而是在0的上下波動。但可以證明，當k>p時，rk*服從如下漸近正態(tài)分布:rk*~N(0,1/n)式中n表示樣本容量。因此，如果計算的rk*滿足需指出的是，我們就有95.5%的把握判斷原時間序列在p之后截尾。第31頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二對MA(1)過程

（二）MA(q)過程

可容易地寫出它的自協方差系數：

于是，MA(1)過程的自相關函數為：可見，當k>1時，k>0，即Xt與Xt-k不相關，MA(1)自相關函數是截尾的。

第32頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

MA(1)過程可以等價地寫成t關于無窮序列Xt，Xt-1，…的線性組合的形式：或（*）

(*)是一個AR()過程，它的偏自相關函數非截尾但卻趨于零，因此MA(1)的偏自相關函數是非截尾但卻趨于零的。

注意:(*)式只有當||<1時才有意義，否則意味著距Xt越遠的X值，對Xt的影響越大，顯然不符合常理。因此，我們把||<1稱為MA(1)的可逆性條件（invertibilitycondition）或可逆域。

第33頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二其自協方差系數為

一般地，q階移動平均過程MA(q)

相應的自相關函數為

可見，當k>q時，Xt與Xt-k不相關，即存在截尾現象，因此，當k>q時，k=0是MA(q)的一個特征。于是：可以根據自相關系數是否從某一點開始一直為0來判斷MA(q)模型的階。第34頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二與MA(1)相仿，可以驗證MA(q)過程的偏自相關函數是非截尾但趨于零的。

MA(q)模型的識別規(guī)則：若隨機序列的自相關函數截尾，即自q以后，k=0（k>q）；而它的偏自相關函數是拖尾的，則此序列是滑動平均MA(q)序列。

同樣需要注意的是：在實際識別時，由于樣本自相關函數rk是總體自相關函數k的一個估計，由于樣本的隨機性，當k>q時，rk不會全為0，而是在0的上下波動。但可以證明，當k>q時，rk服從如下漸近正態(tài)分布:rk~N(0,1/n)式中n表示樣本容量。因此，如果計算的rk滿足：我們就有95.5%的把握判斷原時間序列在q之后截尾。第35頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

ARMA(p,q)的自相關函數，可以看作MA(q)的自相關函數和AR(p)的自相關函數的混合物。

當p=0時，它具有截尾性質；

當q=0時，它具有拖尾性質；當p、q都不為0時，它具有拖尾性質

從識別上看，通常：

ARMA(p，q)過程的偏自相關函數（PACF）可能在p階滯后前有幾項明顯的尖柱（spikes），但從p階滯后項開始逐漸趨向于零；而它的自相關函數（ACF）則是在q階滯后前有幾項明顯的尖柱，從q階滯后項開始逐漸趨向于零。

（三）ARMA(p,q)過程

第36頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

表5.1

ARMA(p,q)模型的ACF與PACF理論模式

模型

ACF

PACF

白噪聲

0=kr

0*=kr

AR(p)

衰減趨于零（幾何型或振蕩型）

P階后截尾：0*=kr，k>p

MA(q)

q階后截尾：，0=kr，k>q

衰減趨于零（幾何型或振蕩型）

ARMA(p,q)

q階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型）

p階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型）

第37頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

圖4.2

ARMA(p,q)模型的ACF與PACF理論模式

ACFPACF

模型1：

tttXXe+=-17.00.00.20.40.60.812345678ACF10.00.20.40.60.812345678PACF1第38頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二第39頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二第40頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二四、隨機時間序列模型的估計第41頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估計方法較多，大體上分為3類：

（1）最小二乘估計；（2）矩估計；（3）利用自相關函數的直接估計。下面有選擇地加以介紹。結構階數模型識別確定估計參數第42頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二（一）AR(p)模型的YuleWalker方程估計在AR(p)模型的識別中，曾得到

利用k=-k，得到如下方程組：

此方程組被稱為YuleWalker方程組。該方程組建立了AR(p)模型的模型參數1,2,,p與自相關函數1,2,,p的關系，第43頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二利用實際時間序列提供的信息，首先求得自相關函數的估計值

然后利用YuleWalker方程組，求解模型參數的估計值由于

于是

從而可得2的估計值

在具體計算時，可用樣本自相關函數rk替代。第44頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二（二）MA(q)模型的矩估計將MA(q)模型的自協方差函數中的各個量用估計量代替，得到：

首先求得自協方差函數的估計值，(*)是一個包含(q+1)個待估參數

(*)的非線性方程組，可以用直接法或迭代法求解。

常用的迭代方法有線性迭代法和Newton-Raphsan迭代法。第45頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

1.MA(1)模型的直接算法對于MA(1)模型，（*）式相應地寫成于是

或有于是有解

由于參數估計有兩組解，可根據可逆性條件|1|<1來判斷選取一組。

第46頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

2.MA(q)模型的迭代算法對于q>1的MA(q)模型，一般用迭代算法估計參數：由（*）式得第一步，給出的一組初值，比如代入（**）式，計算出第一次迭代值

（**）第47頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

第二步，將第一次迭代值代入（**）式，計算出第二次迭代值

按此反復迭代下去，直到第m步的迭代值與第m-1步的迭代值相差不大時（滿足一定的精度），便停止迭代，并用第m步的迭代結果作為（**）的近似解。

第48頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二（三）ARMA(p,q)模型的矩估計在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)個待估參數1,2,,p與1,2,,q以及2，其估計量計算步驟及公式如下：

第一步，估計1,2,,p

是總體自相關函數的估計值，可用樣本自相關函數rk代替。

第49頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

第二步，改寫模型，求1,2,,q以及2的估計值

將模型

改寫為：

令

于是(*)可以寫成：

(*)構成一個MA模型。按照估計MA模型參數的方法，可以得到1,2,,q以及2的估計值。

第50頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二（四）AR(p)的最小二乘估計假設模型AR(p)的參數估計值已經得到，即有

殘差的平方和為：

(*)根據最小二乘原理，所要求的參數估計值是下列方程組的解：

即

j=1,2,…,p(**)解該方程組，就可得到待估參數的估計值。

第51頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二為了與AR(p)模型的YuleWalker方程估計進行比較，將(**)改寫成：

j=1,2,…,p由自協方差函數的定義，并用自協方差函數的估計值

代入，上式表示的方程組即為：

或

j=1,2,…,pj=1,2,…,p第52頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二解該方程組，得到：

即為參數的最小二乘估計。

YuleWalker方程組的解比較發(fā)現，當n足夠大時，二者是相似的。2的估計值為：

第53頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

需要說明的是，在上述模型的平穩(wěn)性、識別與估計的討論中，ARMA(p,q)模型中均未包含常數項。

如果包含常數項，該常數項并不影響模型的原有性質，因為通過適當的變形，可將包含常數項的模型轉換為不含常數項的模型。下面以一般的ARMA(p,q)模型為例說明。對含有常數項的模型

方程兩邊同減/(1-1--p)，則可得到

其中第54頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二五、模型的檢驗第55頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二由于ARMA(p,q)模型的識別與估計是在假設隨機擾動項是一白噪聲的基礎上進行的，因此，如果估計的模型確認正確的話，殘差應代表一白噪聲序列。

如果通過所估計的模型計算的樣本殘差不代表一白噪聲，則說明模型的識別與估計有誤，需重新識別與估計。

在實際檢驗時，主要檢驗殘差序列是否存在自相關。（一）殘差項的白噪聲檢驗

可用QLB的統(tǒng)計量進行2檢驗：在給定顯著性水平下，可計算不同滯后期的QLB值，通過與2分布表中的相應臨界值比較，來檢驗是否拒絕殘差序列為白噪聲的假設。若大于相應臨界值，則應拒絕所估計的模型，需重新識別與估計。第56頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二（二）AIC與SBC模型選擇標準

另外一個遇到的問題是，在實際識別ARMA(p,q)模型時，需多次反復償試，有可能存在不止一組（p,q）值都能通過識別檢驗。顯然，增加p與q的階數，可增加擬合優(yōu)度，但卻同時降低了自由度。因此，對可能的適當的模型，存在著模型的“簡潔性”與模型的擬合優(yōu)度的權衡選擇問題。第57頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二其中，n為待估參數個數（p+q+可能存在的常數項），T為可使用的觀測值，RSS為殘差平方和（Residualsumofsquares）。

在選擇可能的模型時，AIC與SBC越小越好

顯然，如果添加的滯后項沒有解釋能力，則對RSS值的減小沒有多大幫助，卻增加待估參數的個數，因此使得AIC或SBC的值增加。

需注意的是：在不同模型間進行比較時，必須選取相同的時間段。常用的模型選擇的判別標準有：赤池信息法（Akaikeinformationcriterion，簡記為AIC）與施瓦茲貝葉斯法（SchwartzBayesiancriterion，簡記為SBC）：第58頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

由第一節(jié)知：中國支出法GDP是非平穩(wěn)的，但它的一階差分是平穩(wěn)的，即支出法GDP是I(1)時間序列。可以對經過一階差分后的GDP建立適當的ARMA(p,q)模型。記GDP經一階差分后的新序列為GDPD1，該新序列的樣本自相關函數圖與偏自相關函數圖如下：例4.3

中國支出法GDP的ARMA(p,q)模型估計。第59頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

圖形：樣本自相關函數圖形呈正弦線型衰減波，而偏自相關函數圖形則在滯后兩期后迅速趨于0。因此可初步判斷該序列滿足2階自回歸過程AR(2)。自相關函數與偏自相關函數的函數值：相關函數具有明顯的拖尾性；偏自相關函數值在k>2以后，可認為：偏自相關函數是截尾的。再次驗證了一階差分后的GDP滿足AR(2)隨機過程。表5.2中國GDP一階差分序列的樣本自相關函數與偏自相關函數kkr*krkkr*krkkr*kr10.8590.8597-0.034-0.25213-0.361-0.08620.622-0.4418-0.1120.01214-0.3630.07630.378-0.0659-0.1750.0415-0.3080.04340.1910.06610-0.228-0.11716-0.216-0.02250.0870.07711-0.282-0.19217-0.128-0.04860.036-0.05112-0.32-0.0218-0.059-0.002第60頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二設序列GDPD1的模型形式為

有如下YuleWalker方程：

解為：

用OLS法回歸的結果為：

（7.91)(-3.60)r2=0.8469R2=0.8385DW=1.15第61頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二

有時，在用回歸法時，也可加入常數項。本例中加入常數項的回歸為：

（1.99）（7.74）（-3.58）

r2=0.8758R2=0.8612DW.=1.22第62頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二模型檢驗

下表列出三模型的殘差項的自相關系數及QLB檢驗值。

模型1與模型3的殘差項接近于一白噪聲，但模型2存在4階滯后相關問題，Q統(tǒng)計量的檢驗也得出模型2拒絕所有自相關系數為零的假設。因此:

模型1與3可作為描述中國支出法GDP一階差分序列的隨機生成過程。表5.3模型殘差項的自相關系數及Q檢驗值

模型1

模型2

模型3

K

Resid-ACF

Q

Resid-ACF

Q

Resid-ACF

Q

1

0.382

3.3846

0.258

1.5377

0.257

1.5263

2

0.014

3.3893

-0.139

2.0077

-0.040

1.5646

3

-0.132

3.8427

-0.246

3.5677

-0.059

1.6554

4

-0.341

7.0391

-0.529

11.267

-0.328

4.6210

5

-0.170

7.8910

-0.300

13.908

-0.151

5.2864

6

0.253

9.9097

0.271

16.207

0.345

9.0331

7

0.144

10.613

0.158

17.051

0.155

9.8458

8

0.057

10.730

0.116

17.541

0.076

10.059

9

-0.019

10.745

0.097

17.914

0.011

10.064

10

-0.146

11.685

-0.036

17.969

-0.123

10.728

11

-0.233

14.329

-0.136

18.878

-0.230

13.319

12

-0.049

14.461

0.064

19.104

-0.012

13.328

第63頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二用建立的AR(2)模型對中國支出法GDP進行外推預測。

模型1可作如下展開：

于是，當已知t-1、t-2、t-3期的GDP時，就可對第t期的GDP作出外推預測。

模型3的預測式與此相類似，只不過多出一項常數項。

對2001年中國支出法GDP的預測結果（億元）

預測值實際值誤差模型19546995933-0.48%

模型397160959331.28%

第64頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二由于中國人均居民消費（CPC）與人均國內生產總值（GDPPC）這兩時間序列是非平穩(wěn)的，因此不宜直接建立它們的因果關系回歸方程。但它們都是I(2)時間序列，因此可以建立它們的ARIMA(p,d,q)模型。

下面只建立中國人均居民消費（CPC）的隨機時間序列模型。中國人均居民消費（CPC）經過二次差分后的新序列記為CPCD2，其自相關函數、偏自相關函數及Q統(tǒng)計量的值列于下表：

例4.4

中國人均居民消費的ARMA(p,q)模型第65頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二在5%的顯著性水平下，通過Q統(tǒng)計量容易驗證該序列本身就接近于一白噪聲，因此可考慮采用零階MA(0)模型:

由于k=2時，|r2|=|-0.29|>

因此,也可考慮采用下面的MA模型：

表5.4

CPCD2序列的自相關函數、偏自相關函數與Q統(tǒng)計量值

k

ACF

PACF

Q

k

ACF

PACF

Q

1

0.125

0.125

0.269

7

0.196

0.014

6.286

2

-0.294

-0.314

1.882

8

-0.218

-0.335

8.067

3

-0.034

0.060

1.906

9

-0.010

0.024

8.072

4

-0.213

-0.350

2.919

10

0.102

-0.147

8.650

5

-0.258

-0.193

4.576

11

-0.071

0.001

9.025

6

0.131

0.017

5.057

12

0.006

-0.119

9.029

第66頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二當然，還可觀察到自相關函數在滯后4、5、8時有大于0.2的函數值，因此，可考慮在模型中增加MA(4)、MA(5)、MA(8)。不同模型的回歸結果列于表4.5。可以看出:在純MA模型中，模型4具有較好的性質，但由于MA(5)的t檢驗偏小，因此可選取模型3。表5.5

中國居民人均消費水平的ARMA模型

模型

a

MA(2)

MA(4)

MA(5)

MA(8)

AR(1)

R2

SSR

AIC

1

24.57

0

93137.4

8.94

2

32.4

-0.89

0.42

53699.9

8.54

(3.62)

(-7.43)

3

14.07

-0.72

-1.71

0.7

28128.8

8.03

(8.75)

(-3.07)

(-5.08)

4

11.73

-1.09

-1.99

-1.3

0.82

17480.8

7.7

(17.81)

(-3.38)

(-4.61)

(-1.58)

5

11.79

-1.07

-1.91

-1.25

-0.34

0.81

17402.7

7.84

(14.93)

(-3.10)

(-2.56)

(-1.42)

(-0.15)

6

14.95

-0.66

-1.27

-1.99

0.75

22924.2

7.97

(5.16)

(-2.14)

(-1.77)

(-1.29)

7

214.25

-2.53

-2.45

-6.52

1.39

0.99

8943.7

7.06

(63.83)

(-2.25)

(-2.53)

(-2.23)

(98.26)

第67頁，共81頁，2023年，2月20日，星期二最后，給出通過模型3的外推預測。模型3的展開式為：

即

由于t表示預測期的隨機擾動項，它未知，可