圓錐曲線解題技巧和方法綜合(經(jīng)典)

圓錐曲線解題方法技巧歸納 (1)直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、 (2)與直線相關(guān)的重要內(nèi)容21 (3)弦長公式112212k212 (4)兩條直線的位置關(guān)系①l」l一kk=-1②l//l一k=k且b豐b1212121212(1)、橢圓的方程的形式有幾種？(三種形式)mnmnaaFFx2+y2=1的兩個焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個動點(diǎn)M滿43足MFMF=2則動點(diǎn)M的軌跡是()F1PF229P在雙曲線上時，=b2cotFPF2 ( ())0 0 12121、點(diǎn)差法(中點(diǎn)弦問題)()()x12+y12=1，x22+y22=1；兩式相減得x2x212+y2y212=04343431212=1212k=43AB1212=1212k=43AB4b設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個二次方程，使用判別式0，以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入1122若有兩個字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個，比如焦點(diǎn)，則可以利用三點(diǎn)A、B、F共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處A是橢圓短軸的一個端點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸正半軸上). 可得出AB⊥AC，從而得xx+yy14(y+y)+16=0，然后利用聯(lián)立121212解：(1)設(shè)B(x,y),C(x,y),BC中點(diǎn)為(x,y),F(2,0則)有112200xyx2y2xxyyyyxykF(2,0)為三角形重心，所以由x1+x2=2，得x=3，由y1+y2+4=0得303y=2，代入(1)得k=6052)由AB⊥AC得xx+yy14(y+y)+16=0()2121212，10kb，x+x=代8k4b280k2代y+y=,yy=kk95b280xx=)式得4xx所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是x2+(y16)2=(20)所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是x2+(y16)2=(20)2(y4)。99y分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。建立直角坐標(biāo)系xOy，如圖，若設(shè)C(|c,h)|，代入x2-y2=1，求得 (2)a2b2h=，進(jìn)而求得x=,y=,再代入x2-y2=1，建立目標(biāo)函數(shù)EEa2b2 解法一：如圖，以AB為垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建AB為焦點(diǎn)，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于y軸對稱 (2)002ab2aa4b2eb24470]7EC70]7CyxlA,0)，斜率為k，當(dāng)22此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段.從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點(diǎn)B作與l平行的直線，必=2與雙曲線C相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式lykx)(0<k<1)l':l':y=kx+2k+22k得k的值分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線l的距離為2”，相當(dāng)于化關(guān)于x的方程題簡解：設(shè)點(diǎn)M(x,2+x2)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x的方程.于是關(guān)于x的方程(*)lk-2k+kx>0正，故2(k2+1)-2k+kx>0恒成立，于是(*)等價于由如上關(guān)于x的方程有唯一解，得其判別式編=0，就可解得25k=.k5Cxy=8和點(diǎn)P(4，1)，過P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使AP=-AQ，求動點(diǎn)Q的軌分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點(diǎn)的困擾，學(xué)生往此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表QxyAB化引起的，自然可選擇直線AB的斜率k作為參數(shù)，如何將x,y與k聯(lián)系起來？一方面利用點(diǎn)Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：AP=AQ來轉(zhuǎn)化.由PBQBA、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到4(x+x)2xx，要建立x與k的關(guān)8(x+x)x8(x+x)xAB通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).APAQPBQB4(x+x)2xxx=xABx=f(k)xx目的不過是得到關(guān)于x,y的方程(不含k)，則可由y=k(x_4)+1解Q22PBQBx_4x_x21212 y得出關(guān)于x的一元二次方程： (2)∴==在(2)中，由A=_64k2+在(2)中，由A=_64k2+64k+24>0，解得44 (3)可求得16_21016+4499.點(diǎn)在參、消參”何綜合問題求解的一條有效通道.例5設(shè)直線l過點(diǎn)P(0，3)，和橢圓x2+y2=1順次交于A、B兩94PBxB一籌莫展,問題的根源在于對題目的整體把握不夠.事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(或某幾個)參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式(或方程)，這只需利用對應(yīng)的思想實(shí)施；分析1:從第一條想法入手，x,x，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想ABxxAB去y得出關(guān)于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.xA=f(k)，xB=g(k)AP/PB=—(xA/xB)PB5當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)A(x,y),B(x，y)，直線l的方程為：1122k29k2+4k29k2+4APx=一9k+29k2一5=1一18k=18PBx29k+29k2一59k+29k2一51一9+29一5.9k181，k2kPB5分析2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源.由判別式值的非負(fù)性可以很快確定k的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與k聯(lián)系起來.一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定== 2理，原因在于AP=-x1不是關(guān)于x,x的對稱關(guān)系式.原因找到后，解PBx122決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于x,x的對稱關(guān)系12.y得到關(guān)于x的一元二次方程xA+xB=f(k)，xAxB=g(k)PBxAxB (*)在(*)中，由判別式0,可得k25，9有4324k236，所以155PB5點(diǎn)評：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等.本題，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能說明問題，有時甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實(shí)質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里.第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基 (Ⅱ)記橢圓的上頂點(diǎn)為M，直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，問：是 寫出橢圓方程寫出橢圓方程 (Ⅱ)k x兩根y=x+2+2y2=之2得出關(guān)于m的方程 a2b2xy2=12 (Ⅱ)假設(shè)存在直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且F恰為編PQM的垂心，則1122PQ1221ii12211212333例7、已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng) (2) (2) (Ⅰ)求橢圓E的方程： F(一1,0),H(1,0)，當(dāng)ΔDFH內(nèi)切圓的面積最大時，求ΔDFH內(nèi)心的坐由橢圓經(jīng)過A、由橢圓經(jīng)過A、B、C三 (Ⅱ)轉(zhuǎn)化為ADFH面積最大D轉(zhuǎn)化為ADFH面積最大D為橢圓短軸端點(diǎn)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的絕對值最大最大3ADFH2內(nèi)切圓rADFH面積最大值為32 當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時，h最大為3，所以S的最大值為1所以R的最大值為3．所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為33(0,3).編的內(nèi)切圓2編的內(nèi)切圓 (Ⅰ)若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-1，求直線AB的方程；2 (Ⅱ)在x軸上是否存在點(diǎn)M，使MA.MB為常數(shù)？若存在，求 (Ⅰ)解：依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為1122223k2+123 (Ⅱ)解：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M(m,0)，使MA.MB為常數(shù).ABx時，由(Ⅰ)知，121212121212k3k2+134 (3) (3)k3k2+1k3k2+1倍且經(jīng)過點(diǎn)M(2，1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m (m≠0)，l交橢圓于A、B兩個不同點(diǎn)。 (Ⅰ)求橢圓的方程； (Ⅱ)求m的取值范圍； (Ⅲ)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.解：(1)設(shè)橢圓方程為x2+y2=1(a>b>0)82 (Ⅱ)∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為mOM22+=1 (Ⅲ)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k，k，只需證明k+k=01212112212121x22x2221212而k+k=y11+y21=(y11)(x22)+(y21)(x12)12x2x2(x2)(x2)1212212221=(x2)(x2)=1212(x2)(x2)12ab3線到原點(diǎn)的距離是32. (1)求雙曲線的方程； (2)已知直線y=kx+5(k0)交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都==aabd==a2+b23xyabxy=c3故所求雙曲線方程為x2y2=1.3 (2)把 (2)把x23y2=3設(shè)C(x,y),D(x,y),CD的中點(diǎn)是E(x,y)，則112200x==15k.y=kx+5=5,0213k20013k2y+11BExk000故所求k=±7. (Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (II)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)(A、B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)．求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．解：(Ⅰ)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=1(a>b>0)，a2b243 (II)設(shè)A(x，y)，B(x，y)．22l4+3=1.|122|lx1x2=3+4k2.x21212127127(7)(7)27(7)(7) (7)23552一223552一2例