初級(jí)質(zhì)量工程師講義第五章-概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

第五章概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)第一講概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)重點(diǎn)：概率的定義、分布的均值、方差及標(biāo)準(zhǔn)差難點(diǎn)：概率的統(tǒng)計(jì)定義在我們所生活的世界上，充溢了不確定性：從扔硬幣、擲色子和玩撲克等簡(jiǎn)潔的機(jī)會(huì)嬉戲到困難的社會(huì)現(xiàn)象;從嬰兒的誕生到世間萬物的繁衍生息;從流星墜落到大自然的千變?nèi)f化…,我們無時(shí)無刻不面臨著不確定性和隨機(jī)性。一、兩種現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象和確定性現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象：不確定、偶然性的現(xiàn)象。確定性現(xiàn)象：在確定條件下能預(yù)言其結(jié)果。推斷下列現(xiàn)象哪些是隨機(jī)現(xiàn)象?A太陽從東邊升起B(yǎng)上拋物體確定下落C明天的最高氣溫D新生嬰兒的體重隨機(jī)現(xiàn)象的例子在質(zhì)量管理中隨處可見。以下是隨機(jī)現(xiàn)象的另外一些例子：⑴新產(chǎn)品在將來市場(chǎng)的占有率⑵加工某機(jī)械軸的誤差⑶一臺(tái)電視機(jī)從起先運(yùn)用到第一次發(fā)生故障的時(shí)間⑷一罐午餐肉的重量。相識(shí)一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象首先要列出它的一切可能發(fā)生的基本結(jié)果。這些基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，隨機(jī)現(xiàn)象一切可能樣本點(diǎn)的全體稱為這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間，常記為?！皰佉幻队矌拧钡臉颖究臻g;“擲一顆色子”的樣本空間;“一臺(tái)電視機(jī)從起先運(yùn)用到第一次發(fā)生故障的時(shí)間”的樣本空間;“加工某機(jī)械軸的誤差”的樣本空間。二、隨機(jī)事務(wù)隨機(jī)現(xiàn)象的某些樣本點(diǎn)的集合稱為隨機(jī)事務(wù)，簡(jiǎn)稱事務(wù)，常用大寫字母A,B,C，D表示，它是樣本空間的子集合。在概率論中通常用一個(gè)長(zhǎng)方形示意樣本空間，用其中的圓示意事務(wù)，這類圖形通常稱為維恩圖。(圖見考試用書132頁(yè))1.隨機(jī)事務(wù)的特征(1)事務(wù)A發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)子集A中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)。若是中的兩個(gè)樣本點(diǎn)，則當(dāng)出現(xiàn)，且時(shí)，事務(wù)A發(fā)生。當(dāng)則事務(wù)A不發(fā)生。(2)隨意樣本空間有一個(gè)最大子集，這個(gè)子集就是，由于它對(duì)應(yīng)的事務(wù)確定發(fā)生，因此稱為必定事務(wù)，仍用表示。比如，在擲一顆色子，“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過6”就是一個(gè)必定事務(wù)。(3)隨意樣本空間有一個(gè)最小子集，這個(gè)子集就是空集，它對(duì)應(yīng)的事務(wù)稱為不行能事務(wù)，記為。在擲一顆色子，“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)超過7”就是一個(gè)不行能事務(wù)。例1若產(chǎn)品只區(qū)分合格與不合格。用“0”表示合格品，用“1”表示不合格品。則檢驗(yàn)兩件產(chǎn)品的樣本空間由下列四個(gè)樣本點(diǎn)組成。其中樣本點(diǎn)(0,1)表示第一件產(chǎn)品是合格品，其次件產(chǎn)品是不合格品。其他的樣本點(diǎn)可以類似地說明。下面幾個(gè)事務(wù)可用集合表示，也可用語言表示。A=“至少有一件合格品”=B=“恰有一件合格品”=“有三件不合格品”=空集。隨機(jī)事務(wù)的關(guān)系與運(yùn)算1事務(wù)的包含與相等若事務(wù)A發(fā)生，則事務(wù)B必定發(fā)生。此時(shí)A包含的樣本點(diǎn)在B所包含的樣本點(diǎn)當(dāng)中，記為。若且，則稱A與B相等，記為A=B。2事務(wù)的和(并)一個(gè)事務(wù)發(fā)生意味著A發(fā)生或者B發(fā)生，則稱該事務(wù)是A與B的并，記作或。由定義知道，由全部屬于A或者B中的樣本點(diǎn)構(gòu)成。對(duì)于n個(gè)事務(wù)=稱為這n個(gè)事務(wù)的和或者并。3.事務(wù)的積(交)一事務(wù)發(fā)生意味著A與B同時(shí)發(fā)生，稱該事務(wù)為A與B的積(交),記作。由定義知道，由全部既屬于A又屬于B中的樣本點(diǎn)構(gòu)成。n個(gè)事務(wù)的交記作。4.事務(wù)的差由那些屬于A但是不屬于B的點(diǎn)構(gòu)成的新事務(wù)記作。5.互不相容事務(wù)(互斥)若，則稱A與B互不相容事務(wù)。6.對(duì)立事務(wù)由全部不包含在A中的點(diǎn)構(gòu)成的新事務(wù),記作。以上這些關(guān)系和運(yùn)算，可以用維恩圖表示，維恩圖的表示方法和集合的維恩圖的表示方法一樣，這里不再重復(fù)(可以參照教材)。四、事務(wù)的概率隨機(jī)事務(wù)的發(fā)生由偶然性，但是隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性有大小之分，是可以度量的。事實(shí)上，通常人們關(guān)切事務(wù)發(fā)生的可能性大小。例如：(1)拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的可能性各為。(2)購(gòu)買彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)有多少呢?等等一個(gè)事務(wù)發(fā)生A發(fā)生的可能性大小通常用P(A)表示。概率是一個(gè)介于0和1之間的數(shù)。概率越大，事務(wù)發(fā)生的可能性越大;概率越小，事務(wù)發(fā)生的可能性越小。下面介紹概率的統(tǒng)計(jì)定義。1概率的統(tǒng)計(jì)定義若與事務(wù)A相關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象允許大量重復(fù)試驗(yàn)，而且假設(shè)在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事務(wù)A發(fā)生次，則事務(wù)A發(fā)生的頻率為，依據(jù)概率論中的定理，頻率將會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)不斷增加而趨于穩(wěn)定，這個(gè)頻率的穩(wěn)定值就是事務(wù)A的概率。在實(shí)際中，無法把一個(gè)試驗(yàn)無限地重復(fù)下去，只能用重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n較大時(shí)的頻率去近似它。2概率的性質(zhì)性質(zhì)1(非負(fù)性)性質(zhì)2。性質(zhì)3。特殊地，若事務(wù)A與事務(wù)B互不相容，則。性質(zhì)4對(duì)任何事務(wù)A有。性質(zhì)5。特殊地，若，則。很明顯，由上面的不等式知，對(duì)任一事務(wù)A，有。性質(zhì)6若事務(wù)A與B相互獨(dú)立，即事務(wù)A的發(fā)生不影響事務(wù)B的發(fā)生，則A與B的交事務(wù)的概率為。例2已知。求：;;。解因?yàn)?，且AB與互不相容，有五、隨機(jī)變量及其分布1隨機(jī)變量表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變量。常用大寫字母X,Y,Z等表示隨機(jī)變量，它們的取值用小寫字母等表示。常見的有兩種隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量：僅取數(shù)軸上的有限個(gè)點(diǎn)或可列個(gè)點(diǎn)。比如，一批產(chǎn)品中的次品數(shù)X是離散型隨機(jī)變量，它的可能取值是0，1，2，……連續(xù)型隨機(jī)變量：可能取值充溢數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間。一臺(tái)電視機(jī)的壽命(單位：小時(shí))是連續(xù)型隨機(jī)變量，在上取值?！啊北硎臼聞?wù)“壽命不超過10000小時(shí)?！?隨機(jī)變量的分布(1)離散型隨機(jī)變量的分布離散型隨機(jī)變量的分布可用分布烈表示。假設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為。取這些值的概率為，。這些可以用一個(gè)表清晰地表示出來……概率……作為一個(gè)分布，滿意一下條件：，。這樣的分布稱作離散分布，稱作分布的概率函數(shù)。例3設(shè)袋中裝有6個(gè)球，編號(hào)為{-1，2，2，2，3，3}，從袋中任取一球，求取到的球的號(hào)的分布律。解因?yàn)榭扇〉闹禐?1，2，3，而且，，，所以的概率分布為-123例4某廠生產(chǎn)的三極管，每100支裝一盒，記X為一盒中不合格品數(shù)，廠方多次抽查，依據(jù)近千次的抽查紀(jì)錄，從未發(fā)覺一盒中有6支或6支以上的不合格三極管，用統(tǒng)計(jì)方法整理歷史數(shù)據(jù)可得如下分布：0123450.2840.20000.09000.0800.004從表中可以看出，最可能發(fā)生的不合格品數(shù)在0到2之間，它的概率為：而超過3個(gè)不合格品的概率很?。?連續(xù)型隨機(jī)變量的分布連續(xù)型隨機(jī)變量的分布用概率密度函數(shù)表示。下面以產(chǎn)品的某個(gè)質(zhì)量特性值來說明的由來。假如我們一個(gè)接一個(gè)地測(cè)量產(chǎn)品的質(zhì)量特性，把測(cè)量得來的x值一個(gè)接一個(gè)地描在數(shù)軸上，當(dāng)累積到許多x時(shí)，就形成了一個(gè)圖形，把縱軸改為單位長(zhǎng)度上的頻率，由于頻率的穩(wěn)定性，隨著被測(cè)質(zhì)量特性x的增多，圖形就越穩(wěn)定，其外形顯現(xiàn)出一條曲線，這條曲線就是概率密度曲線，相應(yīng)的表達(dá)式稱為概率密度曲線。由于頻率穩(wěn)定于概率，因此可以用概率代替頻率，從而縱軸成為“單位長(zhǎng)度上的概率”，這就是概率密度的概念，故最終形成的曲線稱為概率密度曲線，它確定位于x軸的上方，即，并且與x軸所夾面積恰為1。而X在區(qū)間(a,b)上取值的概率為區(qū)間上的面積。4隨機(jī)變量分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量的分布有幾個(gè)重要的特征數(shù)，用來表示分布的中心位置和散布大小。均值用來表示分布的中心位置，用表示。(1)均值的計(jì)算方法：(2)方差的計(jì)算方法方差表示分布的散布大小，用表示。方差越大，分布越分散;方差越小，分布越集中。(3)標(biāo)準(zhǔn)差方差的平方根即為標(biāo)準(zhǔn)差，記為，即。例5已知離散型隨機(jī)變量的概率分布列，求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。解六二項(xiàng)分布1定義若由n次隨機(jī)試驗(yàn)組成的隨機(jī)現(xiàn)象滿意如下條件：(1)重復(fù)進(jìn)行n次隨機(jī)試驗(yàn)。(2)n次試驗(yàn)間相互獨(dú)立，即每一次試驗(yàn)結(jié)果不對(duì)其他次試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響。(3)每次試驗(yàn)僅有兩個(gè)可能結(jié)果，稱為“勝利”與“失敗”。(4)每次試驗(yàn)勝利的概率均為P，失敗的概率均為1—P。.在上述四個(gè)條件下，設(shè)X表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中勝利出現(xiàn)的次數(shù)，明顯X是可以取0，l，……n，共個(gè)值的離散隨機(jī)變量，且它的概率函數(shù)為：這個(gè)分布稱為二項(xiàng)分布，記為b(n，P)。其中2二項(xiàng)分布的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差均值方差標(biāo)準(zhǔn)差[例5]在一個(gè)制造過程中，不合格品率為0.05，如今從成品中隨機(jī)取出10個(gè)，記x為10個(gè)成品中的不合格品數(shù)，則x聽從二項(xiàng)分布?，F(xiàn)探討如下幾個(gè)問題：(1)恰有1個(gè)不合格品的概率是多少?分析：若規(guī)定抽到不合格品為“勝利”，則x聽從B(10，0.05)，則所求概率為：這表明，10個(gè)成品中恰有l(wèi)個(gè)不合格品的概率為0.3151。(2)少于2個(gè)不合格品的概率為：這表明，10個(gè)成品中有少于2個(gè)不合格品的概率為0.9138。(3)分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為：習(xí)題一、單項(xiàng)選擇題1.隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間中至少有()個(gè)樣本點(diǎn)。A.0B.1C.2D.3答案：C解析：樣本空間Ω至少含有2個(gè)樣本點(diǎn)。2.檢驗(yàn)兩件產(chǎn)品。記A=“至少有一件不合格”，B=“兩次檢查結(jié)果不同”，則事務(wù)A與B之間的關(guān)系是：A.B.C.D.答案：A解析：設(shè)X表示“兩件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)”，X是隨機(jī)變量，且A=“X≥l”，B=“X=l”，從而。3.一條自動(dòng)化生產(chǎn)線上一級(jí)品率為0.8，現(xiàn)抽查5件，至少有兩件一級(jí)品的概率為()A.0.9793B.0.9393C.0.9933D.0.9339答案：C解析：提示：設(shè)X=“五件產(chǎn)品中一級(jí)品的件數(shù)”，則b(5，0.8)。所求概率為4.一批產(chǎn)品不合格概率為0.2，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽出5個(gè)，記X為這5個(gè)產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，則這5個(gè)產(chǎn)品中沒有不合格品的概率為：A.B.C.D.答案：B解析：5.一自動(dòng)報(bào)警器由雷達(dá)和計(jì)算機(jī)兩部分組成，兩部分工作相互獨(dú)立，且任一部分失效將導(dǎo)致報(bào)警器失效。若雷達(dá)失效概率為0.1，計(jì)算機(jī)失效概率為0.05，則該報(bào)警器失效的概率為：A.0.005B.0.15C.20.05D.0.145答案：D解析：報(bào)警器失效概率=報(bào)警器工作概率=雷達(dá)工作概率計(jì)算機(jī)工作概率6.下表是一個(gè)分組樣本，其樣本均值近似為()。分組區(qū)間(35，45](45，55](55，65](65，75]頻數(shù)3872A.50B.54C.62D.64答案：B解析：四個(gè)分組區(qū)間的組中值分別為40，50，60，70。樣本均值7.設(shè)，且則()。A.B.C.D.答案：C解析：由